Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(15) В теории электрических цепей функция Хевисайда называется «единичной ступенькой», а 6-функция — «единичным импульсом». Формула (15) утверждает, что «еди- 112 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ !гл, и ничный импульс» есть производная от <единичной ступеньки». 3 а меч а и не. Первообразная 0 функции есть 0 (х)-)-С, гае С-произвольная постоянная (см, 4 6.3). Таким образом, 0(х) восстанавливается как первообразная своей обобщенной производной б !х); с другой стороны, 0(х) не восстанавливается как первообразная своей класси<«агой производной (О' (хЦ =О, х Ж О.
с) Если же функция ! (х) имеет изолированные разрывы 1-го рода в точках (ха) и (!'(х)) — кусочно-непрерыаная функция на )сг, то формула (14) естественно обобщается: ~'=(!'(х))+~Я„,6(х — х»). (16) Формулу (16) удобно получать локально, в окрестности каждой точки х„, с использованием формулы (14) и теоремы «о кусочном склеивании» (см. замечание й 5.5). Рис. 20. В частности, если )о(х)= 2 — 2пе хеи(0, 2Н), ! х — 2п-периодическая функция (рис. 25), то <о )(!= — — „+,~, 6( — 2йп).
(17) Мы видим, таким образом, что обобщенные и'класси!еские производные, вообще говоря, не совпадают! г() Докажем формулу «о о< '1) а!»х ~~) 6 (х 2йп) (16) ь <о $ о! диФФеРенциРОВАние ововщенных Функции 1!Я Для этого разложим 2л.периодическую функцию к 1о(х ) к(х =— х к' 2 4п' хан~О, 2л) что и требовалось. Рис.
26. Отметим, что левая часть равенства (18) есть ряд Фурье 2л-периодической обобщенной функции,У', 6(х-2ли), график которой изображен на рис. 26. е) Покажем, что общее решение уравнения х"и .0 (19) в М'()1!) дается формулой т-! и= ~,' соб!А1(х), (20) где со — произвольные постоянные. (функция Го определена в 2 6.4, с)) в равномерно сходящийся ряд Фурье: к СО Г~о В силу результатов 2 6.2, () этот ряд можно почленно дифференцировать в Я' любое число раз. Дифференцируя его дважды и учитывая (17), получим )о = — — + ~~ 6 (х — 2йл) = — 7 е!к чт 1 чт 2л 2л 114 1гл. и оаоащенныа фтнкции Поскольку при всех тр~ М и я=О, 1, ..., лт — 1 (х'"6)«); тр) =(6)«), х"'тр) =( — 1)«(6, (х"'<р))«)) = =( — 1)«(х")тр)'«) )„о = О, то х"'боп(х)=0, А=О, 1, ..., и — 1, и, следовательно, обобщенная функция (20) удовлетворяет уравнению (19). Докажем, что формула (20) дает общее решение в мт' этого уравнения.
Пусть т) (х) — основная функция, равная 1 в окрестности точки х = О. (По лемме 1552 такая функция существует.) Тогда любая функция )р из .У представляется в виде )о -) тр(х) =т1(х) «у ~ «1 х«+х ф(х), (21) где )о-) т))= —,. ~~)*)-и)*) с '„"'~~. «-о Функция ф ен Ы, так как она финитна и бесконечно дифференцируема; бесконечная дифференцируемость ее в точке.х = 0 следует из формулы Тейлора ф(х)= ХЭ Р х"- +0(1х1и+)), справедливой в некотордй окрестности (где т) =1) точки 0 при всех М )ит, Следовательно, если и ен Я' — решение уравнения (19), то, в силу (21), )о -1 ).. ~)-~., р)*) д ",',")*)-)-)., *"т)*))- «=о т — ) р « (о) (и, т)(х) х«) + (х и, ф) = «-о о) — ) о) -1 = У ( — 1)" с«<р)«) (01= ~'„с«(6'«', )р), «=о «-о с«=, (и, т)х«), ( 1)« что и требовалось установить. 4 е! дивоаввицивовлниа ововщвниых вункцин ! )б 3 в и е ч в в н е.
Полученный результат непосредственно следует нз более общего утверждения о том, что всякая обобщенная функция, у которой носитель есть точка, представляется в виде линейной комбинации 6-функции и ее провзводных в этой точке (см. 4 8.4). Отметим, что в классе локально интегрируемых функций уравнение (!9) имеет единственное решен не и = О. 1) Проверим, что функция Рнс. 97. Ж (() = 8 (() Х (!), где Х (!) есть решение однородного дифференциального „равнения СХ вЂ” Х<"'+а,(!) Х! -"+...+а (!) Х=О, удовлетворяющее условиям Х(О)=Х'(О)=...=Х вЂ” (О)=О, Х! -т)(О)-1, удовлетворяет уравнению ЖЖ 6 (!). Действительно, пользуясь формулой (14), получаем Жг (() = 8 (!) Х (!), , , Ж~=м (Г) =8 (!) Х< -т> ((), Ж< > (!) = б (!) + 8 (!) Х ! ((), откуда ЕЖ = 8 (г) 1 Х+ б (!) = 6 (!), что и утверждалось. б.
Примеры, п)2. а) Обобщением — б' (х) является двойной слой на поверхности. Пусть 5 — кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность, а †, нормаль к 5 (рис. 27) и ч(х) — непрерывная функция, заданная на 5. Введем обобщенную д функцию — — „(чбл), действующую по правилу (" )~ — — (чбз), чэ! и(х) с(5, гр ен М. Очевидно, д Г д ди( з) ' РР1 д д Обобщенная функция — — (чбз) называется двойным слоем ди на поверхности 5 с плотностью у(х), ориентированным ыв ововщенныа етнкции пл. н по нормали и.
Эта обобшенная функция описывает плотность зарядов, соответствуюшу1о распределению диполей на поверхности 8 с поверхностной плотностью момента т (х) н ориентированных вдоль заданного направления нормали и на Я (ср. 5 6.4, а)). Ь) Пусть область 6 имеет кусочно-гладкую границу 8 н функция 7енС'(6)ДС'(6,), где 61 й"~6. Тогда — ( — (+Щзсоз(пх,)бз, 1 1, 2, ..., а, (22) д) д) где я=а — внешняя нормаль к 5 в точке хен8 и [ф — скачок функций 7 при переходе извне через поверхность 8: 1пп 7 (х') — !(т 7 (х') Из (х), х ав о. м м, .с'ма, м х. к'ео Лля получения формулы (22) воспользуемся формулой Грина и определением простого слоя (см.
д 5.7): -1(~~!*.)~|)~*~~и~*> т~ и~ф~л- =((~ ~+)Дзсоз(нх~)бз, ф), фенЗ'. с) Пусть в условиях примера Ь) функция 7мн С*(6)() ПС'(6,). Тогда + 11 дх Цт соз (влт) бз. (23) Для получения формулы (23) продифференци руем равенство. (22) по хт н прн дифференцировании функции — воспользуемся опять формулой (22): д)(х) 1 дч ) )(д ) (~ д ~ + ~(<~ (1 соз (йху) бз 118 ововшеиные еункции ГГЛ. !! записи: бббе-е*ббб*-~Я-е —,'„б)бе. бебб Применяя формулу (29) при Г=-!и$х! и 6=16< !х/<:)Г) (рис, 28) и учитывая (30), получим, далее (Ь1п!х,', Гр)=1!ИГ~ ~ Л!п!х!ГГГ(х+ е 0!О< е.'<я ~е Й = 1! Гп ~, — 1п ', х ! д,, + Гр —,) Г(о = 11Гп — 1 бр ~ е-О е О е эе — ( бе 1 1 — б (Ебб бе б- 2 е ббб) — 2 е (б) — бе б, еб. е-О ) Таким образом, Л1п!х1=2лб(х), л=2, (31) Аналогично при и ) 3 получим Ь 1„„, — — — ( — 2) о„б (х), (32) Если 6 — ограниченная область, то формула (29) справедлива для всех брееС*(6).
б) Пусть л = 2. Вычислим Ь 1п,' х !. Функция !п ! х ! локально интегрируема в Абе. Если хчьО, то!п!Х)~С', а поэтому Р" 1п/х(=(Р" 1п1х!! (см. % 6.1). Следовательно, переходя к полярным координатам (см. (15) 2 3.2), получаем Л!п)х!= — — !и )=О, Х~О. 1 д ! д1пе1 еа (30) д 6 Пусть бр ы .У, зцрр Гр с: УГГ. Тогда (Л!п(х(, «р) =(1п!х), Абр) = ~ 1п !х! Лбр(х) б(х = ьа Рис. 28. =!Ип ~ !и )х! Лбр(х) б(х. Бе<1» <н 4 Е! ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕпных Фтикпии 119 ГдŠτ— ПЛО1цадЬ ПОВЕрХНОСтн ЕдИНИЧНОй СфЕрЫ В Яе! 2л п„~ Нз= —, г(л) ' à — эйлеров интеграл (гамма-функция): Ш Г (г) ~ е-91 -! М о е) Проверим, что функции е!" !" ! е ГА!А! Ж (х) = — Ж (х) = —. 4л !х! 4л !х! (33) при л 3 удовлетворяют уравнению ЛЖ+ йеЖ = 6 (х). (34) Действительно, так как функции соз й ~ х( и 1х !-! Б(п л!х', бесконечно дифференцируемы, то при дифференцировании функции ~ х1-' е!" !" можно пользоваться формулой Лейбница (см.
2 6.2, б)). Учитывая равенства д1.,д!Е, — — — е"'"! — е'А!'1, Йу~х( (х,'е' дну )х! ЬЕгх !" ' ( — — йх) Е!А !х ! е 2!х !! х! н пользуясь формулой (32) при л 3, получаем (Ь+ве) —.е" !'! ь. !х! ! ! =емгх!Ь вЂ”,, +2!Жгабее!'1, йгаб —,)+ 1 ! ,х, !х!/ бе!А!х!+ е™!. ! 4лем~х!6(х)+ ! ле !!х! !х! 2сй 2!е Ае Ы ! +( — — 4+ — — — + — !е!А " = — 4лб(х), !х, !х е !х! !х!) что и утверждалось.
() Пусть Ж(х, 2) „е 4(!) (2а ле)" ОБОБШЕННЫЕ ФУНКПИИ !Гл. и Докажем, что дй д! — ае»»»ФФ = б (Х» !). (35) Функция Ж (х, !) локально интегрируема в )с"»е, поскольку Ж=О, ((О; В~О, 1~0 и при !)О !»! ° $ а'(», ()д»оо — $ е еоч!(Х о»о =Д-г= ~ е е)!1$!=1. (36) » =! — »о Если ()О,-то О ~С'", а поэтому »' Пусть ер ен Ы (йе").
Учитывая равенство (37), получаем (~~, — а'Л8, !р)= — (Ж, $+а'Л!р) »о - — ~ ! е О, »!ф -~ о»о)»,ю— 1! гп ~ ~ Ф (х, !) ( дЧ + а' Ь<р) !(х Ш = е =и [(е(, !о(*, !»*о! ! ф — ее)»оо|- е = !!и! ) е (х, е) ер(х, 0) !(х+ е 0 +1!гп! ФФ(х, е)1!р(х, е) — гр(х, 0))!Ххоо е о = !!и! ) Ф (х, е) <р(х, 0)с(х„(38) е 0 так как, в силу (36), !)»)$(х, е)1<р(х, е)-!р(х, 0)1!(»~~Ке)$(х, е)с(х Ка, 4 Н ДИФФЕГЕНЦИГОВЛНИЕ ОЗОВЩВННЫХ фХНКЦИИ 121 Докажем теперь соотношение- ,ли Ж(х, () = е ллч -э 6(х), (-~-+О в ел" ()тл).
(39) (4паи) лн Действительно, пусть лр(х) ен.'У. Тогда, учитывая, что 1.» л ~ ~Ж(х, О(ф(х) — ф(0)]с(х~л=. „, ~е ллч(х(г(х= лэ»» л» 1 Е Лли ГЛ»(Г ~ Л У ~ Е и'цЛ»(ц (4каи)л(а,1 Плл л о в силу '(36), получаем при ( — л+О соотношение (39): (о'(х, Е), ф) =$о (х, () ф(х)Их=ф(0) ) Ж(х, г)Нх+ +)в(х, 8)(ф(х) — ф(0)1с(х-лф(0) =(б, ф). Формула (35) следует из соотношений (38) и (39). Отметим, что предельное соотношение (39) справедливо и на ограниченных функциях, непрерывных в точке О. Рис 29.
и) Пусть х=х, и о1(х, ()=й;а(п( — (х(), ! Докажем, что ~,Ж,=б(х, (). (40) Функция Ж, локально ннтегрнруема в )л»' и обращается в нуль вне замыкания конуса будущего Г+ (рис, 29). (гл. И ововщВнныв Функции Пусть феи!в. Тогда (Р.жг, ф) =(а„( ). р)=~О,(х, ()Р.ф(х, () (х ((- аэ и — 1(! 1(х — — д! — - дх о(( 2а д д д1' 2~ ддхт -со;х ~ -ао а дф (х, — СО о Гдф х 1 ! х (~ ! Г ' а, а Гдф(а1,1) 2а ~ д1 2 д дх о дф( — .— ! х !') ОЭ ! С ! ' а1,(х+а Сдф( — а1,0,( 2а,) д1 2 д дх о о ! ! (дф( — а1, 1) дф( — а1, 1)1 2 ) ~ д1 дх о Ю СО дф(а1, 1) 1 Г дф( — а1, 0 — Ж вЂ”вЂ” д1 2. ~ дх, о — р(0, 0)+ — р(0, 0)=(6, р), ! ! что и доказывает равенство (40).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
