Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 44
Текст из файла (страница 44)
9 1.12). Принимая еще во внимание доказанную теорему и теоремы Фредгольча (см э 18.3), для интегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром оп" (х, у)ям0 получаем следующие утверждения: Мноъгесп<во характеристических чисел ~)<о) не пусто, расположено на Ее<цест»гни<>й оси, не имеет конечных предельных точек; каждог характеристическое число имеет конечную кратность, система спбственных функций 1<р») может быть выбрана ортонормальной, ()>», <р>) =6м, (10) й 19] интеГРАльные уРАВнения с эРмитОВым ядРОм 307 Если Х~Х», /2=1, 2, ..., то уравнение (1) однозначно разрешимо при любом свободном члене 7 ~ С(»2), Если А=А», то для разрешимости уоавнения (1) необходимо и достапючно, чтобы (7, <р».2) =О, 1=0, 1, ..., Г,— 1, (1!) где <р», йр»,2 ..., »р»,» й — собственные функции, соопюет- ствующиг характеристическому числу Х», и Г» — кратность Х».
4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром, Все результаты, установленные в ~ 19 3 для ин- тегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром, осиаюп/ся справедливыми и для интегральных уравнений с эрмитовым полярным ядром. Действительно, для таких интегральных уравнений справедливы теоремы Фредгольма и их следствия (см. 3 18.5). Далее, для эрмитова полярного ядра Л" (х, у) все по- вторные ядра байр(х, у) эрмитовы и полярные, причем и при р~ р,=! — 1+ 1 этн ядра непрерывны (см. 9 17.4), /в — и/ Осталось распространять на эрмитовы полярные ядра йп (х, у) =йО теорему 5 19.3.
Обозначим У= зпр )К/1. (12) 1/Н $ Тогда, в силу Л" (х, //)ФО и неравенства (31) 3 17.4, О( У ( й/ = й/*. Как и при доказательстве теоремы 3 19,3, нз (12) вытекает сушествование последователь- ности )», у=1, 2, ..., 1/»1=1, такой, что Кй/» — Уй)» — О, й- ОО в Хй(6), Отсюда, применяя неравенство (31) й 17.4 при р= 1, 2, ... получаем ~! К~Р), ~~~7» ! = 1(Кйр-2 ! М»К»Р-4+ + Уйр-27) (Кй/ Уй/ ) ) ( ~(й/2 — +.»И»Р- +...+" -2))К»),—.*У„) О, йт. е. кй»7 — 227 О, й в х,(о). (13) Но при 2р) рй' ядро Юйр(х, у) непрерывно.
Поэтому, как и при доказательстве теоремы 3 19.3, из предельного интвгэдльныв унавнвния ~гл. пт соотношения (13) вытекает, что — тр — характеристическое г число ядра Ф'ар(х, у). А тогда, поскольку ядро Л" (х, у) эрмитово и, зйачит, все его характеристические числа ! вещественны, по крайней мере одно из чисел .+- — явт ляется характеристическим числом дт этого ядра (см. 3 18.4). Отсюда и из (12) вытекает справедливость вариационного принципа (5) для характеристического числа )тт. Очевидно, ).т — наименьшее по модулю характеристическое число ядра Л" (х, у). Этим завершается распространение теоремы 3 19.3 на эрмитовы полярные ядра.
й 20. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия Отметим еще неравенство *) ' ( ~ ) рГ (х, у)(ее(у, х е 6, »-~ » д (2) (Ниже, в 3 20.2, будет показано, что в неравенстве (2) фактически имеет место знак равенства.) Неравенство (2) при фиксированном хан тт представляет собой неравенство Бесселя (см.
З 1.8) для функции ав (х, у), коэффициенты Фурье которой по ортонормаль«» Если ядро еть (х, у) имеет конечное число характеристических чисел Ха, ка, ..., )тл, то будем с имать д„=. оо, и "- М, 1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непрерывного ядра. Пусть Лт, Ха...— характеристические числа эрмитова непрерывного ядра Л."(х, д) це О, расположенные в порядке возрастания их модуля, / )т»1-=. / Ла ~(..., и ф„фт, ...
— соответствующие ортонормальные собственные функции, (ф», тут) =б»ь Как мы знаем, характеристические числа )ь, вещественны, а собственные функции ф»(х) непрерывны на тт; при этом множество ()т») либо конечно, либо счетно; в последнем случае ) Х„~-ьстт, й-ьсо. Лалее, в силу теоремы $ 19.3 справедливо неравенство 1К)'1~ — „„,( П, 1 ен Ха (б). (1) а В!! ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 309 ной системе (ф»(у)) равны Ф, а)-) Е(*, а!а аааа-»а -аа.! !.
Введем последовательность эрмитовых непрерывных ядер Ф Я!Р!(х, у) = УУ (х, у) — ~) ~1( ! ~1("), р = 1, 2, ... (3) ! Соответствующие интегральные эрмнтовы операторы К(Р! действуют по формуле К!Ч=К1- ~~~, — ',~~ ари )яж»(б). (4) 1 ! Докажем, что ЛР»„ЛР„, ... и ф„а, !р„,, ... образуют есе характеристические числа и собсамекные 4(»уикиии ядра»аГ!Р1(х, у). В самом деле, в силу (4) имеем К! !ф»=Кф»-,~ -Ц-'- ф -Кф»= ,—„ф, й~р+1, ! 1=! так что Л„и ф», й)р+1,— действительно характеристи- ческие числа и собственные функции ядра у»!Р!(х, у), Обратно, пусть Л, и !ра — характеристическое число и со- ответствующая собственная функция ядра Я,"!Р!(х, у), т.
е., в силу (4), !ра = Л»К! Р!фл = Л»К!ра — Ла У вЂ” ф" ф! !р!. ,йы ; ! .Отсюда при А=1, 2, ..., р получаем Л (К ) — Л ~а5! (фа Ч!1) (т1, Ч!»! ! Р -Л,(ф„Кр„) — Л, У (ф'Р) ба„- Л1 1=! (фаа 'р*).— — (ф», ф») ~0, ь х. Л» ' Л» з)о ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. Н» а потому, в силу (5), ф»=)»Кф». Таким образом, )!» н <р„— характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра Ю(х, у). Поскольку ф, ортогональна ко всем собственным функциям ф„ф», ..., фр, то следовательно, Х» совпадает с одним из характеристических чисел )!р „Ир„, ...
и ф, можно считать равной ф» при некотором И .= р + 1. Таким образом, Хр„! — наименьшее по модулю характеристическое число ядра Р»(Р!(х, у). Применяя неравенство (1) к этому ядру н учитывая (4), получаем нера- венство )К"!)1= К1 — ~+ф; !< — ", ~ВЕЛ»(6), (б) ! 1 р=1, 2, ...
Пусть эрмитово ядро»п" (х, у) имеет конечное число характеристических чисел: )», И», ..., )!н, По доказанному эрмитово ядро Ю!"!(х, у) не имеет характеристических чисел, а потому, по теореме 9 19.3, Л'!"!(х, у) ~ О, так что, в силу (3), %3 ф! (х) ф! (у) х, (7) Теорема Гильберта — Шмидта. Если функция )'(х) истокообразно предс!павимо через эрмитово непрерывное ядро и" (х, у), (=КИ, то ее ряд фурье по собственным функциям ядра Ю(х, у) сходится регулярно (и, зна- т. е. ядро ч. (х, у) вырожденное. Отсюда, вспоминая, что вырожденное ядро всегда имеет конечное число характеристических чисел (см. 9 18.2), выводим такой результат: для того чтобы эрмитово непрерывное ядро было вырожденным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело конечное число характеристических чисел.
Будем говорить, что функция ((х) истокообразно пре. ставима через ядро Ю(х, у), если существует функция И ее Х, (6) такая, что )'(х) = ) У»'(х, у) И (у) Г(у, х ее б. (8) о % М1 ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ША!ИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 311 кит, равномерно) на б к этой функции: Г(х) ~~„К гр„)гр,(х)= ~~ ', ' фр(х). (9) р=! А=! Доказательство. Так как )=КЬ, ГГыХ,(б), то, ло лемме Э 17.1, Г'енС(б) и коэффициенты Фурье функ- ций Г и Гг по собственным функциям (ф„) ядра Ю(х, у) связаны соотношением а ф,) =(7(й, фр) =(Д, Кфр) = — ',", (19) (а жр) Если ядро Ю(х, у) имеет конечное число характери- стических чисел, то, в силу (7), и Г(х)=К)!= ~~ ( ' фр фр(х), и теорема Гильберта — Шмидта доказана.
Пусть теперь ядро Л'(к, у) имеет бесконечное число характеристических чисел. В этом случае 'Ха ~- оо, й-«со. Поэтому, в силу (б) и (1О), ряд (9) сходится к Г' в Х,(6): р 1- ~ (), ф„) р„= 7(Д вЂ” ~ " фэ) ф,) ~ '"' -О, р=! а-! !э -«ОО. Осталось доказагь, что ряд (9) сходится регулярно на б. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского' и неравенством (2), при всех р н о получаем А "»~-ГА ° "»ПА"я"Т! ! ( ~ ~ ', (6, гр,)~' Ц )атр"(~, у)!'а(у) ( ~А р Го ! Г а 1а ч~М)г У ~ (ГГ, фр)~, к~б.
(1!) а з!з !гл. Нг ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В силу неравенства Бесселя Х, !(й, Р)!Г~))Т)' л=) правая часть неравенства (11) стремится к О при р, д-~ оо. Это и значит, что ряд (9) сходится регУЛярно на 6. Тео- рема доказана, Приведем некоторые следствия из теоремы Гильбер- та †Шмид. 2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем, что повторное ядро Лр(х, у) эрмитова непрерывного ядра Л" (х, у) разлагается в билинейный р«д по сойственным функциям этого «дра Л',(х, у)= '~ '""„'"'"', р=2, З, ...
(!2) — л регулярно сходящийся на Гтх(г. В силу формулы (17) З 17.2 при каждом усни ядро Л'р(х, у) истокообразно представимо через ядро Л" (х, у'), а йотому, по теореме Гильберта — Шмидта, оно разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функ- циям этого ядра: Л'р(х, у) = ~,(Л'р(х, у), йя) фл(х).
л=! Так как ядро Л" (х, у) зрмитово, то (Л'р(х, у), фл) = ~ Ю„,(х, у) фл(х) с(х= с =~Л',(У, х)фл(х)й =(7( Рл)(У) =-'"~',Р !. (1З) с "л Таким образом, равенство (12) доказано и ряд в (12) сходится регулярно по х~ 6 при каждом ус- =Й. В частности, полагая в формуле (12) р=2, х=у и учитывая, что, в силу (17) 9 17.2,. Л"л(х, х) = ~Л'(х, У') Л'(У' А) с(У'= о ~Л" (х, у') Л'(х, у')йу'= ~)Л'(х, у) !лбу, а а $20) теоРемА гильвеРтА — шмидт» и ее следствия 3!3 (15) ! Ю (х, у) )2 йх — э' ~» .~ —, у енб, х»! »-! получаем равенство = ~ (Ю (х, у) Р ду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
