Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 26
Текст из файла (страница 26)
П ример. е-в! т)! = —, а ) О. ! (3) о 2. Преобразование Лапласа обобщенных функций. Обозначим через 0«)'.«(а) совокупность обобщенных функций )(!) из ы+ (см. З 7.7), обладающих тем свойством, *1 См. также В. А. )днткнн н А. П. Прудников (1! н Ю. А. Брыч. ков н А. П. Прудников (1!. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА % !о! что 1(О е-а! Бн аУ.'р при всех о ) а *).
(4) ОПрЕдЕЛЕНИЕ а9'+ СМ, В З 8.6; аУ".р — СВЕртОЧиая аЛГЕбра, Очевидно, что .У+(а,) с: У'+(ае), если а, (а,. Справедливо включение: е!» с: Ю'р (0). Действительно, если 1ен У", вирр!с 10, сс), т) — любая функция класса С" со свойствами: т) (() = О, ~ ( — б, т) (() = 1, ( = — 6)2, 6) 0 — любое, то при всех о) 0 т) (!) е ' е= ер', 1 = т(1 (см.
з 5. 10), и поэтому 1(() е-а! = 1 (г) и (() е-а! Ен др" Если 1ев У+(а), то Ь1еи У+(а), Ьенем', 1(йг) ы.мр'+ (йа), й )О; 1(!) ех' ы ла+ (а+ (сеЛ). Эти утверждения непосредственно следуют из опреде- лений (см. з 8.3), Если 1 и и еи,У'+ (а), то ! в д ев гх!+ (а) и справедливо равенство (1 в аа) е-а! 1е-а! в аае-а! с! ) а (5) Действительно, пользуясь формулой (17) р 8.6, при всех о)а и !реп аР()74) имеем (1е-а!вяе ', !р) =(1(()е-" д(т) е '„т)с(!) т(,(т) <р(Г+т)) = (1(!) .в (т) (!) (т)е-а<!+с> <р() 1 т)) (1 е, в ! е-а!) (е-а! (1 в в!) ) откуда и следует равенство (5). Так как 1е-" и ие-а! е= а9'+ и ар'+ — сверточная алгебра (см.
~ 8.6), то из (5) следует, что (1 в а) е-" ~ аул+, о ) а, т. е. !в К ~ Я'+ (а). Мы доказали, таким образом, что Я+(а) — сверточнал алгебра; она является подалгеброй сверточной алгебры .й'» (см. $ 7.7). В частности, если!БЕ ер+(а), то1(( — т) =1:вб(1 — т) ев ~Ы+(а), т)0; 1<'">=1аб'">енЮ+(а), т=1, 2, ...; если а)0, то т-я первообразная 1< > *= Ьв... ввв1ен.'Ур (а), юа раз т=1, 2, ... (см. Я 6.3 и 7.8), ') Обычно в качестве а берется !!я тех о, для которых нмеет место (4).
(78 ОБОБшениые Функции (Гл. !! Пусть г'ен вгт+(а): Из условия (4) вытекает, что при каждом о)а обобщенная функция г(()е-" обладает преобразованием Фурье, и поэтому Р (р) = г [7 (() е-Р(] ( — (в) = 2пг"-! [)'(() е-'(] ((в) ен РУ", (б) о) а. Фиксируем произвольное число о,)а. Докажем, что ..Р (р)=(7(1)е-"(, ()(1)е-(Р- !'), о)о„(7) где () (() — произвольная вспомогательная функция, введенная выше Действительно, пусть о) о,) а и (р ~ РР". Тогда (.р (о+(м), р) =(у[1(()е "]( — (в) 'р)= =(((Г)е ", р[р( — ю)]) = (,1(() г(()е-Ри е-(Р-Ра)(Р[(р]( !))— — (/(1)е Ра( (1(!)е (О О (($(р((в)е-(э((((в) Но при каждом о)ов (1 (() е (Р-Ро! (-(ан(р ((в) е Рро (ЯР) Поэтому интеграл в последнем выражении можно вынести за знак функционала (см, (15) э 8.5), и мы получаем (Р (о+ (м) Ч) = ] () (() е "' т) (() е " "") (р ((в) д откуда и вытекает формула (7).
Р (р) — аналитическая функция в полуплоскости о) а и в каждой полуплоскости о) ов) а справедлива формула дифференцирования ,У("((р)=()(!)е-'о' т((!)( — (у" е-(Р-Ро! ), т=1, 2,, (8) Доказательство этого утверждения аналогично доказательству леммы з 8.4, если учесть, что (Р (ЬР РоЪ ! г-(Р-Ро) С Ч (!) Лр (т) (() е-(Р- .! ! сор -~ О в Фк. Функция У (р) называется преобразованием Лапласа обобщенной функции ((!) из Ы+(а). В операционном исчислении (обобщенную) функцию !'(() называют оригиналом, функцию Р (р) — изображением !79 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА е !е! и этот факт записывают так: /(1) °,р'(р), о) а.
(9) Отметим, что между оригиналами /(1) и изображениями Р (р) имеется взаимно однозначное соогпвететвие"). Это утверждение вытекает из определения (б) и из взаимной однозначности операции преобразования Фурье (см. 9 9.2). Очевидно, преобразование Лапласа — линейная операция: если /„(1) Р'»(р), о)а», й=1, 2, то и Ц!(1)+р/е(1) ) Р»(р)+)(У»(р), о)!пах(а,, ае). При мер. б(1 — т) е-'и, р — любое, т)0. (10) 3.
Свойства преобразования Лапласа. а) Дифференцирование преобразования Л а п л а с а. Если / ~ .У' (а), то ( — 1)'"/(1) и!м!(р), о)а, т=О, 1, ... (11) Действительно, ( — !)" / ~ Яь (а) (см. 9 10.2). Применяя формулы (7) и (8) к ( — 1)'"/, при всех о ое)а получим соответствие (1!): ( 1)»!/(1) ~» (( 1)»!/(1) и-ое! т1(1) е-!Р-и !!)— ~'(/(1) е-~е, т! (1) ( — () е-!Р-о~! !) =,У'( ! (р). Ь) Преобразование Лапласа производной.
Если /~.У+(а), то /! !(1) р .У (р), о= а, т=О, 1, ... (12) Это соответствие достаточно доказать при т=1. Мы знаем, что /' ен Я+(а) (см. 9 10.2). Поэтому /' (() г [/' (() е-"] ( — е!) = г [(/ (1) е-") '+ о/ (() е "] ( — еэ) = (о+ »оэ) г [/ (1) е-е'] ( — о!) = р,T (р) что и требовалось. с) Сдвиг (смещение) преобразования Лап л а с а. Если / ен .!и '+ (а), то /(1) е»» К (р — 7), о) а+ Вел. (13) ') Поэтому соответствие (9) симметричио. 1ВО 1гл.
и ововшенные фгнкции В 2 10.2 показано, что) (1)е"с ен Ы+(а+Йесв); поэтому в силу 4 9.3, д), 7 (1) е"' г' [7 (0 е"се-ос1 ( — сз) = = р[((() е-"-"">( — ы)-.~(р-)) д) Преобразование Лапласа подобия. Если ) ~ Ы+ (а) н й ) О, то ((И) — У ( -Р ), о ла. (14) Действительно, )(М) ~ Ы+(Аа) (см. З 10.2) и, в силу з 9.3, е), 7 (И) г [~(М)е-ас)( — оз) =г [у(Ы)е т 1( о = — Р[7(()е а 1(- — '" ) = —,)г(~„'). е) Преобразование Лапласа свертки. Если ~ и д ев Я+(а), (,У' и д л, о)а, то ((ьй)(() г (р) т(р), о)а, (15) так что преобразование Лапласа мультипликативио. Мы имеем )од~ М+(а) (см. 2 10.2) и, пользуясь формулами (5) и (7), при всех о)оо)а получаем дайс) (Г) »(доф) (Г) е-ос Ч(Г) е-со-ов)с) = ([е-овс о ©се-овс Ч (() е-ссв-ав)с) Но Ч(Г)е-с~ 'в" ыар', и поэтому по формуле (17) 5 8.5 будем иметь (~чу) (Г) вв ()(1)е-авс.оо(г)е-а~в т1 (с) 11 (т) Ч(( 1 т)е-ср-о 1(с+в)) Учитывая теперь, что прн некотором выборе вспомогательных функций Чм Ч, и Ч справедливо тождество (рис.
37) Ч1 ( ) Чо (т) Ч (1 +т) Чв (г) Чо (т) и пользуясь определением прямого произведения в оуе' (см. з 8.5)„получаем формулу (15): (~ойс) (с) ов. (7(Г) е-овс.оо(т) е — а,с Ч (с) Ч (т)е-со-ав)(с+о) — (сс (1) е-овс Ч (С) е-(о-о вс) (©с (т) е-авв 11 (т) е-~о-о в в) = ~ (р) э(р) если еще раз учесть формулу (7).
1В! $ !О! ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 1) Преобразование Ла и пас а сдв ига (за и а зд ы в а и и я). Если г ев Ы+ а) и т ~ О, то )(( — т) е-'РУ (р), о)а. (16) В самом деле, 7'(1 — т) ен М+(а) (см. ~4 10.2) и, в силу (15) и (!0), ! (1 — т) = ) и б (( — т) е'Р,У (р). и) П реобразование Лапласа первообразной. Если ) ев Я+(а), а)0, то Г'!- !(() — „Р, о)а, т=О, 1, ... (17) Действительно, )!- !ыЯ+(а) (см. З 10.2) и, в силу (1б) и (3), 1-- (() =за... Эзель-4.р (р).
РФ т рвв 4. Обратное преобразование Лапласа. Возникают задачи: 1) датьвнутреннееопн- т саине изображений алгебры Я+(а) н 2) как по данному изображению восстановить %® ~ (единственный) оригинал? Ответы иа эти вопросы со- -вт !7 держатся в следующей основной теореме. Предварительно введем ! л класс Н(а) — совокупность ! функций «К (р), аналитиче- ! Уе(ту-о ских в полуплоскости о)а и удовлетворяющих следую- Рис. 37. щему условию роста: для любых е)0 и о,)а существуют числа С,(оч)~0 и т =т(ов) эО такие, что ( У (Р) !(Св(оо) евч (1+ )Р ~'"), о) ов. (18) Очевидно, Н(а) — алгебра с обычным умножением аналитических функций.
Основная теорема. Для того чтобы 1(О принадлежала Я+(а), необхоИмо и достаточно, чтобы ее преобразование Лапласа Г (р) принадлежало Н (а) При этом ововщенньщ ькнкции и'л !! Рассмотрим теперь общий случай. Фиксируем произвольные Ь=а, о».. а и целое й)т(о,)+1 и введем функцию У (р) 'у'(р) (р — ь)» ' аналитическую в полуплоскости о = а и удовлетворяющую при всех о)о, оценке типа (20): ~ Х (р)~ С, (а») е»а (1+ ~ р !."ч) С (а)е»а 1+1 р~а С»(а)е»а , 'р — а ~» '" ~ р — а,'" ~ р — а,» а' По доказанному существует непрерывная функция Г! из Ю+ (о,) такая, что а+!со !'! (() = ~— ; ~ "! (Р) е»ч !(р Х! (р), о) о .
(24) ! Отсюда, пользуясь формулой (12), выводим ('-л- -Ь),'),(1)-(р-Ь)» У (р)= У(р), Обозначая о) о» ! (() = ф — Ь) ~~ (О, Лля доказательства достаточно заметить, что в формуле (19) возможно дифференцирование под знаком интег- заключаем„что !'ен.У~(о,) (см. у 10.2), ~((),у (р) о)о, и, в силу (24), справедливо представление (19). Осталось заметить, что построенная обобщенная функция( из Дл', (с!,) (для любого о,) а) единственна и поэтому она не зависит от выбора вспомогательных параметров Ь = а, о» а и й)т(о,)+1. Но тогда )е-:.У+(а) и ~(() 6р),' о ) а. Теорема доказана.
Сл едет в не. Пусть функция Х (о+ !ы) абсолютно интегрируема по !а на Я! при некотором о)а. Тогда справедлива классическая формула обращения а+к ~Я=я — „, ~ У(р)е с(р. !Вб % со! ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Л АПЛАСА рала й раз (см . 2 1 . 5)„ и далее воспользоваться равенством (-- ) -- — Ь) ед'=(р — Ь)'еа'. с( за ой ) Доказанная теорема устанавливает взаимно однозначное соответствие между алгебрами Яч(а) и Н(а), причем это соответствие линейно и мультипликативно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
