Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Ю интегРАльные уРАВнения 1гл. 1ч ( — (см. З 17.2). Отсюда, принимая во внимание 1 ер лемму З 17.2, заключаем, что оператор Т вЂ” интегральный с непрерывным ядром че (х, у', Л)=еА.(х, у)+Л ~У'(х, у')еЯ(у', у; Л)йу'. е Х(алее, из (17) вытекает, что е' (х, у; Л) — вырожденное и аналитическое по Л в круге (Л ~( —. 1 еу Теперь преобразуем союзное интегральное уравнение (1*), В силу (18) К* =Р*+Че, и поэтому уравнение (1*) принимает вид (7 — Ы*) ф= ХР*ф+И (19*) Применяя оператор (! — Х~*)-' к уравнению (19*) и пользуясь равенством (21*) ~ 17.2, (! — Х()*)-' = 7+ ХЯ*, (Л)(-„-„ 1 приведем его к эквивалентному уравнению ф = (1 — ХА7*)-' (ХР *Ар+ и) = (7+ ХА(") (ХР "Ар+ и) = = Х(Р*+ МРРе) АР+(7+ Хй*) д, (24) Обозначая а1 — — (1+ И') а, а = (l — ХО*) й, !28) и учитывая, что, согласно формулам (16) 5 17.2 и (23), Р*+ И*РР = (Р+ ЛРЯ) = Те, перепишем уравнение (24) в виде ф= Хт*ф+й,.
(22е) Таким образом, при !Л ~( — в классе С(б) иитеграль- 1 нос уравнение (1) эквивалентно интегральному уравне- нию (22) с вырожденным ядром ЯУ (х, у; Л), аналитичр- 1 ским в круге (Л~(,—, а союзное к нему -уравнение (1*) эквивалентно уравнению (22*), союзному к уравнению (22). Но для уравнений (22) и (22*) справедливы теоремы Фредгольма 1 — 3 и определитель 0(Л) — аналитическая функция в круге ) Л (( — (см. 5 18.2, замечание).
Отсюда, 1 5 1и ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА пользуясь эквивалентностью этих уравнений исходным уравнениям (1) и (1*), получаем следуюшие теоремы Фргдгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром. Совокупность этих теорем называется альтернативой Фргдгольма. Альтернатива Фредгольма. Если интегральное уравнение (!) с непрерывным ядром разрешимо в С(б) при любом свободном члене ) ~ С(б), то и союзное к неМу уравнение (1") разрешимо в С(б) при любом свободном члгмг де= С(б), причем зпш решения единственны (первая теорема Фредгольма). Если импмгральмог уравнение (!) разрешимо в С(б) мг при любом.
свободном члеме !", то 1) однородные уравнения (1) и (1*) имеют одинаковое (комгчмог) число линейно мгзивисимых решений (в то ра я теорема Фредгольма); 2) для разрешимости уравнения (!) необходимо и достаточно, чтобы свободный член г* был ортогомалгм мо всем решениям союзного однородного уравнения (1*) (третья теорема Фредгольма). Доказательство. При ) =О альтернатива Фредгольма, очевидно, справедлива.
Поэтому считаем А~О и в предыдуших построениях выберем ес —. ) ь ~ Ь' Пусть уравнение (1) разрешимо в С(б) при любом ! Ее С(б). Тогда эквивалентное ему уравнение (22) с вырожденным ядром также будет разрешимо в С(б) при любом (. Отсюда, применяя теорему 3 ~ 18.2, заключаем, что О()) ФО. А тогда, по теореме 1 518.2, уравнение (22) н союзное к нему уравнение (22*) однозначно разрешимы при любых ) н д, из С(б). Но функции д, и д взаимно однозначно выражаются по формулам (25).
Следовательно, эквивалентные уравнения (! ) и (1*) однозначно разрешимы в С(б) при любых )' и д, Первая теорема Фредгольма доказана. Если уравнение (!) разрешимо в С(б) не при любом г, то и эквивалентное ему уравнение (22) с вырожденным ядром также разрешимо в С(б)'не при любом г, Отсюда, по теореме 1 з 18.2, заключаем, что 0(Х) =О. Но тогда, по теореме 2 у !8,2, однородные уравнения (22) и (22*) имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений в С(б), Поскольку функции Ф и ч' связаны ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ )У соотношениями (20), то и эквивалентные им однородные уравнения (1) и (1*) имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений в С(б) (см.
З 1.11). Вторая теорема Фредгольма доказана. Далее, по теореме 3 5 18.2, для разрешимости уравнения (22) при 0(А) =О, необходимо и досчаточно, чтобы свободный член 1' был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (22"). Но решения ф эквивалентных однородных уравнений (1") и (22"), равно как и правые части )' эквивалентных уравнений (1) и (22), одни и те же. Следовательно, для 'разрешимости уравнения (1) в рассматриваемом- случае необходимо и достас точно, чтобы свободный член ) был ортогоиален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1*). Третья теорема Фредгольма дока ана. Докажем теперь четвертую теорему Фредгольма: В каусдом круге (Х,~ ~)х может ниходиться лишь кснечное число хорог теристических чисел ядра Л'(х, у), 1 Доказательство.
Выберем е=,, Тогда при ) к) < )х+ 1 будет ) Х ) < —. Поэтому при ) Х , '~ )с -т-1 одно- 1 родные уравнения (1) и (22) эквивалентны. Следовательно, в круге ) Х , '( )с+1 характеристические числа ядра йг (х, у) совпадают с корнями уравнения 0(А) =О (см. в 18.2). Поскольку ядро .л' (х, у', й) аналитична по л, в круге,' Х) <-)с+ 1, то 0(Х) — аналитическая функция в этом круге (см. 5 18.2, замечание). Отсюда по свойству единственности аналитических функций '.) заключйем, что в круге 111=- )с может находиться лишь конечное число корней уравнения 0(Х) =О, а значит, и ядро Л'(х, у) может иметь только конечное число характеристических чисел. Теорема доказана.
4. Следствия из теорем Фредгольма. Из четвертой теоремы Фредгольма следует, что множество характерЦ- сп)ических чисел непрерывного ядра не имеет конечных предельных точек и, зная)нт, не более чем счетно. (Это множество может быть и пустым, как, например, для ядра Вольтерра, см.
! 17.3.) *) См„наорнмер, Ю. В. Сидоров, Л1. В. Федореон н М, И. Шабунин 111, Гл. 11. творимы оредгольм» ч 1в1 Далее, яз второй теоремы Фредгольма вытекает, что кратность каждого характеристического числа конечна. Следовательно, все характеристические числа ядра мв" (х, у) можно перенумеровать в порядке возрастания их модуля: ! Лт !(! ).1==..., (26) повторяя в этом ряде Х» столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через ср» Фт, ... и каждому характеристическому числу Х» из (26) сопоставим собственную функцию ~р»: ~р»=).»Кср», у=1, 2, ...е), (27) По второй теореме Фредгольма Хт, Хе, ...— все характеристические числа ядра Л'е(х, у), причем кратности ).» и л» одинаковы.
Соответствующие собственные функций обозначим через тр»: тр»= р.»К»тр», й=1, 2, ... (27*) Собственные функции ср» и тр» непрерывны на ст. Докажем, что если Х» ~ )и, то (ср», (ч) = О (28) Принимая во внимание равенство (!4) $ 17.2, из (27) и (27') получаем (~р Ы=('р тчК Ю=Х (К~р», фд= — '(р, )и), откуда, в силу Х»чь)ь» и следуют равенства (28). Отметим, что )»Р'и ~р», 1»=1, 2, ...,— тарактеристические числа и еоответетвуюгцие собственные функции повторного ядра сь'р(х, у).
Зто утверждение вытекает из равенств (27), согласно которым ср»=4К ч», (т=1, 2 (29) Обратно, если р и ч — характеристическое число и соответствующая собственная функция тювторного ядра мь"р(х, у), то по крайней мере один из корней )с» 1=1, *) Если ь»-не простое характеристическое число, то соответствукипие ему у» можно выбирать рааличными способамн и по»тому соответствие (27) между л» н у» неоднозначно.
интагпдльныв нндвнения !гл. !ч 2, ..., р, уравнения Ла=р является характеристическим числом исходного ядра мь" (х, у). Это утверждение следует из равенства (рк' — )) р =- ( — 1)'-'(Л К вЂ” У),. (Л,К вЂ” )) ф = О. (30) Действительно, если »Р=(Л»К вЂ” !) ... (Л К вЂ” 7)фФО, (31) то, в силу (30), (Л,К вЂ” /)зр=О, и потому Л,— характеристическое число ядра мь" (х, у).
Если же ф=О, ч. е., в силу (31), (Л»К ) ° (Л К 1)ф О то, повторяя предыдущее рассуждение, получим: либо Лз — характеристическое число ядра хь" (к, у), либо (Л»К вЂ” )) ...().„К вЂ” !)~р = 0 и т. д. Переформулируем теперь альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел н собственных функций. Если Лчь Л„1=1, 2... то интегральные уравнения (!) и (1*) однозначно оазрешимы ари любых свободнык членах. Если Л=Л», то однородные уравнения Кгр = Л»ф и Каф = Л»зр имеют одинаковое (конечное) чигло г» э 1 линейно независимых решений — собственных функций у», гр» „..., гр»+, .ядра йь" (к, у) и собственных функций 4р», зр»„ы..., зр» ядра ео'а (х, у), соответствующих характеристическим числам Л» и Л» (㻠— кратность Л„и Л»).
Если Л=Л», то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, юнобы К ф»;)=О, 1=0, 1, ..., 㻠— 1. (32) 3 а м е ч а н н е. Изложенный процесс сведения, нптегральн|жо уравнения (1) к интегральному уравнению (22) с вырожденным здрЬм указывает на следуюанй способ приближенного решения уравнение ! !1 прн любых Л; 1) ядро мь" (х, у) приближается полнномом Мь(х, у! (нлн другим каким-либо вырожденным адром), 2) длп малого ядра сй(к, у)=Ю(з", у) — дь(х, у) методом 4 17.2 прпблнженно строится резольвента,Я (х, у; Х), 3) составляется интегральное уравнение (22) е вырожденным ядром У (к, у; Л), 4) методом 4 1В.! строится решение Ф уравнения (22) а, наконец, б) по формуле (2!) находится решенае р уравнения (1).
ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА к 1В1 5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярным ядром. Распространим теоремы Фредгольма на интегральные уравнения с полярным ядром (см. 317,4) Ю(х, у)= ',„, ст п, аут (х, Е) где Ю (х, у) — непрерывное ядро иа бхай и 6 — ограни- ченная область, Докажем, что для любого е)0 существует такое выро- жденное ядро д'(х, у),что тиак ~~Л'(Х, у) — Фк(Х, у)11(у(Е, (33) «маа тпах ~(ЮР(х, у) — 31*(х, у) ~Ну<а, (33*) кмаа Действительно, ядро Ю(х, У), 1х — У~» —, 1 Х(х, у)= Л" (х, У) )У", 1х — У,'( —, непрерывно и при достаточно большом 11( ~ ~ кт" (х — у) — Х (х — у) ~ 1(у = а 1ФЯ" (хк д) ((( — У") с(д~ 1 1к-Р~ <— — т(у~ тнаХ1акт"(Х, у)~ ~ ФЯ (х, у) 1 ну1х — у1к — ' 3 1х у(а 1 аха 1 1к — Р1(р 'к — к,'(— А1 131< Ат и аналогично ~ ( М' (х, у) — Х* (х, у) / Ид ! (у, )- (у, х)!дд(-'-, хее(А интеГРАльные уРАВнения (ГЛ.
ГУ Далее, приблизим непрерывное ядро о (х, у) вырожденным ядром У(х, у) (см. 5 18.3): ) ~ (х, у) — у' (х, у) ( —,, х ~ 6, у ее 6. Отсюда следует возможность аппроксимации полярного ядра Х(х, у) вырожденными ядрами в смысле (33) — (33*): Гпах ~ !Л;(х, у) — д'(х, у) (г(у( кабо =птах ~ (Л'(х, у) — о(х, у)(г(у+ кЫбб +снах ~ )Х(х, у) — гуь(х, у)(с(у( — + — ~ с(у а. кабо б Аналогично устанавливается и оценка (33*). Итак, для любого е 4) полярное ядро мь" (х, у) представимо в виде Л'(х,.у) =Уь(х, у)+Й(х, у), где дь(х, у)— вырожденное ядро и сч'(х, у) — малое полярное ядро, удовлетаоряюц(ее, в силу (ЗЗ) — (33"), оценкам Гпах )(сс(х, у)(г(усе, пзах )(Йе(х, у)(г(у(е.
кмбб кайо Повторяя теперь рассуждения Я 18,3 и 18.4 и пользуясь результатами 5 17.4 о разрешимости интегральных уравнений с малым полярным ядром, заключаем;что все теоремы Фредгбльма и их следствия переносятся 'и на интегральные уравнения с полярным ядром. Отметим, что все собственные функции полярного ядра 'Л:"(х, у), принадлежащие оя(6), принадлежат С(6). Действительно, если ГРа )ьеКгРе, гРа ее Хк (6), то Фа= )кКЯгрч. Но при достаточно большом р ядро Л'р(х, у) интегрального оператора КЯ непрерывно (см. 3 17.4), А тогда, по лемме 317.1, гре )4К'гре~ С(6), что и утверждалось: 3 а м е ч а н и е. Теоремы Фредгольма остаются справедливыми и для интегральных уравнений с полярным ядром на ограниченной кусочно гладкой поверхности хг е(к)=А ' <Р(У)В5к+Г'(к), р окг (к, у) З 1З] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ уРАВНЕНИя С ЭРМИТОВЫМ яДРом 301 где ядро аУТ (х, у) равномерно непрерывно на 5х5 и показатель л меньше размерности поверхности 5 (см: И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
