Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 17
Текст из файла (страница 17)
с) анка»ать, что ряд а»б(х-д) сходится в .вт' прн любых а». 4 а) диввкрвнцировлник ововщвнных вгнкции 102 б) Локазать, что 6 (х)-»О, )(-«со в бу'. хя соз Йх е) Лаказать, что ст' "— -«О, А-«со в Я~' (Р'), гле к ~у — ", гр) = Мр ~ — гр (х) Их. 1) Пусть сс щ Я (И"), а ) О, ) а (х) ох= 1. Локазать, что /х! е-ьи -~-«6(х), е-» -,'-0 в Я'. ,а) к) Локазать равенство (о/)(х+Ь)=а(х+Ь)/(х+/г), а щС ~(яа) / ен 1В»', Л щ )оь Ь) Пусть / — фнннтная обобщенная функцнн в Я' н Ч вЂ” пронз. вольная функння нз йт (Кл), равная ! в окрестности зпрр/.
Пологкнн / (г) = —.1/ (х'),, ~, г х+ Ер. Локазать, что: !) /(г) не зависят ст выбора вспомогательной функцнн Ч; 2) /(г) — аналнтнческая функцня прн ггвзцрр/; 3) /(г) = О ~ — 1, г-» оо; 4) /(х+1е) — /(х — гв)-»/(х), е-«+О в,у' (кг); 1 ~ г1)' 6) /оо (г)=/'а'(г), а=1, 2, ... Функция ) (г) называется лре)стаелгнием Кощи обобщенной функннн /'). й б. Дифференцирование обобщенных функций Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств. Например, при надлежащем обобщении понятия производной любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно дифферейцировать бесконечное число раз.
1. Производные обобщенной функции. Пусть ~ Ся(/ся). Тогда при всех сс, (сс(» р, и гр ев Я справедлива формула интегрирования по частям (/:)о/, гр) = ~/:)"/(х) !р(х) с(х= = ( — 1)'"' (/(х) /)"гр (х) с(х = ( — 1)""' (/, //"гр). «) Си. Г. Бренернан 111, ч. П. овозшвниыа э~нкции ггл, и Это равенство мы и примем за определение (обобщенной) производной 0 9 обобщенной функции г" ~ Я'. (0и) <р) ( 1)|а ~ (Г 0а,р) р и- дд Проверим, что 0"/ ен вй'.
Действительно, поскольку ген Ф", то функционал 0 г, определяемый правой частью равенства (1), линейный: (Огу ),ф+ рф) ( 1)нм (1 Оа ()ьр+ )дф)) 1). д, Д0 р+р0ф)=Д( — П '(), 0.р)+ ( )д ( 1) а~ (д 0»ф) )„(0»1 <р) ( р (0а)»р) и непрерывный: (0'У, ~рд)=(.— 1)им Д, 0»<рд)-д-О, й- со, ибо если ~рд-«0, й-«со в Я, то и 0"~рд-«0, й со в!У (см. з 5:2).
В частности, при )=б равенство (1) принимает вид (О"б р) =( — 1)'"'0" р(0). Обозначим (О"9 (х)) классическую производную (там, где она существует). Из определения обобщенной производной вытекает, что если обобщенная функция еи Сд(б), то 0и1=(0иг(Х)), ХЕНГ), (С»~ ~р (в смысле определений Я 5.5 и 5.6).
2, Свойства обобщенных производных. Справедливы следующие свойства операции дифференцирования обобщенных функций. а) Операция дифференцирования 0" винейна и непрерывна из .Р',в .мг'. 0" ()4+)»й) =10"9+)»О'й, )', лен Я', 0 гд-«0, й-«со в!У', если /д- О, й-«со в Ю'. Докажем непрерывность. По определению производной при всех ~ры Я имеем (0.~», р)=( — 1) (Р„0" р)- 0„ что и означает„что 0"т» — «О, А- со в Ы' (см. З 5.3). Линейность доказывается аналогично. » 61 ДНФФЕРЕНИНРОВАННЕ ОБОБЩеННЫх ФУНКЦИИ 10$ В частности, если в,(х) — «шапочка» (см.
з 5.2), то 0'в,(х)-Ф0"6(х), е-~-+О в Ю'. (2) Соотношение (2) вытекает из соотношения (13) $5.7. Например, в,'(х)-~-6'(х), е-~+О в «Р'. * Последовательность в;(х), е-~.+О, изображена на рис. 20. Попому Рис. 20. обобщенную функцию 6'(х) удобно изображать графически, как зто показано на рис. 21. Ь) Любая обобщенная функция бесконечно диффеааи(ируема. действительно, если 1".ее «р', то — ен.й', в своюоче- д (д(~ редь — ~ — 1ен Я' и т. д. дхг ~дхз,) с) Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Например: 0,(ОД=0,(0~) =0<к»>Р, ): ~ Ф . (3) игл. и ововщвииые Функции В самом деле, для любой ~р ы Ю получаем (Р ), р)-д, Р,Р,Д=(Р,(РД, ц)=(Р,(Р,(), р), откуда и вытекают равенства (3) (см. ~ 5.5). И вообще Р. а) =Р=(Ра)) - Рв (Р.~). (4) с() Если )'ен У' и а я С ()с»), то справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения а~ (см. $5.10).
то) Ряс. Як Например: (6) Действительно, если <р — любая основная функция, то (д» Р)+(д» 1 Р)=( д» %)+(д» ) Ч) (а 6 — + — (, ~р), откуда и вытекает равенство (5) (см. ~ 5.5). е) Если обобщенная функция~ О, хаий, то иР Ч О, лен О, пюн что ацрр Р~~с=.анрр~. диьэвгенциеовьнив ововщвнных ьтнкции 107 ~ и„(х) =5(х), ь=! составленный из локально интегрируемых функций иь (х), сходится равномерно на каждом компакпм, то его можно почленно дифференцировать любое число раз и полученные ряды будут сходиться в Ю'.
В самом деле, поскольку при любом Я~О 1т!~п Зр(х) = ~ и„(х):-'5(х), р-ь со, ь=! то 5 — 5, р-!-оо в ~ы' (см. й 6.6). Но тогда, в силу а), Р 0"5 = ~, 'Р"и -МЕРЗ ро оо в Ы ь-! что и утверждалось. Отсюда, в частности, вытекает: если ~ а„~ == А ! й )'" + В, то тригонометрический ряд аое!ох (6) (7) сходил!ся в Ю' ()т!). Действительно, в силу (6) ряд ~~о сходится равномерно в )т!; следовательно, ряд, представляющий его производную порядка т+ 2, сходится в е!!'(Ет!) и совпадает с рядом (7). 3.
Первообразная обобщенной функции. В атом пункте считаем л=1. Всякая непрерывная функция )(х) имеет В самом деле, если !рея М(С), то Рифы еР(С), а потому (О 1, ф)=( 1)!а!(Р Рогр)=О, фенУ(С), что и означает 0"/=О„х ев С (см. 2 6.6). () Если ряд гов ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (единственную с точностью до аддитивной постоянной) первообразную (г-Н (х), к ~~-н (х) = ) г'($) ба+С» ~или (х) г (х). Равенство ~<-и' =1 мы и примем за исходное для определения первообразной произвольной обобщенной функции (.
Обобщенная функция ~<-»> из аР'()«') называется парвообрачной обобщенной функции 1 из М' Я'), если ~<-»И т. е. ()ч и Ч')- — Ч, р). (8) Равенство (8) показывает, что функционал р'-» задан не на всех основных функцияк, а только на нх первых производных. Наша задача — продолжить этот функционал на все Ю (в смысле определения з 1.10), причем так, чтобы продолженный функционал Гс-н был линейным и непрерывным на йу, и выяснить степень произвола прн таком продонжении. Предположим сперва, что )«-н — первообразная г — существует. Построим ее.
Пусть ~р — произвольная функция из Ю (Я'). Представим ее в виде ср (х) = 'ф' (х) + в«(х) ~ ф (В) И$, (9) где го»(х) — «шапочка» (см. 9 5.2) и к ф (х) $ [сР (х ) О»«(х ) $ сР (»ь) й«ь1 йх . (!0) Докажем, что сР ен.'У. Действительно, сР ~ С (Я') н ф(х)=0, х~ — шах(Я, е), если ~р(х) =О, (х!))с. Далее, при х) шах Я, е) СО СО СО ф(х)ОО 5 Р(х') й ' — $ .,(х') йх' $ Ч аале-О СО СΠ— СО в силу нормировки (3) З 5.2.
Таким образоМ, ф(х) *О, )х~)шах()т, е). Следовательно, ср си М. Применяя функционал 1~-н к равенству (9), получим О' " ч)=У" ф')+У ", )~ р($)й~, э н дивеееенцивовлние ововщенных езикции НЮ т. а., учитывая (8), У-", <р) — (7, Щ+С$ф($)сЦ, ф~Ю, (11) где обозначено С (7<-'>, в,). Итак, если г<-» — первообразная à — существует, то оиа выражается равенством (11), где ф определена формулой (10). Теперь докажем обратное: при любой постоянной С функционал г«-", определенный равенствами (11) и (10), дает первообразную г. Действительно, функционал Г<-<>, очевидно, лииеен.
Докажем его непрерывность на .'У. Пусть <р,— О, й-<-со в,й<, т. е. фл(х) О, )х~)Я и «р<ю(х) =у О, я-<.оо. А тогда, по доказанному, фл (х) =* ~ (фл (х') — ю (х') 1 фл ($) йь1 йх' О, ~х~)и<ам()1, е), и, очевидно, <р<ю(х) =ФО, й-ьсо, т. е. ф,-~О, й-~со в М. Поэтому, в силу непрерывности г на Ю, имеем (<'<-«>, <рл) — (<', <Рл)+С)фл(з)й$-<.0, й-~ос, что н утверждалось. Следовательно, г<-и е< Ю'. Осталось проверить, что <<-<> является первообразной <.
В самом деле, заменяя в (10) <р на «р' и учитывая, что ~«р'(в) йод=0, получим ф ф, и тогда из (11) вытекает равенство (8), что и требовалось. Таким образом, доказана следующая Теорема. Любая обобщенная функ«ия г имеет единственную, с точностью до аддитивной постоянной, первообразную, и всякая ее первообразная 1<-<> выражается формулой д<-1), <р) — д, ф)+(С, <р), <р ев У, (12) еде <р определяется равенством (10) и С вЂ” произвольная постоянная. Доказанная теорема утверждает, что решение дифференциального уравнения и'=~, (енЯ'(й'), (13) по ОБОБШЕННЫЕ ФУНКЦИИ !Гл.
и существует в лг'(!г') и его общее решение имеет вид и 1!-1!+С, где )'-и — некоторая первообразнаяг и С вЂ” произвольная постоянная. В частности, если 1 — непрерывная функция, то всякое решение в У' уравнения (13) — классическое. На. ! п)!имер, общее решение уравнений и =0 в Я' есть произвольная постоянная. О Аналогично определяется и первообразиая !!-"! порядки и обобщенной функции (, !<-"! ш! = 1, -цдмт Применяя доказанную теорему к рекуррентной цепочке для 1(-ь!— первообразных порядка й,— Рис. 22, ~! "'=Р, !(-э! !1-1! г<-ь! г<-ьы! заключаем, что 1<-"! существует и единственна с точностью до произвольного аддитивного полинома степени п-1. 4.
Примеры, и=1, а) Вычислим плотность зарядов, соотвегствукхцих диполю с электрическим моментом +1 в точке к 0 на прямой. Этому диполю приближенно соответствует плотность зарядов — 6 (х — е) — — б (х), е ) 0 (рис. 22). Переходя ! ! здесь к пределу при е-ь+О в Ф', — 6(х — а) — — 6(х), <р) ! ! е е —,(ф(е)-~р(0)1- ер'(О)=(б, <р') (б', <р), заключаем, что искомая плотность равна — 6'(х). Проверим, что полный заряд днполя равен 0: ( — 6', 1)=(6, 1') (6, 0) О, а его момент равен 1: ( — 6', к) =(Ь, х') = (б, 1) 1.
% и диФФБРенциРОБАние ОБОБщенных Функции !!! Рис. 23. Рис. 24 Ь) Пусть функция ((х) такова, что (~С'(х(х,) и ! ~ С'(х=-х,) (рис. 23). Покажем, что (рис, 24) !"' = (/' (х) [ + Я, 6 (х — х,), где [Д„,— скачок 1(х) в точке х„: [(1„, =1(х»+ О) — ) (х, — О). действительно, если ф ее З, то (Г, ф)= — (1, ф')= — )1(х)ф'(х)(х= =У(х«+О)-Дх» — 0)]ф(х«)+) [1'(х)[ф(х) ( = =(Я„,6 (х — х,)+ [!' (х)[, ф). В частности, если 8 — функция Хевисайда: 8(х) =1, х) 0; 8 (х) =О, х~ О, то 8'(х) =6(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
