Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Доказательство. Допустим, что лемма неверна. Тогда, перейдя, если необходимо, к подпоследовательности, можно считать, что ~(~», ср»)(«с)0. Сходимость ~р» к 0 в .У' означает, что а) <р»(х) =О, 1х~ >)г' при некотором )г'.«О Ь) при каждом сс 0"р» (х) О, й- со. Поэтому, переходя, если нужно, опять к подпоследовательности, можно считать, что ~О"ср»(х)( = — », )а!(А=О, 1, ... Положим»р»=2»<р»; тогда ~Пь»р»(х)~(Е», (а~~й=О, 1, „(3) »р»-»0, А-»-со в З~ и любой ряд вида 'У,'»р» (х) сходится » в М; в то же время ) (7», »Р») ! = 2' ~ ~7» ~р») («2»с-~-со, й-»-со. (4) Теперь построим' подпоследовательности Щ и ~»р»„) следующим образом. Выберем )», и»р», такими, чтобы Щ»„~ъ»,) ~ «2. (Это можно сделать в силу (4).) Пусть ~» и ф,г, 1=1, ..., У вЂ” 1, Уже постРоены; постРоим Р» и»Р» .
Так как»р» — ~.0, й-~до в Ю, то ()», »р»)-~-0, й-».со, /=1, ..., т — 1, и поэтому найдется такой номер М, что при всех й«)У ~(1»~ »р») ~ ~ у~-~~ /= 1...,, ч — 1. (5) Далее, поскольку (1». »р»~) — (1, ф»,), А - со, 1 = 1, ..., т — 1, 92 ОБОБшенные Функции !Гл. н то найдется такой номер й/1 ~ й/, что при всех й ~ й/1 ~И ф/Н-~(~ ф/)!+' /-' "' ' — ' (') Наконец, в силу (4), выберем такой номер й,= И„что У вЂ” ! Ч(~», ф»,) ~- Х !(~ ф;) ~+2' /=! Таким образом, в силу (5) — (7), построенные /»„и ф» таковы, что 1(~; ф,)1-2»/ /'=1 " '-1 (8) ! У вЂ” ! ) (7»,, ф»,) ! ) .У,' ) ф,„ф»/) ~+ У+ 1. (9) 1=! Положим ф(х) = ~ ф»„(х).
У=! В силу (3) этот ряд сходится в Ы, и, следовательно, его сумма фен Я и (/», ф)=(/», ф»,)+ Х (1», ф»/). /=! / У.У Отсюда, принимая во внимание неравенства (8) и (9), получаем У вЂ ! 1(~, ф)!-1Ь, ф,)1- Х 1(/», ф»/)1- / ! — ~()», ф»/)~)У+1 — ~~! —,=т, /=У-~- ! / У+! т. е.
(/»,, ф)-!.со, т-».оо. Но это противоречит соотношению Д, ф)- (/, !р), Й- со, что и доказывает лемму. 5. Носитель обобщенной функции. Обобщенные функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем ие менее можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции в области.
Обобшенная функция / обращается в нуль в области б, если (/', !р) =О для всех 91ен Ы (б); этот факт будем запи- тн ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 93 сывать так: 1=0, хее 6 или )(х) =О, хы 6. В соответствии с этим определением, обобщенные функции ) и д называются равными в области 6, если ~ — у=О, х~ 6; при этом пишем: )'=д, х~ 6. В частности, обобщенные функции ) и д называются равными, ~=у, если для всех ч ~~У К р)=(у, М. Пусть обобщенная функция ~ обращается в нуль в области 6. Тогда она, очевидно, обращается в нуль и в окрестности каждой точки этой области. Справедливо и обратное. Л е м и а.
Если обобщенная функция Г обращается в нуль в окрестности каждой точки обласпьи 6, то она обращается в нуль и в области 6. Локазательств о. Пользуясь преды- ! душим замечанием, мож- 1 но считать окрестности г) ц«арами. Нам нужно доказать, что К «р) =0 для любой «р ~ «У (6). фиксируем произвольную функцию «р из Ю'(6). Компакт Бцрр«р содержится в области 6.
Поэтому по лемме Гейне — Бореля (см. З 1.1) зцрр «р можно покрыть конечным числом шаров («' (х,; гь), й = 1, 2,... ...,й«(«р), в которых ) обрашается в нуль. Возьмем уменьшенные шары («(х„; г„'), г,'(г„у=1, 2, ..., «««, все еще покрывающие Бцрр «р (рис. 18). По следствию из леммы 1 ~ 5.2 существуют основные функции )«„(х) такие, что Ь,(х)=1, хееУ(х,; г~), зцррй„с()(х„; г„). Обозначим й(х) = 'У', й„(х), «р„(х) =«р(х)" — „"("). По построению й(х) ~1 в окрестности Бцрр «р.
Поэтому «р„ее.у ((/(хь,' г„)) и «р(х) = ~ч~ «р„(х). ?гл. и ОБОБщенные Функции Отсюда ы «и «!. »«-(«, Х «.) = Х е ..«=ь а ! е ! Лемма доказана. Пусть /~ ')!'. Объединение всех окрестностей, где /=О, образует открытое множество кг?, которое называется нулевым множеством обобщенной функции /. По лемме в каждой области, содержащейся в Вп /=0; далее, ег? есть наибольшее открытое множество, в котором / обращается в нуль.
Носителем обобщенной функции / называется дополнение ег? до /«"; носитель / обозначим зпрр/, так что зпрр/=Я"~«ы?1 зпрр/ — замкнутое множество, Если зпрр/ — ограниченное множество, то обобщенная функция / называется фимитной, Из этих определений выводим: а) в любой области, лежащей вне зцрр/, обобщенная функция / обращается в нуль, т.
е, (/, «р)=0, «ре=М, знрр/()зпрр«р=ф; (10) Ь) носитель / состоит из тех и только тех точек, ни в какой окрестности которых / не обращается в нуль. Замечание. Доказанная в этом пункте лемма допускает следующее обобщение. Пусть / щ Яг"' и 6 — область в Р'. Тогда / индуцирует линейный функционал /о на Ю (6), действующий по формуле (/о, «р)=(/, р), ц«ы М(6). Функционал /о непрерывен на Я(6) в следующем смысле: если «рь-»О, й- сс! в «й«и зиррфе ~ 6' Сс 6, то (/, «р )-»-О, й- со. Функционал / назовем локальным элементом обобщенной функции/ на 6 (сужение / на 6). Таким образом, всякая обобщенная функция индуцирует в каждой области свой локальный элемент.
Справедливо и обратное: из всякой совокупностн согласованных локальных элементов можно «склеить» единую обобщенную функцию. Точнее, справедлива следующая теорема «о кус очном склеивании». //усть семейство областей (Оо) покрывает )?л и для каждого ы задан линейный непрерывный функционал / на Я(6 ), причем если Оа()О,~О), то /„=/и., х «и Оа06„,. Тогда сУи.,вствУет единственнаа обобщгннаЯ функция / «и ла', имеющлт /„ своими лтатьными элементами на Оа при всех и.
б. Регулярные обобщенные функции. Простейшим примером обобщенной функции являетея функционал, порож- ьж основныв и ововшанныа егнкции 95 даемый локально интегрируемой в Р' функцией 1(х): Д, ~р) ]г(х)<р(х)дх, срепЮ". (11) Из свойства линейности интеграла следует линейность этого функционала: Д, Хф+ р»р) ~ г (х)((Ьр (х) + р»р (х)] с(х А$~(х)<р(х)дх+р$~(х)»р(х)дх=й0', ~р)+ р(/, »р), а из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла следует его непрерывность на Ю: Д, <р») = ~ г (х) ~р» (х) дх-».
О, й-ь. со, оя если ~р»-~0, й-» со в .У'. Таким образом, функционал (11) определяет обобщенную функцию из М'. Обобщенные функции, определяемые локально инте- грируемыми в Я» функциями по формуле (! 1), называются регулярными обоби(енными функциями. Остальные обобщен- ные функции называются сингулярными обобщенными функциями, Лемма (дю Бу а-Реймон). Для того чтобы ло- кально интегрируемая в С функция)(х) обртцаласьв нуль в области 6 в смысле обоби(енных функций, необходимо и достаточно, чяюбы 1(х) =О почти везде в 6. До к а за тел ь с та о. Достаточность условия оче- видна.
((окажем его необходимость. Пусть а — произволь- ная точка области 6. Найдется такой замкнутый щар 17 (а', е), который целиком содержится в области 6 и в котором, следовательно, 1=0 в смысле 9 5.5. Так как при каждом й=(йм й», ..., й„) функция — (», к) с »р»(х) =е' ь»»(х-а), где ь», — »шапочка» (см. 9 5.2), принадлежит .м (6), то К»р»)=]г'(х)ь»,(х — а)е' Ых=О. Таким образом, все коэффициенты Фурье по тригономет/ -'оь .А рической системе (е' 1 функции г(х)ь»,(х — а), инте- грируемой на шаре 0(а; е), равны нулю. Отсюда сле- овозщенные функции !гл.
и дуете), что эта функция равна нулю почти везде и, стало быть, !'(х) =О почти везде в этом шаре. Так как а — произвольная точка области О, то !'(х) =О почти везде в гт. Лемма доказана. Всякая локально интегрируемая функция в )с" определяет по формуле (11) регулярную обобщенную функцию. Из леммы дю Буа-Реймоиа следует, что всякая регулярная обобщенная функция определяется единственной **) локально интегрируемой в Я" функцией.
Следовательно, между локально интегрируемыми в )с" функциямн и регулярными обобщенными функциями существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому мы будем отождествлять локально интегрируемую функцию у(х) н порождаемую ею по формуле (11) обобщенную функциюв функционал (!', гр). В этом смысле «обычные», т. е, локально интегрируемые в Й", функции являются (регулярными) обобщенными функциями. Из леммы дю Буа-Реймона вытекает также, что оба определения носителя непрерывной функции, данные в з 1 2 и й 5 5, совпадают, Наконец, отметим, что если последовательность )а(х), й=1, 2, ..., локально интегрируемых функций з )с" сходится равномерно к функции 1(х) на каждом компакте, то она сходится к !(х) и в Ю'()с").
Действительно, для любой гр ен Ы имеем ф„гр) = ~ !» (х) гр (х) с(х-~~ !'(х) гр (х) с(х = (г', «р), й- оо. Будем говорить, что обобщенная функция !' принадлежилг клиссу Сг(6), 1~Си(6), если в области 0 она совпадает с функцией !о(х) класса С'(О), т.
е. для любой гр ~ы Ю (б) (!', гр) =) Го(х) !р(х)!ух. Если к тому же !о ниСг(б), то будем говорить, чтог принадлежит классу С'(6). 7. Сингулярные обобщенные функции. В соответствии с определением, данным в предыдущем пункте, сингулярную обобщенную функцию нельзя отождествить нн с ка- ") См., например, Г, М, Фихтенгольц 1!1, т, 1!1, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
