Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е. Формула (8) формально вытекает нз формулы (4). если в ней положить 1(1» т) =во($) 6(т) н «проннтетрнровать» 6(т), 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравне- ния теплопроводностн. Схема решения задачи Коши, изложенная в 3 13.1 для обыкновенного линейного диф- ференциального уравнения, применяется и для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности ди — =ааби+1(х, 1), от (12) и ~т-е = ио(х) (и) Считаем 1 я С(1 ~ 0) и ио ев С(1с»). Предположим что существует классическое решение и (х, 1) этой задачи.
Это значит, что и~Со(1- 0)ПС(1твО), удовлетворены уравнение (12) при 1 >О и начальное условие (13) при 1- 0 (см. '5 4.2). Продолжая функции и и 1 нулем при 1(0, как и в 3 13,2, заключаем, что продолженные функции й и 1 удовлетворяют в 1со" уравнению теплопроводности — = а' Ай+ 1 (х, 1) + и, (х) 6 (1).
(14) Равенство (14) показывает, что начальное возмущение и, Для функции р(х, 1) играет роль мгновенно действующего источника ио(х) 6(1) (тияа простого слоя иа 266 фундаментальное решение и злдлчт коши !гл. ш плоскости ! = 0) и классические решения! задачи Коши (12) — (!3) содержатся среди тех решений уравнения (14), которые обращаются в нуль при ((О. Это дает основание ввести следующее обобщение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с источником Г ен ~в"'()!"") назовем задачу о нахождении обобщенной функции и ен Ы' (йч"'), обращающейся в нуль при ((О и удовлетворяющей уравнению тепло- проводности д, =а'Ли+Р(х, () (15) Уравнение (15) эквивалентно следующЕму (см. ~ 11.1): для любой тр ~ сй(й"") справедливо равенство — (и, -д!)=атЬ, Лтр)+(Е, ср). (15') Из уравнения (15) следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль Р при ((О. 3 а м е ч а н и е.
Уравнение (!4) фактически есть тождество ди !ди — — аа Ли = [ — — ие Ли~+ и (х, + 0) ° 6 (!), д! ! д! (! 6) справедливое для любой функиин и ш Са (у) 0) ОС(т) 0), обращающейся в нуль при ! <0 и такой, что ив — о'Ли щ С(т 0). 4. Решения задачи Коши. Теорема. Пусть Г(х,() =((х, !)+ив(х) 5(!), гдеуен уб и ив —.ограниченная функция в )с". Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует и единственно в классе Ж и представляется формулой Пуассона !к — !и и(х !) ~ ! !(ь т) е чав и — о д~т(т+ [2и рди (! — т)1ч о ял !л — йн „~и,($) е члч, йй. (17) ял Решение и непрерывно зависит от ) и иа в следуюи(ем смысле: если — е, !ив — йв)(еа, ь кя задача коши для ияавнения таплоппоаодности 267 пго соотвепгствйюгцие решения и и й в любой полосе О(1( Т удовлетворяют оценке ! и (х, !) ! — й (х, 1) ! ~ Те + е,.
(18) Если к толгу же !" ~ Се(1 та О), все ее производные до второго порядка включительно принадлежат классу гь и из~ С(Я'), то решение и(х, !) — классическое, Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу условий теоремы свертка Ж с правой частью Е уравнения (15) существует в мгь и представляется в виде суммы (17) двух тепловых потенциалов У и Угаг, и эти потенциалы выражаются формулами (4) и (8) соответственно (см.
теоремы Я 16.1 и 16.2). Таким образом, по теореме 2 11.3 формула (17) дает решение обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводиости н это решение единственно в классе .лв. Непрерывная зависимость решения и от данных задачи ! и и, вытекает из оценок (5) и (9). Если функции 1' и и, удовлетворяют дополнительным условиям гладкости, сформулированным в теореме, то по теоремам Я 16.1 и 16.2 построенное обобщенное решение и ее С'(!)О) ПС(! твО) и удовлетворяет начальному условию (!3). По лемме 2 11.1 и(х, !) удовлетворяет уравнешно (12) в каждой точке области ! ) О. Поэтому и — классическое решение задачи Коши (12) — (!3).
Теорема доказана. Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для уравнения теплопроводности поставлена корректно (см. 2 4.7), причем Сз(!.шО) ДС(1)0), О'и ~ гь,,а~ ~ 2 — класс корректности классической задачи Коши и М вЂ” класс корректности обобгценной задачи Коши. 3 а не ч а н и е. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности можно установить в более широком классе,' а именно в классе функций, удовлетворяющих в любой полосе 0 ~ ~г(Т оценке !и(х, г)! Сте птг» и (См. А. Н.
Тихонов 12).) б. Упражнения. а) Помазать, что решениями смешанных задач и, =охи»», и ' г е — — ие (х) !) и!»-е-ф(г) 2) и !»-е-гр(0 268 энндлмн(тлльнон нншннид и злдлчл коши (гл. (н являются соответственно функции 1) и(х, 1)=Ж(х, 1)ей»(х) — 2а» ' »ф(1)- д Ж(х, 1) дх [х — Вн (х + 11' 1 à — » +,"„ о 2) и(х, 1)=Ж(х, 1) ей»(х) — 2а»о (х, 1) (х-11» 1 2аУп( ~ Ф(т)»е'(( — г> й (1 т)з(з ! 1'пп — „~ ие (х) йх = а. я»» о»й" !х(<д Показать, что решение и(х, 1) соответствующей задачи Коши для уравнения теплопроводности стабнлнзнруется к а прн (-ьоз, т.' е. ~ х > < (» !пни(х, 1) — ьа, й — любое, 1 с) Пользуясь фундаментальным решением оператора Шредннгера (см. б 1!.
12, е)) показать, что задача Коши для одномерного уравнения Шредингера (см. 5 2.7) сводится к интегральному уравнению »н»» — $г г 1 »р(х 1)»» е та(( — »1 1 (ь т)»р(»з т) й»зйт 1 )г( — т »»» (х — а (» +=~ ° "' ф (иа 5»» б) Пользуясь фундаментальным решением оператора переноса (см. $11.11), показать, что задача Коши для уравнения переноса ( х» (' ф (т) чш (г »,1!- Здесь и, »м С((0, (ю)) ограничена, й» и й» вЂ” ее нечетное н четное продолжения соответственно н»р он С((0, оз)), »р=.О, 1< 0. (») Пусть функция и»(х) ограничена в»(а н обладает шаровым предельным средннм 4 ш) задача коши для нрдвнвння твплопноводности 269 (см. 4 2.4) сводится к интегральному уравненшо ! ср (х, з, С) = сс/ю ~ )г ср [х — о (С вЂ” т) з, 3', т1е "е 'с тс сЬ' с(т + с +о ~Р[х о(С т)з 3 т[ е е с(т+сре(х — осз з)е о е) Показать, что задача Кеши для уравнения Бюргерса ') ис+ ии» оаи„х, и [с е —— ие (х) с яомошью замени и= — 2аз —" сводится к задаче Коши для уравйс нения теилоироводности к 1 (' «рс=атср,„, ср ~с е=ехр — — От и,(й) ссй .
2а' О о 1) Проверить, что уравнение Кортевега — де Фриза (см. 4 14.8) имеет решение типа двух еуединениых волн»*) 2 (1+ Л + ге+[)ссЯз где /с = ехр [ — зс ис (х — асс — хс)[, ас) О, с = 1, 2, се = г(у'ис-угс )з [) [(~ "' у "1. )Угас+ исаа! Указа и и е: восиользоваться иодстановкой и = 21 тд) .
1 Чс/х и) Показать, что нелинейное уравнение Шредингера Сит+мак+я [ и ['и =О, т ) О имеет решения типа солитоиных (см. 4 14.8) — ехрс [ — х — ( — — и)С~ и(х, О= т сБ Уи (х — х,— Ш) ') См. Йж. Уизем [1[, гл. 4 и П. гллвл ю ИНТЕГРАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. Многие задачи математической физики сводятся к линейным интегральным уравнениям вида 1Ю(х, у) р(у) ду=)(х), р (х) = Х ~ Л'(х, у) ~р (у) ду + г"(х) (2) с относительно неизвестной функции гр(х) в области 6 ~ Р'.
Уравнения (1) и (2) называются интегральными уравнениями Фредгальма первого и второго родов соответственно. Известные функции Х(х, у) и )'(х) называются ядром и свобаднылг членам интегрального уравнения; л — комплексный параметр. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода здесь рассматриваться не будут. Интегральное уравнение (2) при г'=О ~е (х) = Х ~ Л" (х, у) <р (у) г(у (3) с называется однородным интегральным] уравнением Фредгольма второго рода, соответствующим уравнению (2). Интегральные уравнения Фредгольма второго рода ф (х) = Х ~ Л"' (х, у) ф (у) ду+ д(х), (2*) ф(х)=Х')Л'(х, у)ф(у) с(у, (3') где Л"ь (х,.
у) =Ю(у, х), называются союзными к уравнениям (2) и (3) соответственно. Ядром Й"*(х, у) называется эрмитово сопряженным (союэным) ядром к ядру ур(х, у). 27! метод последовательных пгизлижении % 1п Мы будем записывать интегральные уравнения (2), (3), (2*) н (Зь) сокращенно, в операторной форме: р=йК7+1, р=йКЧь ф=уКьф+д, ф=у.К*ф где интегральные операторы К и Ка определяются ядра- ми Ю(х, д) и З*(х, д) соответственно (см.
$ 1.!О): (К() (х) =-.~ Ю (х, д) 1(д) дд, с (Кч))(х) = ~ Я'*(х, д)1(д) г(д. а К интегральным операторам и уравнениям применимы все определения и факты, изложенные в Ц 1.1Π— 1.12. Кроме того, оказывается полезным следующее определение; то комплексное значение Х, прн котором однородное интегральное уравнение (3) имеет ненулевые решения из Ж,(6), называется характериспшчсским числом ядра Х (х, д), а соответствующие решения — гобстеснными. фднкциями этого ядра, соответствующими этому характеристическому числу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
