Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Единицей в алгебре Я+ является б-функция, так как бвг'=~. 8. Уравнения в сверточной алгебре Я+. В алгебре,й~~. рассмотрим уравнение (28) где а и à — известные, а и — неизвестная обобщенные функции из м+. Решение уравнения (28) при г"=6, если оно существует, называется фундаментальным решением сверточного оператора а* и обозначается а-'. Другими словами, а-' — обратный элемент к а в алгебре ,м +, ава '=6. Теорема. Если а-' существует в .РФ, то для любой (' из Ы+ решение уравнения (28) в .й'+ существует, единственно и выражается формулой и=а-'Фг. (29) Действительно, свертка а-' Ф) е=.й'+ и удовлетворяет уравнению (28): а Ф (а-' * 1) = (а Ф а-') Ф ) = 6 Ф Г = Г. Так как однородное уравнение а Ф ие =О, соответствующее уравнению (28), имеет в м + только нулевое решение: а 'Ф(авив) =(а-'Фа) Ф ив=6 в ил= но=а-'*0=0, (30) то решение уравнения (28) единственно в Я'+ (см.
5 1.11). Доказанная теорема сводит задачу решения уравнения (28) при произвольной г" нз .У+ к решению его при конкретной )=6, т. е. к нахождению а-'. Следующее предложение весьма полезно при построении фундаментальных решений в алгебре '8'+. 'если а,' и а,,' существуют в 'Р+, то (а, Ф а,)-' = а, ' Ф а, '.
Действительно, (а1еа,) Ф(а ва,') =(а,ва)Ф(а-,' Фа,') = = аз Ф (а, * (а( ' Ф а, ')) = аз Ф ((а, Ф а, ') Ф а, ') = =а,в(бва,')=а,*а,'=6. 143 пРямое пРОизаедение и сВеРткА В 5 !О, используя методы ТФКП, мы построим операционное исчисление на некоторой подалгебре алгебры ед+. А сейчас ограничимся определением в алгебре ~а)~ операторов дробного дифференцирования и интегрирования. Введем обобщенную функцию ), из .У», зависящую от вещественного параметра ае (й„, а(0. Проверим, что ~а а Ь = )а+В (31) Действительно, если а)0 и р)0, (см.
$7.4) в (х) Ра*)а= Г(а)Г(6) ~ У" '(х — У)' '((Р= ) 11- П-Ва- д(- В(х)ха+а ( е . Г (а) Г (Р) в в(Ю 'а- в(х) х"-'а-' Г(а)Г(Р) ( ' 6) Г(а+6) Если же с(~0 или р(0, то, подбирая целые числа т) — а и п) — р, получим (а) (и) (а + и) сОп -(- л) )аа(а =(а; та)а+л — ()алаа(а+л) — (а»-()»-а+л )а+а что и требовалось, Рассмотрим сверточный оператор 7"„ а в алгебре Я.'Р. Так как (л = 6, то из (31) вытекает, что фундаментальное Решение 7„' опеРатоРа )„в сУществУет н Равно (..а:( ' =) „.
Далее, при целых п(07„=6») и потому Глаи =бали = и'"), т. е. оператор )„а есть оператор и-кратного дифференци- рования. Наконец, при целых и )О ()л а и)("' = ) л а (Гл а и) = () л а )л) а и = 6 а и = и, т. е. („а и есть первообразная порядка и обобщенной функции и (см. 5 6.3). Поэтому ()ператор Гав называют оператором дробного дифференцирования при а -0 и дроб- ного интегрирования при а)0 (а также оператором Римана — Лиувилля).
!44 1гл. и ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 9. Регуляризация обобщенных функций. Пусть 1'— обобщенная функция и ф — основная функция. Поскольку ф финитиа, то свертка г" Фф существует по теореме з 7.6. Докажем, что (яф=()(у), ф(х — у)) ен С" ()7"). (32) Действительно, в силу (23) при всех ср~ й имеем (7*«р ц)=(1(у) ф($), т)6)ср(у+5))= = (г (у), ) ф (Б) Ч (Б) р (у + $) с(Б) = = (1 (у), $ ф (Б) р (у + $) йя ) = (Г (у), ) р (х) ф (х — у) «х), где вспомогательная функция с) ен Я и равна 1 в окрестности носителя ср. Замечая теперь, что функция ср(х) 1с хф(х — у) принадлежит Л Я'"), и пользуясь равенством (14), получаем равенство (32): (! Ф ср, сГ) = $ ср (х) ()' (у), ф (х — у)) с(х = = Я (у), ф (х — у)), ср), ср ~ Л.
Бесконечная диффереицируемость правой части равенства (32) устанавливается, как.и при доказательстве леммы 9 7.1. Пусть ы«(х) — «шапочка» (см. 9 5.2). Тогда бесконечно дифференцируемая функция Ге(х) = сг Ф Сае = И (У) Сае (Х У)) называется регуляризацией обобщенной функции 7, В 9 5.7 было доказано, что ьс, (х) — б (х), е- +О в Я'. Отсюда, пользуясь непрерывностью свертки ) Ф сь«относительно сь, (см. теорему 9 7.5), получаем 7,(х)- )(х), в-~-+О в Я'. (33) Итак, всякая обобщенная функция есть слабый предел своих регуляризаций. Пользуясь этим утверждением, установим более сильный результат.
Теорема. Всякая обобщенная функция 1' есть слабый предел основных функций, пс. е. множесасво Ю плоено в сх '. Доказательство. Пусть ),(х) — регуляризация г и т), (х), е- 4- О, — последовательность основных функций, равных ! в шаре (7сс«.
Тогда последовательность основных функций «1«(х)(«(х), е «+ О, стремится к 7 в ~с, поскольку !4Ь прямое произведение и свепткд для любой ф,ы с«, в силу (33), имеем 1)т (т]е~в гр) = 1!т ()е т)еЧ') = 1!и! (1е гр) = (~, гр) е +е е +е е +е что и утверждалось. Э а м е ч а н не. Из полноты пространства Я' (см. 4 5.4! вытекает обратное к теореме утверждение: всякий слабый предел локально интегрируемых функций есть обобщенная функция из «~'. Поэтому теорие обобщенных функций можно строить, исходя из слабо сходящихся последовательностей обычных функций. По аоаоду этого подхода см.
П. Антосях, Я. Минусинский, Р. Сикорский 1!1 10. Примеры сверток. Ньютонов потенциал. а) Пусть у(х) — непрерывная функция в )сч ", (О) с интегрируемой особенностью в О и рбз(х) — простой слой на ограниченной кусочно-гладкой поверхности о с непрерывной плотностью р (см.
~ 5.7) Их свертка )ербв — локально интегрируемая функция в )се — выражается интегралом ~ е рбз ~ р (у) ! (х — у) с(Яа, Это утверждение вытекает из представления (23): Чербз Ф) =(рбз(у).16). т)(у)ф(у+3)) = =(рбзЫ Ч(у)Ч($' ф(у+5)))- ~ р (у) т) (у) ) у (й) гр (у+ $) с% ао ~ р(у) ~г(х — у) <р(х) г(хг(Ба ~ гр (х) ~ р (у) 1(х — у) г(~„с(х, Ь) Пусть р — обобщенная функция. Свертка У„= —.„,ер, п)3; 1',=1п — „ер, п=2, (35) ! ! называется ньютановым (при и 2 логарифмическим) потенциалом' с плотностью р. Если р — финитная обобщенная функция, то потениал У„существует в .У' и удовлепгворяет уравнению уассона мУ„= — (п-2)о„р, п~3; сзУа= — Япр, л=2.
(36) !46 ововщенные фхнкции !гл. и — простой и двойной слои на Я с поверхностными плот- ностями р и т (см. Ч 5.7 и д 6.5, а)). Порождаемые ими ньютоновы (логарифмические) потенциалы ! о „, * рбз, и ~ь 3; )гз"' =1п * рбх, !х~ п=2; (38) ! д Г" = — =* — (тбз), !х! -' дп ! д )г,"' = — 1и —, * — (тб~), !х! дп (39) называются соответс~венно поверхностными потенциалал!и прог!ного и двойного слоя с плотностями р и ч. Существование потенциала Р„вытекает из теоремы ч 7.6. Пользуясь (20) 5 7.5 и (33) 5 6.6, заключаем, что при и ~3 потенциал У-„удовлетворяет уравнению Пуассона (36): ! *р~=~ *р!!х)х-х ) !х!" х = — (и — 2) а„б л р = — (п — 2) о„р; аналогично поступаем и в случае и =2. с) Если р — финитная (абсолютно) интегрируемая функция на )с", то соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал )г„называется объемным поп!гнциплом (поп!гнциалом площади).
9бъемный потенциал Ä— локально интегрируемая функция в Р" — выражается интегралами ~'„(х)=~ ' ~„, ду, п~З! (37) 1',(х)=~ р(у)1п ду, п=-2. Это утверждение вытекает из формулы (15) для свертки финитной интегрируемой функции р с локально интегрируемой функцией !х,"-", и) 3, и — !и х!, и =2. д) Пусть 5 — ограниченная кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность с выбранным направлением нормали и на ней и р и т — непрерывные функции на Я.
Пусть д рбз и д' (убл) пРямОе пРоизВедение и свеРТЯА Поверхностные потенциалы У„"' и У„"' — локально интегрируемые функции в Й" — выражаются формулами У,"'(л)= ~ р(у) 1п т(5„, л=2; 5 (40) У2' (х) = (д) — „., !(о„, п д ! У~" (х) = т(у) — !п, ИВ„, о=2. д ! (41) Формулы (40) являются частными случаями формулы (34). Докажем для определенности формулу (41) для потенциала У„"', л~3. Пользуясь представлением (23) для свертки и определением двойного слоя, при всех ~р ен лР получаем (1 л, !Р) —: л (тб5), ц>)— ! !(хл' дп тд ~ д (мбз (у)) ' -л т! (у) т (5 + Л)) ! (д„(~б~(У)), т) Ы~ ~~...
ч (У+В)~ = ~ (У) д„~Ч(у) ~-,-; —;;~~1~;= 5 — ~ т (у) -„- ~ „„, Лх б5, = 5 д ! -) (л))ил~ ..ь лл,- - ! л|л) .ЛЛ,— л..лл,лл д 1 откуда и следует требуемая формула (41). Дифференцирование под знаком интеграла здесь обеспечивается теоремой З 1.6, а перемена порядка интегрирования — теоремой Фубини (см. $ 1.4, )!)) в силу сущест- [гл. !! ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ воввння повторного интеграла ~]ч(у)] ~]гр(х)]~ —, „~с(хг(5в. 11.
Упражнения. а) Доказать равенство д" !О (х,) ... 6 (х„)! "') " —— 6(х1) ...6(хл)=6(х). дх, ...дх„ Ь) Доказатгк ьпрр ]/(х) я(у)]=вирр /!сзцрр я. с) Доказатзп для того чтобы обоб:ценная фуинцня /(х) не зависела от х, необходимо и достаточно, чтобы — =О. д/ О дх; б) Докрзатгп для того чтобы обобщеннав функция не зависела от хь необявдимо и достаточно', чтобы она была инвариантна относительно асе( сдвигов по хп е) ДокйзатОи зцрр (/ей) (х ]х: х у+1, у щ Вирр /, тее зцрря], 1) Доквзатгп если обобщенная функция / ие зависит от хп то таким же свойством обладает и свертка !ей. (Унвзанне: воспользоваться с) или 6).) й) Пользуясь 1), доказать: если свертка !е! существует, то она совпадает с постоянной. 'и) Проверить равенства: !) /ее/р=/ичр /в(х) — хи зеех, а)0; 6 (х) Г (а) 1 2) !а*/Р=!г —, /а(х)=, и зи а>0! \ге'+6' У 2и 1 а 3) /а е !Р Лир /в (х) = — , а ) О. !) Доказать, что (* (6 -7Ь~а]-г = е ((6 - И~-~]а= О (х) ха-звь ! (Д- 1)! здесь введено обозначение е/а=/е ...*/ (Ф раз).
]) Пользуясь формулой (31), показать, что функция и(х)= — ! еа а[ива Г й'ф) и ) (х-6)ыо в есть решение интегрального уравнения Абеля дь = й (х), у (0) = О, и щ С' (х ~ О), 0 < а < 1, и ($) 4 щ оьовщенные еннкции медленного аост» 149 й) Локазать равенство ечк/ е ее«Е е»к у е а) 1) Локазатсп если / сп ер'(Р'), /еср щ ~е", при всех ср щ я («< < О), то /щ есг,'. щ) Обозначилс через в' пространство фннитных обобщенных фуннций со с«одино«тлю; /»-лО, »-лно в в', если а) /» О, »-лсо в Я' и Ь) существуе~ такое йл) О, что вирр/» щ Уп при всех й= =1,2, ... «»оказать теорему; для того чтобы оператор 6, действующий из бе в Я', представляло«в виде свертки, Ц=/„к /, где /» сн Я', необходимо и достаточно, чтобы он был линейным и непрерывным из е' в ег' и коммутировал с операцией сдвига (см.
Ь 7.5, б)). При этом элемент /» — единственный и /»=1.6. $8. Обобщенные функции медленного роста Одним из мощных средств для решения задач математической физики является метод преобразования Фурье В лк 9 будет изложена теория преобразования Фурье для так называемых обобщенных функций медленного роста ((епсрегес) й)з1г)Ьп1)опз). Поэтому сначала нужно изучить класс обобщенных функций медленного роста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
