Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(1, если О~У, 1 "=10' .. 0-,' Но, в силу (1), левая часть этого равенства всегда равна нулю. Полученное противоречие показывает, что поточечный предел последовательности г,(х), е — «О, ие может быть принят в качестве плотности б(х). Вычислим теперь слабый предел последовательности функций Гв(х), е- О, т. е. для любой непрерывной функции ~р найдем предел числовой последовательности )Гв~рпх при е-в.О (см.
Э 1.10). Покажем, что 11"'Р (х) р(х) йх=Ч (О) Действительно, в силу непрерывности функции ~р(х) для любого в) 0 существует такое ев) О, что оаоащеиные еункцин ггл. и )гР(х) — <Р(0) ~(Ч, коль скоро (х(<ее. Отсюда при всех е--- ее получаем )/,~ )е Ек* — е(е) = — „'„$ ) ~е(Е-е(оее ~к~се )'Р(х) — еР(0)(е(х Ч 4ч е ~ г(х = Ч~ з 3 ~к~се !к~се что и утверждалось. Таким образом, слабым пределом последовательности функций )е(х), е- О, является функционал ~Р(0), сопоставляюший каждой непрерывной функции еР(х) число ~Р(0) — значение ее в точке х=О. Вот этот-то функционал и принимается за определение плотности 6(х); зто и есть известная 6-функция Дирака. Итак, г",(х)- 6(х), е — О, в том смысле, что для любой непрерывной функции гР(х) справедливо предельное соотношение ) Ге (х) ер (х) пх - (6, ер), е - О, где символ (6, у) обозначает число Р(0) — значение функционала 6 на функции ~Р.
Чтобы восстановить теперь полную массу, нужно подействовать функционалом (плотностью) 6(х) на функцию ~Р(х) =1, (6, 1) = 1(0) =1. Если в точке х=О сосредоточена масса еп, то соответствующую плотность следует считать равной епб(х). Если масса т сосредоточена в точке х„то ее плотность естественно считать равной лгб(х — хе), где (тб(х — хе) еР) = =пиР(хе). И вообще, если в различных точках х„, й= =1, 2, ..., У, сосредоточены маисы гпе, то соответствующая плотность равна ~ч~ теб (х — хь).
е-1 Таким образом, плотность, создаваемая материальными точками, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать объекты более общей математической природы — линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции). зн основныв и оьоьщенные эвикции 85 2.
Пространстмо основных функций Ы. Уже на при- мере б-функции видно, что оиа определяется посредством непрерывных функций как линейный непрерывный функ- ционал на этих функциях (см. $ 1.10). Непрерывные функции, как говорят, являются основными функциями для 6-функции. Эта точка зрения и берется за основу определения произвольной обобщенной функции как линейного непрерывного функционала на пространстве достаточно «хороших» (осиовных) функций.
Ясно, что чем уже пространство основных функций, тем больше суще- ствует линейных непрерывных функционалов иа нем. С другой стороны, запас основных функций должен быть достаточно велик. В этом пункте введем важное простран- ство основных функций Я'. Отнесем к множеству основных функций З<=.'е ()с«) (см.
8 1.2) все финитные бесконечно дифференцируемые в )с» функции. Сходимость в й определим следующим образом. Последовательность функций <р,, <р», ... нз сходится к функции <р (из Ы), если: а) существует такое число )«') О, что зцрр <р» с: Уя', Ь) при каждом «» = = («хм «"» ° ° ° а») «ех 0'<р»(х): + О «р(х), й-» оо. В этом случае будем писать: <р»- <р, й-~с«< в Ю. Линейное множество Ы с введенной в нем сходимо- стью называется пространс<пеол< основных функций Ь'.
Операция дифференцирования Рац<(х) непрерывна из м< в ер. Действительно, если «р»- О, й- оо в .У', то а) <р»(х) = О, «х()<«при некотором )с)0 и Ь) при каждом а « 0«<р~ (х) О, й Но тогда: а) зцррРа<р» с:с<'я', Ь) при каждом «х 0 ~Ра«р» (х)1 =0"<а<р»(х) - О, если я-».оо, что, в силу определения сходимости в Ы, и означает, что Ра<р,-<-0, й- оо в м .
Это и значит, что оператор 0а непрерывен из .Уг в Ы (см. 8 1,10). Аналогично, операции неособенной линейной замены переменных <р (Ау+ б) и умножения на функцию а ен жС («с'), а(х)<р(х), непрерывны из мр в М. игл. и ояовшянныя фянкции Совокупность основных функций, носители которых. содержатся в данной области 6, обозначим через Ы(6); таким образом, У (С) с- мг()1л) В связи с приведенным определением возникает вопрос: сушествуют ли основные функции, отличные от тождественного нуля? Ясно, что такие функции не могут быть / / 1 / — Р 1 Х г « ~ г Рис.
!5. аналитическими в )г" (см. З 4.8). Примером основной функции, отличной от нулевой, является «шапочка» (рис. 15) е' С,е '*-~'~', ~х(~е, О, (х1>е. Постоянную С, выберем так, чтобы ~ в,(х) бх=1, т. е. ! Сееи ~ я ~ ~аи с(я= 1 й вт $ 3! оснозныв и озовшзнные Фтнкции Легко проверить, что «ее(х) = х еее ~ ). Следующая лемма дает другие многочисленные примеры основных функций. Лемма 1.
Для любой области 6 и любого числа е)0 существует функция е) ~С (Ке) такая, чою 0<т)(х) -1; Л(х)=1, хе:-6е; е)(х)=0, «а=6м. (График функции г) (х) при 6 = (а, Ь) изображен на рис. 16.) ус»! е Зее ге.гг,Ф а-.гг а-е о Рис. Рв Д о к а з а тел ьство. Пусть д(х) — характеристиче- ская функция множества 6е,: 1((х) =1, хан 6„; )((х) =О, хЫ6е,. Тогда функция т) (х) = ~ 1( (у) го, (х — у) ду обладает требуемыми свойствами.
Действительно, так как шее: ~~ О еле(«)е зпрр еее сге~ ~ еое(х) ух= 1~ то (рнс 1У) т) (х) = ~ ео, (х — у) бу ен С ()г"); оее О к=,Ч (х) ~ ~~ ме (х У) Ф ~ еее (зе) е(ее =11 «1 (х) = ~ У, (У) «ее (х — У) е(У = о(х: е! еее (» у) е(у ~ «ее (ее) е(зе = 1, х ~ бе1 о(х! е! О, «Й 6ее. Лемма доказана. ОБОБШЕННЫЕ ФУНКЦИИ !гл, и (2') что и требовалось, Из леммы 1 вытекает следствие: если обласгль 6 ограничена и 6' е 6, гпа существует функция т! еи У (6) лнисая, что 0(т)(1 и х т)(х) ам1, хеи 6', к Следующая лемма утверждает, что запас / основных функций до/ статочно велик.
! Лемма 2. й(нажгсамо Ю (6) пла/пна в ~з (6). ДоказательстВо. Пусть /~Хе(6) и е) 0 — любое число. В "гс силу свойства абсолютРис. !7 ной непрерывности ин- теграла Лебега (см. 4 1.4, е)) существует такая область 6'С=С, что !/(х) !'дх~ —. (2) а~а Так как множество полиномов плотно в Х,(6') (см. й 1,7), то существует полинам Р такой, что ~ )/" (х) Р(х)! йх( —. а Теперь выберем подобласть 6" с=С', настолько близкую к области 6', чюбы ! Р(х) !'с/х( в .
(2") а,а- Возьмем функцию т) из са (6') такую, что 0(т)--1 1! (х) = 1, х ~ С" (по следствию из леммы 1 такие функции существуют). Тогда Рт) ~ аг(6) и, в силу неравенств (2), (2') и (2"), 1~ — Рч)'=~1~ — Рв)!сс(х= $!/' — Рт!!'с/х+ $ !/!'с/х~ а;а ~ — +2 1 !/ — Р('Их+2 ~ ! Р— Р11 !зс(х( с — е'+ 2 ) ! Р !' с(х ( еа, а ~а" ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 3. Пространство обобщенных функций .Р'. Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций У«. В соответствии с обозначениями 5 1.1О значение функционала (обобщенной функции) 1 на основной функции «р будем записывать (1, «р).
Обобщенную функцию 1 будем также формально записывать в виде ) (х), подразумевая под х аргумент основных функций, на которые действует функционал ). Расшифруем определение обобщенной функции ). 1) Обобщенная функция ) есть функционал на .У', т. е. каждой «реп .У' сопоставляется (комплексиое) число (1, М. 2) Обобщенная функция 1' есть линейный функционал на «а, т. е. если «ран.У', «реп.У«и Л, р — комплексные числа, то (1 Л'р+рф)=ЛЧ, р)+р(), ф) 3) Обобщенная функция ) есть непрерывный функцио.нал на Я, т. е.
если «рл-~О, й- оо в «л«, то (~, «р„)- О, й -«- оо. Обозначим через У'=Ю'()с") множество всех обобщенных функций. Множество лй' — линейное, если линейную комбинацию Ц+рд обобщенных функций 1 и Е определить как функционал, действующий по формуле (Л~+рн, р)=Л(р, р)+„(й, р), р нйр. Проверим, что функционал Л)+ рд — линейный и непрерывный на .У', т. е. принадлежит У'. действительно, если «р~ Я, «реп Я и а, р — любые комплексные числа, то по,определению, (Л)+„д, р+бф)=Л(У, р+И)+„(й, р+йф)= =а (ЛД„«р)+ и(д, «р)1+р (Л(1, ф) + у (д, ф)1= = а (Ц+ рд, «р) + () (Ц + рд, ф) и потому этот функционал — линейный.
Непрерывность его следует из непрерывности функционалов «и йс если «рл — «О, й- со в лР, то (Ц+рй, «рл)=Л(), р)+р(й, рл) О, й ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ !ГЛ. 11 Определим сходимость в Ы' как слабую сходимость последовательности функционалов (см. 9 1.10): последовательность. обобщенных функций 11, 1з, ... из Ы' сходится к обобщенной функции г вне', если для любой гр~.У' (г», гр)- (1, гр), й- оо. В этом случае мы будем писать |»-~1, и- со в М'. Линейное множество Ю' с введенной в нем сходимостью называется пространством обаби(енных функций Ю'.
Замечая не. Линейные функционалы на .~~ не обязаны быть непрерывными на ва. Однако в явном виде не построено нн одного линейного разрывного функционала на Фгг; можно только теоретнче скн доказать нк сушествованне, используя аксиому выбора. 41 Полнота пространства обобщенных функций Весьма важным является свойство полноты простран- ства Я'. Теорема. Пусть последовательность Гг, Г„... из Я' такова, что для каждой ~р ~ Ю числовая последователь- ность 6», р) сходится при й- со. Тогда функционал Г на Ы', определенный равенспнюм (г', ф)=1пп (~», гр), ~ран.У, также являегпся линейным и непрерывным на яг, т.
е. / ен.У' Доказательство*). Линейность предельного функ- ционала доказывается просто: Д, а»р+рэр) = 1цп ()», агр+1)эр) = =а!Нп (Г», гр)+р1цп (1», зр) =а(), гр)+р(Г, зр), »- » со ф, »Р~ М. Докажем его непрерывность. Пусть гр, О, т. со в ла; нам нужно. доказать, что '(1, гр„)- О, т-ьоо (см. 9 5.3). Допуская' противное и переходя, еСли нужно, к подпо- следовательности, можно считать, что при всех у = =1, 2, ...
выполнено неравенство !(!', гр,) ))2а при неко- тором а ) О. Так как (~, грт)= Ищ (Г», гр,), ь) Эго элементарное доказательство взято нэ книги Г, Н. Шалова 1!1, $9. зн ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКПИИ 91 то для каждого т=1, 2, ... найдется такой номер й„ что !(/»,, »р,)~«а. Но это невозможно в силу леммы, следующей ниже. Полученное противоречие и доказывает непрерывность функционала 1. Теорема доказана. Л е м м а. Пусть' последовательность функционалов ~,, )», ... из Ю' удовлетворяет условиям теоремы и последовательность основных функций грм ~р„... из Ю стремится к 0 в м, Тогда (г*», <р»)- О, й- со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
