Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ь) Пусть 65, — простой слой на сфере )х( =г (см. 2 6.1). Установим справедливость соотношения (формула Пицетти) о~а л-165 — 6~-~2ап6, г-~0 в Ю'. (4Ц ! 1 1 ! ааг Действительно, при всех ~р еи лд при г-о-0 имеем ЕО! ДиоааоанцИВОВЛНИВ Овав!ЦаинЫХ етиКЦнн 123 = — 1 !р(х)с(5 —— 1 !' <р (О) олглл! д гл 3 л л, (.
о-! = —,, ! [!р (гз) — <р (0)]аз = 1 Г 1 л,!=! 2ла!Р(0) =2л(аб, <р), 1 1 так как з„еЬ=О, ~ з„з!еЬ =бе! 1( з1еЬ вЂ” „лб„!, л 1 Ь, 3 ! л-3 ~ з$!Ь=о„,~з(п"-одсозодс(6=0„,~(1 — и) ' 3~ )гН(! за о о и†! 2 г ("=') г(-') г~" ')г[1" +1) Здесь  — эйлеров интеграл (бета-функция): ! В(р, а)= !пат ! .о ! Р Ьу ( ...,„, г (р)г(),г дЮ = г(р-1-д) ! ~' !) Пусть и =2, е=х+ !р ! 2 = х — $з', !(е =!(х+ ! !(й. Днф! !. ференциальный оператор ! ! д 1гд .д! ! -=-г+'-) !( !' де 2 (дл да) называется оператором Коши— О Ю х Римана.
Пусть ) енС!(сг) и ) (х, Рис. 30, у)=0, г~ 6!, где 6!=(со(б. Границу 5 области б предполагаем кусочно-гладкой линией; за положительное направление на 5 принимаем то направление, при движении по которому область 6 остается слева, как это принято в ТФКП (рис. 30). Используя 124 ОВОВШЕННЫВ ФУНКПНИ !гл.
н т. е. [ й СЯ о Ф - — —,' ~ 1е е. о (43) [) Докажем, что д 1 дк к — —, = пб (х, у) (44) Функция — локально интегрнруема в Яа. Поэтому, 1 польэуясь формулой (43) при !' = — и 0 [е(~к~~)т1 (рнс. 28), при всех ф ен У, эпрр ф с Уи, получаем Ж-*' )=-(-*''-'- )= Г !дф . Г !дф — — — йх0у — )нп 1 — — 1(хе(у к да а дк и а<1 г!са -еъ[ [ е',-'ео-; — ',~[ — ~Ре~- Г дк — — 1пп 1 ф(г) — — 1!ш 1 1 ф(аР)о(9 2 а д а 2 ° !е! ° пф(0) =(нб, ф), что н требовалось. 6.
Упражнения. а) Доказать, д ~!о!к! У вЂ”, ! 1 е!кк~Ю 1 1 дк к ка' — 4и — — У— !нд' (к) — д' — „ ! формулу (22), выводим д ~~ [д ~ — 2 [сок (мх) +1 сок (лр)) ба. (42) Применяя обе части равенства (42) к основной функции ф, получаем формулу, аналогичную формуле (29)! 1 (~ д +дй ф) <(Хйр= 2 ~1ф[СОЗ(ПХ)+(СОЭ(ПР))Г(5 ° ! Г Г )ф (Пр — 1с1х) = — — И 1(г, й е1 Днооврвнцнровдннв ововв(йнныд ОиНКЦНН )ао Ь) Показать, что стоящие справа обобщенные функции являются общнмн решениями в Я'()с!) уравнений: хй 1, и с„+с!а(х)+!и ~ «1, ! 1 хй У— и с!+сев (х) — У— и=с,+с,б (х)+с!6(х)-У вЂ”, ! и сб (х)+()з —, 1 1«)' хзи' 1, хи з(ох, где ! «Г~! !х1~! (а1п х)и О, и= ~~ ! сьб(х — йп).
Обратим внимание, что класснческяе решения дифференпиальных уравнений первого порядка содержат лишь одну произвольную постоянную! с) Доказать равенство а(х) б' (х)= — а' (0) б(х)+а (0) 6'(х), а !и С! ()З!). д) Доказать: если! ги ЯГ и /(х)=0, хС хе, то существует единственная первообразная )' !', обращающаяся в нуль прн х.схе. е) Доказать равенство (0 ))(х+й)=0«((х+Л), ) = шп, й )1е.
1) Доказать: если обобщенная функция инвариантна относительно всех сдвигов, то она — постоянная. К) Доказать, что система обобщенных функций 0"6(х), !а)=ш, ш О, 1, ..., линейно независима. Ь) Доказать, что ряд "!! аеб!е' (х — й) а~! сходится в Я' при любых сса, 1) Доказать, что общее решение в яу' уравнения х"и<ш! О, и) ш, есть ш — ! ч — ! т-! и (х) ~~ себ (х) хм-г-а+ 5, 'сьб'" и' (х)+ ~ азха. «-е е=т аюе где са н ад — произвольные постоянные, ововшенныв ехнкции !гл, и й 7. Прямое п1)оизведеиие и свертка обобщенных функций 1.
Определение прямого произведения. Пусть )(х) и д(у) — локально интегрируемые функции в пространствах И' и Я соответственно. Ф)нкция ~(х)д(у) также будет локально интегрируемой в )г" . Она определяет (регулярную) обобщенную функцию, действующую на основные функции ф(х, р) ~.вг по формулам () (х) а (у), ф) = ~ ) (х) д (у) ф (х, у) с(х >(у = =~~(х)(а(у)ф(х, и)г(у>(х=()(х), (а(и), ф(х, и))), (1) (д(у)~(х), >р) = ~у(у) г(х) >р(х, у) Ыхйу =~у(р)~~(х)ф(х, у)дх>(у=(а(у), (г(х), >р(х, д))). (1') Эти равенства выражают теорему Фубини (см.
З 1.4, )г)) о совпадении повторных интегралов с кратным, Равенство (1) мы и примем за определение прямого произведения)(х) а(у) обобщенных функций 1(х) еи гх." (И") и а(у) еи,У' ()г'"): Д(х).д(у), ф) =(~(х), (и(у), >р(х, у))), фен.'У()х"+'"). (2) Проверим, что это определение корректно, т.
е. что правая часть равенства (2) определяет линейный непрерывный функционал на Ы (И"- ), Предварительно докажем следующую лемму. Лемм а, Для любых а еи Ы' ()х"') и >р ен,К ()7"'>л) функция ф(х) =(д(у), >р(х, у)) принадлежит Й'(Я"), причем при всех >х Р">р(х) =(а(у), Р",ф(х, р)). (3) Далее, если фл-э-О, lг-+.оо в Ы ()7"~»), то фл(х) =(а(р), фЛ„Хх, д))->-О, й-~со в У>(Я"). Доказательство. Так как при каждом х~)г" >р(х, у) еи Я()г'"), то функция ф(х) определена в )г".
Докажем, что она непрерывна в Я". Фиксируем точку х, и пусть х„-~х, й- оо, Тогда ф(хы у)->-ф(х, у), й- оо в Ы ()х">)> (4) пРямое пРоизВедение и сВеРткА 127 так как, в силу фее.У()с»+ ), носители ф(хы у) ограничены в )т" независимо от Ь (рис. 31) и при всех р уе и 0ар(Х», у): '1фр(Х, у), Ь вЂ” «со. Поскольку функционал у(у) непрерывен на М(»г ), то из (4) вытекает непрерывность функции ф(х) в точке х: ф(х»)=(д(у), ф(хм у))- (у(у), ф(х, у))=ф(х), х»- х. Докажем теперь формулу (3). Фиксируем точку х и обозначим Ь; =(О, ..., Ь, ..., О). Тогда ! 7(»о(у) = „[ф(х+Ьь у) — ф(х.
у)[- ~~а,' "', (б) Ь вЂ” «О в Ю()т"), так как, в силу ф~Ы()с»' ), носители )(<»о ограничены в )г независимо от Ь и при всех р 0зу~ ~ (у) = — [0»ф(х+Ь;, у) — 0„ф(х, у)[:+ 0„ Ь- О. Поскольку дев.я '()г'"), то, пользуясь (5), получаем — = -„-[(д(у), ф(х+Ь;, у)) — (у(у), ф(х, у))[= ф(х+аь у) — ф(х, у)1 ( <о) (' ( дф(х, у)) =(йу, ' ' ' )=у,х' (уу, Ь- О, откуда и вытекает справедливость формулы (3) при а = (О, ..., 1, ..., 0): Применяя снова эти рассуждения к полученной формуле, убеждаемся в справедливости формулы (3) при всех а, Так как, вместе с ф, 0'"фен Я()т»""), то из формулы (3) заключаем по доказанному, что 0"ф (х) — непрерывная функция в )г" прн всех а. Таким образом, фа С ()г»). Далее, функция ф(х) финитна в )с», ибо ф(х, у) =0)х())х 128 1Гл.
н ововшенные Функции (рис. 31), а потому ф(х)=(у, 0) =0 при этих х. Следовательно, фа= Ю Я"). Пусть !р„(х, у)-ФО, й-н со в Я(Р"'"). Докажем, что 1рн(х)- О, й-!.со в се ()с"): Так как носители ф„(х, у) ограничены в )(!«'" независимо от й, то, как мы видели выше, носители «р„(х) также ограничены в Й«независимо от й. Поэтому осталось доказать, что при всех а «ми' 0'!р„(х) О, й со. Пусть это не так. Тогда найдутся такие число е,)0, индекс а, и последовательность точек хы что ! ! (е)"1Р«(хн) ! е„ й = 1, 2, ... (6) ! 8 др Так как носители !г ! ограничены в )с«иеза- х висимо от й, то из (6) ! ! ! следует, что последовательность хм й = 1, 2..
также ограничена в )с«. Поэтому по теореме Борис. 31. льцано ' — Вейерштрасса (см. 5 1.1) из нее можно 'выбрать сходящуюся подпоследовательность х„,— хм 1-«. оо. Но тогда О,"'фе1(х„н у)- О, 1- со в Ю()с"). Отсюда, в силу непрерывности функционала д на,У ()с ), из формулы (3) получаем й"1Р«! (х«1) = (д(У), М'фн! (хнн У))-Ф О, (-Ф оо, что противоречит неравенствам (6). Лемма доказана. Вернемся к определению прямого произведения. По только что доказанной лемме «р(х) =(у(у), !р(х, у)) ы я У()г") для всех фен У()с«+'").
Следовательно, правая часть равенства (2), равная (), «Р), имеет смысл для любых обобщенных функций ) и у и, таким образом„определяет функционал на .У ()с««). Далее, из линейности функционалов ( и д следует линейность этого функционала. пРямОе пРОизВедение и сВВРткд Докажем; что построенный функционал непрерывен на .й!()хл' ). Пусть !р„ †»-0, й - со в Ы ()сл""), Тогда по лемме (у(у), !р»(х, у))-РО, й-в со в М ()св), а потому, в силу непрерывности функционала) на Ы(лал), ()(х), (у(у), ф» (х, у))) — О, й-~-со, что и означает непрерывность линейного функционала, стоящего в правой части равенства (2).
Таким образом, функционал ) (х).д'(у) ее й' ()сл'"), т, е. является обобщенной функцией. 2. Коммутативность прямого произведения. Пусть даны Обобщенные функции ) ее.сх'()т") и дя Ы'()т ). Наряду с прямым произведением ) (х) у(у); в соответствии с формулой (2); определяется прямое произведение д(у) ((х): (у(у) /(х), !р)=(у(у), (((х), !р(х, у))), !реп.У()св+'"). (2') Оказывается, что )(х) у(о) =д(у) )(х), (7) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
