Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Действительно, в си- лу принципа Гюйгеиса х (см. 2 14.2) в данную Рнс. 54. точку (х„О, 0) ен )сз в момент времени 1 ) 0 возмущение от источника 6(х) 1(х„х,).6(1) будет приходить из тех точек сферы (х — х„д+х,'+хд"=ад(д, которые лежат на плоскости х=О, т, е. из точек окружности (рис. 54) А,1= 1х1+х, =а'!д — х„х= 01. Отсюда следует, что при !( ~ =(с в точке (х„О, 0) ~ хс ~ будет покой; в момент времени (, через эту точку пройдет передний фронт волны (возмущение придет из точки 0); во все последующие моменты времени 1) 1, в эту точку будут приходить одинаковые возмущения из точек окружности А„, и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны отсутствует).
Из наличия диффузии волн на прямой в случае точечного начального возмущения 6(х) 6(1) следует, что диффузия волн наблюдается и для произвольного начального возмущения и,(х) 6(!). Рассмотрим теперь мгновенный точечный источник вида 6(х) б'(1). По теореме 2 13.3 этот источник порождает возмущение Ф д (х, () = Ф д (х, !) Ф 1б (х) 6' (1)1 = = — -! е (а( — ~хО = — 6(а( — ~!х'!).
(2) дауд(х, О ! д 1 дт 2а д! Отсюда видно, что возмУщение Фд(х, 1) в момент вРемени 1)0 будет сосредоточено только в двух точках х= 1-а(, РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН в !41 так что после прохождения фронта волны !х) =а( снова наступает покой. В этом случае имеет место принцип Гюйгенса. )(ля произвольного начального возмущения вида и,(х).
6'(() возмущение и(х, () при Т- 0 полностью определяется значениями и,ф в точках х +-а(, т. е. в точках границы основания конуса Г„(х, () (рис. 45). Это возмущение, в силу теоремы з 13.3, дается формулой и=К,(х, () в[и,(») 6'(1Д= 8,(», () ви,(х). Отсюда, учитывая равенства (2), при ! 0 получаем и(х, С) = ~ 6(а( — ~»1)в ив(х)= 1 1 = — ив (»+а()+ 2 ив (» — а(). (3) — 2 в Ф и з и ч е с к и й с м ы с л ф о р м у л ы (3) состоит в том, что начальное возмущение и„(х) . 6' (!) при ( ) О как бы распадается на два подобных возмущения - и, (х а(), ! каждое половинной интенсивности (рис.
55). Рис. ьь. В соответствии со сказанным области влияния отрезка К=[6, с) для начальных возмущений и,(х) 6(!) и и,(х).6'(!) имеют вид, указанный на рнс. 56 и 57. Таким образом, на прямоо для начального возмущения и, (х) 6 (() имеет место диффузия волн, а для начального возмущения и, (х) 6' (!) — принцип Гвйгенса, Лля произвольного возмущения г, Г (х, () = О, ( с 0; могут иметь место либо принцип Гюйгенса, либо диффузия волн, либо их наложение. Физические интерпретации и геометрические построения аналогичны рассмотренным в 3 14.2 и й !4.3 соо !ветственно.
2И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Гп 5. Метод распространяющихся волн. Изложим другой метод — метод распространяющихся волн — решения клас- х=-аме л с Рнс. 56. л--вг -в е л л с Рис. 57. сической задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения г-). =о, (4) и!г-о= ио (х) иг 1ыо = и1(х) (5) Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма. Для того чтобы функция и(х, () класса СА была решением волнового уравнения (4) в некоторой области, необходимо и достаточно, чтобы в втой области она представлялось в виде и(х, 7) =7'(х — а1)+у(х+а(), (6) где ) (6) и д (ц) — функции класса О в соответствующих интервалах изменения переменных $ и и.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция (6) удовлетворяет уравнению (4), так как д~~ ~( )+ Ф (+ ) дхе' Обратно, пусть функция и(х, () класса С' удовлетворяет уравнению (4) в некоторой области. Представим урав- Р4СПРОСТРАНЕННЕ ВОЛН 4 441 пение (4) в каноническом виде. В соответствии со сказанным в 4 3.4 его дифференциальные уравнения характеристик имеют вид 4ГХ 4~Х вЂ”,= — а, — а Ш= Нг и, следовательно, замена переменных 5=х — а(, 4)=х+а( приводит уравнение (4) к каноническому виду д д Интегрируя это уравнение по $, получим а— „= Х(ч).
где )(-некоторая функция класса С'. Интегрируя теперь полученное уравнение по т), запишем функцию й в виде й(3, т))=~х(т)')4(г)'+)($)=7%+а(т)), (81 где 7" и н — некоторые функции класса С'. Переходя к старым переменным х и ( по формулам (7), выводим из (8) представление (6) для решения и(х, 1). Лемма доказана. РРГ) х,+ах л Рио. РВ Физическая интерпретация решения (6). Функция 1'(х — а() описывает возмущение, которое из точки ке в момент времени Г= О приходит в точку х = = хе+а( в момент времени ( (рис.
58). Поэтому эта функция представляет собой волну, двигающуюся направо со скоростью а. Аналогично функция 8(х+а() представляет собой волну, двигающуюся налево со скоростью а (рис. 58). х46 фунддмвнтдльноа ряшвниа и здддчд коши 1гл, нл Общее решение (6) волнового уравнения (4) есть наложе ние этих двух волн. С помощью представления (6) общего решения волна ного уравнения (4) классическое решение задачи Коши (4) — (5) строится следующим образом. Предположим, что решение и (х, 1) этой задачи суще. ствует.
Тогда, по лемме р 14.5, это решение представляется в виде (6) с функциями 1' и д из класса С'()тт), Для того чтобы решение и(х, 1), удовлетворяло начальным условиям (5), необходимо, чтобы функции 1' и а удовлетворяли соотношениям ~(х)+д(х)=ио(х), — а~'(х)+ад'(х)=и,(х), т. е. где С вЂ” некоторая постоянная. Решая уравнения (9) отно- сительно неизвестных функций 1' и д, 1(3) о ао(з) ч ~ из($ ) с(ь о ч й (т() = — и, (Ч) + —, ~ и, (й') Я'+ —, о и подставляя полученные выражения для ) и й в формулу (6), получаем формулу даламбера (см. р 13.4) к+м и(х, Е)= 2 (ие(х+аЕ)+ио(х — а())+2 ~ из($)Щ.
(10) 1 1 Непосредственной проверкой убеждаемся, что формула даламбера (10) действительно дает классическое решение задачи Коши (4) — (5), если иа ен Сз()сз) и и, ен Сз(У). Это решение единственно (см. р 13.4). 3 а м е ч а н н е. Лля построения решений уравнения колебаний струны мы воспользовались основным свойством характеристик, состояшнм в том, что на характеристике Ч=сопзз зто уравнение приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно фунхннн ие(1, Ч) с независимой переменной $, и позтому решение строится при помощи квадратур. Это свойство характера- 941 РАспРОстРАНВННВ ВОЛН ч!4) ггкк — наличие уравнений с меньшим числом переменных, связываю.
гцпх знвченкя неизвестной функции и ев производных, — лежич в основе ряда важных методов витегрироваиия (кввзвлицейпых) уравнений гиперболического типа (см. 4 15). 6. Метод отражений. Полубесконечная струна. Изложенныи в предыдущем пункте метод распространяющихся волн решения задачи Коши для уравнения (4) позволяет решать некоторые смешанные задачи для этого уравнения. )для определенности рассмотрим смешанную задачу (см. 9 4.5), описывающую колебание полубесконечной струны х)0 с закрепленным левым конном и) -о=О. (11) Предварительно докажем, что всякое классическое решение и(х, 1) волнового уравнения (4) в квадранте х)0, 1) О, удовлетворяюи4ее условию (11), представляется в виде и(х, 1)=я(х+а() — д( — х+а(), лен Сх(йх), (12) действительно, по лемме 9 14.5 решение и(х, 1) представляется в виде (5), где г($) енС'()хх) н д(т)) ен ен Сх(з))0). Отсюда, учитывая условие (11), получим 0=7( — а()+я(аЕ), откуда и следует представление (12).
Физическая интерпретация решения (12). Это решение представляет собой наложение двух волн: ,а(х а') -ура'аХ) Рис. 60. Ркс. 59. волны д(х+а1), движущейся со скоростью а налево, и волны — д( — х+а(), движущейся с той же скоростью направо. Пусть волна а(х+ау) движется по полубесконечной струне х)0, закрепленной в точке х=О, Тогда волна — д'( — х+ а() будет двигаться по полуоси х с 0 навстречу волне д(х+а1) (рис. 59). В некоторый момент 242 ФКНДЛА!ЕНТАЛЬНОЕ РЕЮЕниЕ и злДАЧА КОШИ 1гл.
н! времени эти волны встретятся в Рачье х= О и, наклады ваясь друг на друга, дадут нулевое возмущение в этой точке. При дальнейшем движении волна д(х+а() окажется за пределами струны, в то время как волна — д( — х+аг) перейдет на саму струну. В результате иа струне будет наблюдаться отражение волны д(х+а1) от конца струны х=О с иэл1енением знака (рис. 60). Построим теперь решение смешанной задачи (4) — (5)— (11). Всякое классическое решение и(х, 1) этой задачи, в силу (12), допускает нечетное продолжение й (х, 1) по х класса Са(ЯК), и это продолжение удовлетворяет уравнению (4) в )га.
Отсюда и из условий (5) вытекает, что решение й(х, 1) удовлетворяет начальным условиям (13) й)1 а=йа(х), й1 11 а=й1(х), где й, и й,— нечетные продолжения функций и, и и, соответственно. Но решение такой задачи Коши единственно и представляется формулой Даламбера (10) с заменой и, на йа и и, на й„если йа еСА()т1) и й, еиС'(й'). Эти последние условия будут выполнены, если иаеи(ж(х~О), и,еиС'(х)0), и,(0)=и«(0)=и1(0)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
