Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. ! ф. (х) ф (р) ! = ф (х) ф (р), А 6, р - =6 Действительно, в противном случае, в силу непрерыв- ности функции ф,(х) (см. 2 18.5), нашлись бы такив окрестност (/(х', ) с:.6 и У(д'; р) с 6, что ) р,(х))ф,(у)!>ф,(х)ф,(у), хаем(х'; г), уяУ(у'1 р), и потому, в силу условия Ю,(х, у))0, 1~ф) ~ Р 1'РгР— л'А (х, у) ) ф, (х) ( ф (р) ) г(х 1(у ) ) †,, ~ ~ рр,(х, у) р, (х) ф, (д) г(хг(у = 1 ГГ (к'ф фд 1 )ф 1' 3 ) сс что противоречит вариационному принципу (33)г Докажем, что функция ф, (х) не может обращаться в нуль в области 6 и, стало быть, может быть выбрана положительной в 6.
Действительно, в противном случае найдется точка х' ев6 такая, что ф1 (х') = Л1 ~ ®, (х*, у) ф, (у) г(р= О, с откуда, в силу условия й',(х, у)=>0, следует противоре- чие: ф1 (у) =' О, у ее 6. Из положительиостй ф, (х) следует положительность Л„ибо Ю(х, у) >О и Л,= — ф1:> О, кф, 'Р1 Докажем, что Л,— простое характеристическое число. Действительно, если бы существовала линейно незави- симая с ф, вещественная функция ф„соответствующая Л,, то при всех вещественных с их линейная комбинация ф,+сф, также была бы вещественной собственной функ- цией, соответствующей Л,, и, следовательно, по доказан- .ному она не могла бы обращаться в нуль в области 6; что ввиду произвольности с невозможно.
Теорема дока- зана. 11 В. с. Ваадааараа зев ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. >и 3 а м е ч а н н е. Теорема Бнтча справедлива для любого полярного положительного ядра (без предположения его симметрии). Соответствующая теорема справедлива и для матриц с положйтельнымн зле. ментами; в атом'случае она называется теоремой Перрона. 8.
Метод Келлога, Для приближенного нахождения наименьшего по модулк> характеристического числа А< и соответствующих ему собственных функций эрмитова полярного ядра Ю(х, у) применяется метод последовательных приближений Келлога. Пусть вещественная функция Ф<" из Жт(0) не ортогональна ко всем собственным функциям, соответствующим Хт. Составим последовательс ности Ф<р>(х)= —,Р,, )ч<р>= „„, у=1, 2, ... ° (37) где <р'я'=КР<р'> — итерации функции <р«н (см. й 17.1). Члены )<<р> и ф<р>(х) этих последовательностей и принимаются за приблйжения к [)<<) и к соответствующей собственной функции <р, (х).
Дадим обоснование метода Келлога для интегральных уравеений с симметричным слабо полярным положительным ядром. По теореме Ентча для таких ядер )<ч — положительное и простое, так что 0(дт~[лт[=-, ...; соответствующая собственная функция <р, (х) положительна при х ~ 0; собственные функции <р„.(х) вещественны (см. 5 20.7). Теор е м а *). Лусть е>Г (х, у) — симметричное слабо полярное положительное ядро.
Тогда для любой функиии <р<е> (х)) О, 1<р<е>1=1, последовательность (Х<Р>) сходипюя, монотонно убывая, к )<< и последовательность (<р<„)сходится к <р, в оя(0) и в С(0), причем справедливы о<[енин ><« l ><«<яя-3 1 — с« О~А<я) — )<т =' ~ © . ' «Р=2, 3, ...; (38) [Ф<Р) Ф<~~Х ] с ' Р 1, 2, ...[ (39) е < >Х«<Р )' [ — с', 1Ф<ю — Ф<)с~).)<з~~„') ', Р =2, 3, ..., (40) с, где с,=(<р">, <р<), <'.в=гпах ) ) еч" (х, у)[тйу. «юс о «) См. В. С. Владимиров [[). та!! теопемд гнльввртл — шмидта и ве следствия З26 'Применяя второе из неравенств (45) при = х ~-'")'Ф~" ° = х (У~'Ф~'"" а=я а=я к правой части равенств (47) и учитывая (42), получаем неравенства (46): ~", " — ~~'==,~,(-::~',—.',)"= =(-.".'1"„1,(ИУ=(й)*' '"," Неравенства (39) вытекают из неравенств (46) при д=О в силу (37).
Докажем неравенства (40). Учитывая неравенство (34) 2 20.6; получаем с ='Ч," -'1 Применяя к правой части полученного неравенства не- равенство (46) прн а — 1 с заменой р на р — 1, нолуйим оценки (40) Теорема доказана. 3 ам в чан ив !, зьокаэанная теорема о сходимосгн метода Кел- лога справедлива и для симметричных полярных положительных ядер. При этом оценки (40! имеют место при р эк 2р, (см. 4 20.61. 3 ам в ч а н не 2. Аналогично доказывается, что метод последова- тельны» приближенна 4 !т.! при ! "к !(! х,! сходится в с(0) с по( лы! грвшностью О (( — ~ ), если ядро мь (х, у) эрмитово н полярное, Хз й, Теорема Мерсера. Если врмитово непрерывное ядро Х(х, у) имеет конечное число отрицательных характери- стических насел, то его билинейный ряд (16) сходится регулярно на Охи.
Предварительно докажем лемму. Л е м м а. Если непрерывное ядра Ю (х, у) — положи- тельно определенное, то, Ю(х, х)= О, хе=(). Доказательство. Ядро!та(х,у) зрмитово(см. $205), н тогда мэ (хл х) =ма" (х, х) вещественно. Если бы суще- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1гл. !ч ствовала такая точка х»ев6, что ЗГ(х„х»)<;О, то по непрерывности нашлась бы такая окрестность й с:. б точки х,, что йеЮ(х, у)<0, хев(У', уев(Т. Выбирая непрерывную неотрицательную функцию ф(х)ФО с носителем в (у, получим (Кф, ф)= ~ ~~(х, у)ф(х)ф(у)дхду= ии = ~ г )КеЮ(х, у)ф(х)ф(у)е(хну(0, ии ~ —,' =)" жь, и, » (50) что противоречит положительной определенности ядра РГ(х, у). Лемма доказана.
До к а за тельство теоремы Мерсера. Эту теорему достаточно доказать для положительно определенных ядер Ю(х, у) в силу результатов З 20.1. А тогда и все ядра Я'Р~(х, у), определяемые формулой (3), будут непрерывными положительно определенными (см. 3 20.6). По лемме у»'Р1(х, х) ==» О, х ~ б, так что Р Х ""'""— ('й (х, х)(М, хев б, р=1, 2, » » ! Отсюда, используя неравенство Коши — Буняковского, Х Ойф (е)~ ~ С' ~ф»(х) ° ~ ~ф (е> "1 (48) »=Р »=Р » заключаем о равномерной сходимости по х на б ряда'(16) при каждом уев б.
(Напомним, что этот ряд сходится к ядру Л'(х, у) в Х»(б) равномерно по у е= б, см. й 20.3). Следовательно, в равенстве (16) можно положить х=у, и мы получаем равенство =РГ(х, х). (49) А» » 1 По лемме Лини (см. $1.3) ряд (49) сходится равномерно на б, а тогда из неравенства (48) следует регулярная сходимость билинейного ряда (16).
Теорема доказана, Следствие. В условиях теоремы Мерсера ГЛАВА тг КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В этой главе изучаются краевые задачи для уравнений эллиптического типа, в частности, теория потенциала для уравнений Лапласа н Пуассона в пространстве и на плоскости и'для уравнения Гельмгольца в пространстве. Кратко излагается также теория функций Бесселя и сферических функций.
Если не оговорено особо, то область 6 предполагается ограниченной, а ее граница 3 — кусочно-гладкой поверхностью. Обозначим через 6, внешность 6, 6,=)г'1(), 60З() 6,= г . 5 21. Задача иа собственные значения 1. Постановка задачи на собственные значения, Рас- смотрим следующую линейную однородную краевую задачу для уравнения эллиптического типа (см.
2 4.4): — б(т(р агаб и)+ уи = Хи, х еи 6, ои+Р.а ~ О Предполагаем (см. й 4.1 и й 4.41, что р еи С'(6), де=- С(6), р(х) ° О, д(х)»0, х~6, и ы С (3), (3 еи С (3), а (х) ~ О, $3 (х) == О, (3) а (х) + р (х) ) О, х ~ 5, Пусть 5,— та часть 3, где а(х))0 и (1(х):>О одно- временно. Задача (1) — (2) состоит в нахождении функции и(х) класса С'(6) ДС'(6), удовлетворяющей уравнению (1) в области 6 и граничным условиям (2) на границе 5. Очевидно, задача (1) — (2) всегда имеет нулевое решение. Это решение не представляет интереса. Поэтому задачу 226 тгРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ.
Ч (1) — (2) необходимо рассматривать как задачу на собственные значения (См. 2 1.11) для оператора Ь = — б!ч (р дгаб) +((. К области опРеделениЯ заь опеРатоРа Т. (см. 2 1.!О) отнесем все фуи«цнн 7" (х) «лисса Сх(6)ЯСз(6), удовлетворяющие граничному 'условию ~2) и условию Ц ви Ха(6). По лемме 2 2 5.2 Ы (6) плотно в Хх (6), а Ю' (6), очевидно, содержится в мы Поэтому згх плотно в Хя(6). Итак, задача (1) — (2) состоит в нахождении тех значений Л (собственных значений оператора Е), при иоторых уравнение (.и = Ли (4) имеет ненулевые решения и(х) из области определения мах (собственные функции, соответствующие этому собственному значению). 3 а м е ч а н н е.
Собстаенныс фуикпин гладкости Сз(б) существуют не всегда. Поэтому в некоторых задачах требование гладкости ослабдн ляется. Зто естественно для краевых задач 1 рода (не содержащих —, дл' дх см. 4 4.4). Для остальных краевых задач под — ' на 5 понимают дл так называемую правильную нормальную производную (см. 4 4.5, замечание; 4 24.2). 2. Формулы Грина. Если и вн С'(6) ПСз(6) и о е Сз(6), го справедлива Первая формуеа Грина: л э~из*-~з д — — з*-)гх.— ззэ(т..з*. (з) чздп ди Р ди х~з дх; дх; ~ дл ! о Для доказательства формулы (5) возьмем произвольную область 6' с кусочно-гладкой границей з', строго лежащую в области 6 (рис. 70).
Так как и внСз(6), то и енСх(6') и, следовательно, ~ ОТ.ис(х= ~ о1 — с1!ч(рйгас( и)+ди1с(х= с((ч(рокгаии)с(х+ р 7, д — „дх с(х+ з7иос(х, %з ~Ь ди з=! Фм! ЕАдАчА нА сОБстВенные знАченмя Вяз (Н.и — ир о) йх = дв ди! -~Г (.— —.— )Ах. дп дп,) (6) Рис. 70. Для доказательства формулы (6) в первой формуле Грина (5) поменяем местами и н о: и %! ди дс !' й~ иИйх= р,г, — — йх — А ри — йЯ+ аи! йх, А~! дх; дх; ~ дп 1=! н вычтем полученное равенство нз равенства (5). В резуль. тате получим вторую формулу Грина (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
