Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 30
Текст из файла (страница 30)
д! 2те дхе ' !) Показать, что функция ( !)ьг~ «) оюь(х)= ,'х(зь а 2зьп 3 Г (й) есть фундаментальное решение итернрованного оператора Лапласа Ла при 2Й ( и. ц) Доказать, если функция и ш Я' (й" ы) такова, что свертка и э (б(х) ° ! (!)! существует, то существует функционал иа (см.
(!6)), н ь) См. Н. Н. Боголюбов н Д. В. Ширков ()),.гл. П. Обобщенные функции 0", О», 0' и 0 — играют важную роль в кван|оной теории поля *). б) Пользуясь формулой (43) 3 2.8, показать, что матрица четвертого порядка 268 оуидаментальное решспне и задача коши справедлива формула и * 16 (х) . ! (гВ = ие (х) . ! (!). Ь) Доказать: если фуякяия ), и (х, 0 г!! локалько янтегряруема, го и е [6 (х) ! (гЦ =) и (х, т) г(т. й 12.
Волновой потенциал !. Свойства фундаментального решения волнового оператора. Фундаментальными решениями волнового опера. тора при п = 1, 2 и 3 янляются (обобщенные) функции 'см. формулы (32) и (30) 5 11.7) Жа(х, 1) = — 6(а( — ',х!), Ка(х, () =— 2о ' 2ло )' ааге — ~ х !а' Жа(х, 1) 4-, гбл г(х)= — б(гг1 —,х!а). ер) е(г) Функции Кг и Ка локально интегрируемы, а обобщенная / хх т Рис.
42. Рис, 43. функция 8а действует на основные функции грен ег()са) по формуле (31) 2 11,7: 4гоге~ г ~ р(' ) 4лоа~ о аы й~ Носители функций К, и Ка совпадают с замыканием конуса будущего Г' (рис. 29), а носитель обобщенной функции Жа совпадает с границей (а( = ( х(] этого конуса. На рис. 42--44 схематически изображены ~рафики фундаментальных решений Жа,' Жа и Жа в момент времени 1.
% м) волновая потенциал Пусть )(х, () ~ 'ин(Р"") и ф(х) ~,У ()т"). Введем обобщенную функцию (1 (х, 1), ф(х)) ен.У' (Р), действующую по формуле ((1 (х, 1), ф(х)), ф) =(), фф), ф(() енЮ(Р'). (2) Из зтого определения вытекает следующая формула: ( "' , ф(х) = —,([(х, 1), ф(х)), й= 1, 2, ... (3) дл1(х, О 1 дь Действительно, при всех ф ен Ы (Я') имеем (( .' 1д"1 (х, О '1 ', дл1 ', л,' длф д 'ф(х) 'ф д 'ф$ ( 1) ~' 7~ = ( — 1)' (()(х, 1), ф(х)), —;1= („—,(1(х, 1), ф(х)), ф~.
откуда и следуют равенства (3). Будем говорить, что обобщенная функция Г'(х, 1) принадлежит классу Се, 0 == -=. р = ., по переменной в (а, Ь) (соответственно на [а, Ь'1), если для любой фен .У (гг") обобщенная функция (1 (х, (), ф(х)) принадлежит классу Се(а, Ь) (соответ- Ю Р ственио Се([а, Ь)]) (см. З 5,6). д аг Л е м м а, Фундал1ентальные решения й'„(х, 1), и =1, 2, 3, принадлежит классу С по переменной 1 в [О, .) и удовлетворяют предельным соотношениям при 1- +О 8„(х, 1)- О, " ' — 6(х), ",' -+.0 в Ы'(й"). (4) Доказательство.
Пусть п=3 и ф~Ы()т"). Из (1) вытекает, что аи., к с*п-,'„!,' [ с*и~=+!'~ н.ма. в> и 1 Так как правая часть равенства (5) бесконечно дифференцируема по 1 в [О, оо) в смысле у 1.2, то, следовательно, е', принадлежит классу С по 1 в [О, со). Кроме 2!О вундлмвнткльное зашвниа и зкдкчл коши [гл. гн того, из (6) вытекает, что (бз(х !), <р(х))-~0, 1 — !-+О. (б) Далее, пользуясь формулой (3) при 1=аз и й=1, 2, из формулы (б) получим при 1 — !-+О (",' ", !*!) —,',~„'(~!.*!! )— — ~ !р(а[з)еЬ+4 и! ~ ср(азз)ив !р(0)=(б, ср), (!) 5, ° !р (х) = ,!! 4 ~ !р(ага)'( 5, везРе „, 1 !р(аЯ Ив + -„ „ †„ ~ <р (а(в) се -~ О, (8) 5, в ибо функция ~ !р (а(в) зЬ = ~ !р ( — а!в) бв — четная бесконечно дифференцируемая по 1, а потому ее первая производная при 1=0 равна нулю.
В силу произвольности гр ~ "х (Рз) предельные соотношения (6)— (8) эквивалентны соотношениям (4) при и =3. Пусть теперь и= 2, 1 и ср ев.!г! (Й"). Тогда при 1)0 а! ! (Жз(х, 1), <р(х))= — ~ <р(х)Их=,- ) <р(ает))й), (10) — а! Отсюда, как и при и =- 3, вытекают все утверждения леммы. 2. Дополнительные сведения о свертках. Установим еще один признак существования свертки.
Те о р е м а. Пусть обобщенные функции !' и и из Ы' ()с"") таковы, чп!о )' (х, 1) = О, ( ~ 0 и вирр и ~ Г ". Тогда свертка )вб существует в .у'(й"') и при всех <реня(е("ы) » 121 волновои потвнцилл представляется в виде ()*а, ~) = = (Р(В, () у(у, т), ч(т! п00»)(ат' — (у1т)ч Я+у, (+т)), (11) где Ч(т) — любая функция класса С (И!), равная 0 при (( — 6 и 1 при ( ° — е (6 и е — любые числа, 6) е)0). 7)ри этом свертка !'вд обращоеп!ся в нуль при ( 0 и непрерывна относительно !' и д в отдельности: 1) если )»-а-О, !с-~со в '.»д'(Р"»!), )» — — О, (;О, то )»*у-~.О, /г — »-сю в ср' (й»")' 2) если у» — О, !с- со в Я' ()с»»!) вцрр у» ~ Г', то / Ф о» вЂ” » О, Й вЂ” ~ со в Ы ()7»'!) До к аз а тел ьств о. Пусть ср(х, !) — 'произвольная фУнкциЯ иР »Р(йь»!), хцРР»Рс-(7» и с)»(т, О У, т), (г= = 1, 2,,,— последовательность функций из З (й""'), сходящаяся к 1 в й'»" (см.
Э 7А) Тогда при всех доста- точно больших й =т)(()т)(т)т)(а»т» — 1у1ь)т) (~, 0 у, т)!р(с+у, (+т)= =»)(~) т)(т) п(атт' — !у!') ср(5+у, (+т) =ф. (12) Для доказательства равенства (12) достаточно устано- вить что функция ф~ '0 (Р'""), Но это следует из того, что она бесконечно дифференцируема, а множество !($, 1, у, т): !> — 6, т) — 6, а т' — )у!ь) — 6, !у+51'+(г+т)'~ А'1, а котором содержится ее.носитель, ограничено, поскольку оно содержится в ограниченном множестве (см, рис, 35) ~ — 6~(=А+6, — б~т А+6, !у!(~'а'(А+6)'+6, ( $ ! =.
3Гаь (А + 6)т + 6 + А1. Далее, по построению П(!) =1 в окрестности носителя 1($, !) и т!(т)»)(а'т' — !у!') 1 в окрестности носителя д(у, т). Следовательно (см. (18) $ 5.10), ) Я, 1) = ») (()) Я, (), у(у, т) =т)(т) т)(аттт — ~у!т) у(у т) Учитывая теперь эти равенства и равенство (12), убеж- даемся в справедливости формулы (1!): ()вам, ср) = ! !го (/($, !) д(у, т), т)» Я, ); у, т) ср Д+ у, »+ т)) = 1(ш (/ ($, 1) д(у, т), ф,) = (1 Я, !) д(у, т), »р), ~р ~ Ю ()("").
»»» 212 Фундаментальное решение и зАдпчА нощи ггл. гг! докажем, что )ау=О, ((О. Пусть гр(х, 7)евЮ(Рпчг) и энрр гр с ((~ 0]. Так как носитель гр — компакт в Рп", то найдется такое число бт)0, что зиррср~~7~ — 6т], гз тогда, выбирая 6( —, получим йг т)(() т) (т) т) (азтз ~ у з) гр(1 ( у г+ т) 0 (13) откуда, в силу (11), ((жд, гр)=0, что и утверждалось. Непрерывность свертки 7" ву относительно 7' и у следует из представления (11) и из непрерывности прямого произведения 7" Я, () у(у, т) относительно 7' и у в отдельности (см.
2 7.3, а)), При этом вспомогательную функцию т) можно выбрать не зависящей от й. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Доказанная георемп легко обобшагтся на тот случай, если конус будушего ры замеиизь па произвольный замкнутый выпуклый конус С, не содержа~пий мелей прямой Отметим, что частный случай этой теоремы (при к=о) установлен в 4 7.7. Докажем формулу: если д(х, () ~ Я" (Рп+т), вирру с:. с: Ге и и(х) ев У'(Р"), то д в ]и (х) 6 (()] = д (х, ~) а и (х), (14) причелг обобщенная грункция д(х, () аи(х) действует по правилу (у(х, Ф)ми(х), гр)= = (у(у, С) и(Е), т)(аЧ' — ]у]')гр(у+Е, ~)), грен пР(Р""'), (15) Действительно, полагая в формуле (11) /=и(х).6(1), при всех гр ~ огз (Р"э') получим (д ж ~и (х) 6 (7)], ср) = ==(д(у, т) и(й) 6Р), т((т) П(()т)(азтз — ~у~)ч(у+5,т+()) = = (д(у, т) и($), г)(т) т)(азтз — ~у/з) (6((), т) (() чг(у+5, т+())) = [=(к(у.
т).и(й), т)(т)т)(а' ' — !уР)гр(у+с, т)). (18) Поскольку носитель у(у, т) содержится. в полупространстве т . О, то, в силу (18) 4 5.10, у=т)(т)д. Далее, функция т)(а'тв — (у /') ср(у+Я, т) ев:хт(Реа '). волновои потенциьл г!з ! !оэтому, продолжая равенства (16) и учитывая (15), полуи~м равенство (14): (ць[и(х).6(г)), <р) = =(г)(т)д(у, т) и($), г((аьть — ! р,") Ч (у+ 5, т)) = (д (у т) и д) 11 (вать ~ у !ь) г( (у+ $ .г)) =(д(х, () ьи(х), гр).
!десь последнее равенство получено в силу теоремы 3 7.5. Пользуясь теперь формулой (14) н правилами диффе!генцирования прямого произведения (см. 3 7.3, с)) и <яертки (см. 3 7.5, с)), при всех я=1, 2, ... получаем равенства г(в[и(х) 6"'(Г)1= — [д(х, !)ви(х)]= — ~~"' )ьи(х). (1?) дсь д!ь 3, Волновой потенциал. Пусть обобщенная функция ) (х, () нз,!й' (Р""') обращается в нуль в полупространстве ! -О. Обобщенная функция У =Ж„ь(, ~де в"„— фундаментальное решение волнового оператора, называется волновым потенциалом й плогяностью ~.
Так как зцррЖ„с:Г', то, по теореме 3 12.2, волновой потенциал У„существует в Ю'()х" л) н представляется в виде (У„, т) =(Ж„(У, т) ((я, т'), ц(т)Ч(т'))(аь ' — ~р!')р(у+1, т+т')), ц ~я'()х""'), где г)(т) — любая функция класса С ()7'), равная О при тс — 6 и 1 при т) — е! 6 и е — любые, 6) е) О. Кроме гого; по той же теореме волновой потенциал У„(х, Г) обращается в нуль при ((О и непрерывно зависит от плотности ) в '." (й"-'). Наконец, по теореме 41!.3, этот потенциал удовлетвЬряет волновому уравнению [ ),У„=).
' (19) Дальнейшие свойства волнового потенциала У„существенно зависят от свойств плотности (. Если )' — локально ингпегрируемая функция в ц"'1, шо У, — локально интегрируемая финкция в Я" ' ц 2(4 ф~идлмент((льнов еешение и злдАча коши (гл, гп вмражага(ся (рормулами (20) У(к: ао о и(', а'(!-ки (к+а(! — к! )(,(х, () = ~-, ~ 1 )($, т)((~(( (20") О к — а(! — к! Докажем формулу (20). Пусть ч(~ 'к'()т!).
Так как ( — локально интегрируемая функция в )((, то, учитывая, что ) =0 при г(0, и принимая во внимание формулу (1) и теорему Фубини, из представления (18) получаем (((а, Ч() =(~',(у, т), () (т) т) (а'т' — ) у(') ~)($, т') т) (т') (Г(у+ $, т+т') Я((т') = = (еа(у, т), () (т) т)(а'т' — (у ') ~)(х — у, ( — т) Ч((х, ()((х((() = ('~уР д д ! 1 ! [ ~ ) ( х у ( ~ ч ( х ( ) й х й Е ~ ( ( у ) ((((х, !) ) ~ ((у((хЖ. ( а! Это значит, что потенциал 1(а-локально интегрируемая функция в )т' и представляется в виде )га(х, () = —, ) ((у. (21) "" й.! Совершая в этом интеграле замену переменных х — у=$, получаем формулу (20).
Аналогично, с соответствующими упрощениями, выво- дятся формулы (20') и (20") для потенциалов )(, и )(,. Сопоставим каждой точке (х, (), !. О, открытый конус Г, (х, () =Г (., ()()(0 216 волновоя потенпилл вершиной (х, 1), основанием 0(х; иг) и боковой поверхностью В(х, Г) (рис. 45); здесь Г (х, 1) — конус прошлого кгм ~ З.З). 1'г,г) Рис. 45. Теорема.
Если г'енСт(Г- О) при п=3 и 2, )ен ~:— С'((--0) при п =1, то потенииол (г„в=С'((~0) и удовлетворяет опенке з(х' г) ~~ 2 гпах 1)(~' т а во и ()г„(х, 1)~== — шах (г'($, т)!, п=1, 2, гры, о (22) и начальным условиям У„1,.=0, — "~ =О. днл дС с-о (23) Так как Г ен Сх(1.=- 0) и подынтегральное выражение в (24) имеет интегрируемую особенность, то (гв~С'(1)0) (см. 1.5). Из представления (24) следует также оценка (22) длн Доказательство. Докажем теорему при п=З. Замена переменных у = агт(,' Г:> О, преобразует формулу (21) к виду 'и' ( 1)= — ( 1( "' ( 1 "111 йи.
(24) 4л .1 'ч1 й, 210 омндлментлльное решение н злдлнл коши !гл. гп потенциала Уз.' !)'з(х, !))( ! тах 1/(й, т) ~ ] — ~ = птах !/(ь, т)!. 4Л В<к О ' ~Ч! 2 В<к О й, Так как )геен С'(!~0), то нз оценки (22) вытекают на- чальные условия (23). Пусть теперь п=2. Замена переменных 5=»+а!т), т = ! — ск/, ! ) О, преобразует представление (20') для потен- циала )гз к виду ! )гз(х, !)= — ( 1 /(к+а"' ) г(т)г/а, (24') из которого непосредственно и вытекают требуемые свой- ства этого потенциала. Свойства потенциала )г! следуют из представления (20').
Теорема доказана. 3 а и е ч а н н е. Волновой нотенннал т'з (к, !) называется также залаздыеающам яотеляиалом. Это название связано с тем, что согласно формуле (20) значение потенннала К, в точке к в момент времени ! >О определяется значенннмн нсточннка /(т, т), 5 гв О(к; аб, взя. ,х — $~ тымн в ренине моменты времени т=! — ', причем время запала ! дывання — ! х — $ ~ — зто то время, которое необкоднмо для прихода а возмущения нз точки й в точку к. Другнмн словамн, Нз(к, !) зави- сят лишь от значеннй источника /(й, т) на боновой поверхности В(х, !) конуса Г„(х, 0 (см. рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
