Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 49
Текст из файла (страница 49)
По теореме Гнльберта — Шмидта (см. у 20.1) функция / разлагается в регулярно сходящнйся ряд Фурье по собственным функцням ядра р,(х, у), Но собственные функции ядра .Р, (х, у) совпадают с собственными функциями оператора Е, которые в свою очередь совпадают с собственными функциями (Ха) оператора Е. Теорема доказана. Таким образом, для задачи Штурма — Лнувилля верна теорема 1 $ 21.4 н следствия нз нее. В частности, система собственнагх функицй задачи Штурма — Лиувиллл полна а .оя(0, /).
Заме чан не. Другимн методамн В. А. Стеклов доказал более сильное утверждение: всякая функция /~а С' (10, ф, удовлетворяющая условиям /(0)=/(/) О, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля (1) — (э) (см. В. А. Стеклов [!1, ч. 1, гл. т/). 4. Нахождение собственных значений н собственных функцнй. Изложим процесс вычисления собственных значений н собственных функций задачи Штурма — Лнувнлля (1) — '(2). Пусть иг(х1 Л) н и, (х; Л) — решения уран.
пеняя (1), удовлетворяющие начальным условиям: и,(0; Л) = 1, и', (О; Л) = 0; и, (О; Л) = О, и,' (О; Л) = 1. Тогда функция и(х; Л) =Ь,и,(х', Л)+Ь,и,(х; Л) удовлетворяет уравнению (1) н первому нз граничных условий (2). Чтобы удовлетворить второму нз граннчных 344 уРАвнаиия эллиптического типА [гл. ч условий (2), необходимо положить Н,й,и,(1; Л)+Н,д,и,(0 Л)+Н,й,и,'((; Л)+ НАИ,'((; Л) =О. Корни Л,, Л„... полученного трансцендентного уравнения и дадут все собственные значения задачи Штурма — Лиу- х.(х) хтгх! Х,АУ! Ряс. Т2.
вилля (!) — (2), Соответствующие собственные функции ХА определяются по формуле (19) при Л=Л„ Х„(х)=и(х; ЛА)=йэи,(х; ЛА)+Ь1и,(х; ЛА), й 1, 2, Пример. Вычислим собственные значения и собственные функции задачи Штурма — Лиувилля при р=1, д=О, Ьэ — — НА —— 0: — й=Ли, и(0)=и(1) О. (20) Для этого выпишем общее решение дифференциаль.
ного уравнения (20) и (х) = С, з(п 1/ Лх+ С, сов У" Лх и подберем произвольные постоянные С, и С, и параметр Л так, чтобы удовлетворить граничным условиям (20) и условию нормировки 1и1=1, Условие и(0)=Одает С, О, а условие и(1) Одает'У'Л(=яп,й=~1 + 2, так что ыФ Аях Л= — „, и(х) =С,з(п —. Из условия нормировки 1 1 =1и 1'=. С,' з(п' — т(х = — С1 2 з4з ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ъ Г2 имеем С, = ф —,,и, следовательно, Х„=~ — "), Хл(х)=)/ — з(п — ", 1=1, 2, ... (21) Из построения следует, что других собственных функ. ций задача (20) не имеет.
Система собственных функций (21) полна в Х,(0, 1) (см. 5 22.3). Графики собственных функций Хл (х), А = 1, 2, .3, изображены на рис. 72. 3 23. Функции Бесселя Рассмотрим уравнение х*и'+хи'+ (х' — т') и = О, (1) называемое уравнением Бесселя, Всякое решение этого уравнения, не равное тождественно нулю, называется цилиндрической функ11ип7.
Отметим, что коэффициенты уравнения (1) не удовлетворяя>т условиям й 22. 1. Определение и простейшие свойства функций Бесселя..Рассмотрим при — оо ( У -оо функцию — 1х ~м~.. Х Г (А+У+1) Г (а+1) 1, 2) л-о Эта функция представима в виде л, (х) = х'Т"„(х'), (3) где 1„(ь) — целая функция, ( ЦУ(л Х 2ы УГ(Е+У+ЦГ(а+Ц. е-в (4) Действительно, в силу признака Даламбера ряд (4)' сходится, равномерно на всяком комцакте плоскости комплексного переменного ь и поэтому определяет целую функцию ),(ь). Таким образом, при у = О, -1-. 1, ...
/,(х) — однозначная аналитическая функция, а при У~О, -+ 1, ... )„(х)— уРАВнения эллиптичаскОГО типА !ГЛ. Ч многозначная аналитическая функция; выделим ту ветвь ее, где ха)0 при х)0. Проверим, что функция Х,(х) удовлетворяет уравнениго (1). Пользуясь соотношением Г (е+ 1) = ЕГ (х), получим хай; (х) + ху' (х) — уа,), (х) = ( — 1)" 1(2й+а)(2»+У !)-)-2й+У вЂ” та]) х~аааа =Х Г(»+У+!)Г(й+!) 12/ а-о СО ( — 1)» 4й (й+ у) !' х !«ааа -Х Г (а+а+1) Г (а+1) ~ 2) а о айаг Г (й+у) Г(й) ( 2) СО ( !)а ! „го»+а — ~Л~, Г (й+ „, + 1) Г (й+ 1) ( 2 / = — х г» (х) «-о что и утверждалось. Цилиндрическая функция г',(х) называется функ!(пей Бесселя !!прядка у.
В частности, )ч (х)= у — т х =1Š— з)пх .аГ2 чг ( — !)" а«„г ° / 2 лк л г (2й+ !)! Г лх (6) ) (х) = йг — à — х'"= ь — созх. лх «~а (2«)! ~г лх а о Если У)0, ~ целому числу, то функции ),(х) и У (х)=l (х) линейно независимы. Это следует из (2) в силу ,)„(х)= + ~1+0(ха)1, х-а О, .ТФ вЂ” 1, — 2, ...
(6) Если же т=п — целому числу, то У „(х) =( — 1)а/„(х), так что функции га(х) и ) „(х) линейно зависимы. 347 в»и»пни васселя $23! Докажем равенство (7). Учитывая, что Г( — А)=со, Й=О, 1, ..., из (2) имеем ( — !)» /» '»»-л ,(В~ Г «л — л+ «! Г «А+ !) «, 2 ) ь л = Х ' ° ',-) ( — !)»~Б !» !Ы:,-л Г «»+ ! ! Г «»+ л+ «) ~! 2 ! в 0 Отметим, что при т = и — целому неотрицательному числу — второе линейно независимое решение У„(») урав- нения Бесселя (1) обладает свойством с„х л ]1+ о (1)], и )1, 1 л(х) 1 1 О х'~ +«) (8) 1 сл!пх]1+о(1)], п =О, Зто утверждение вытекает из формулы Остроград- ского — Лиувилля (см. (5) 2 22.1) при р(х) =х, У (х) У„(х) У (х) 2„(х), илчьО, откуда так что к у„(х) = у„(х) ܄— а„~ —, „14«1)1 (9) Выбирая в (9) х„достаточно-малым и пользуясь асимптотикой (6), из (9) получаем (8).
2. Свойство ортогональностн. Если р, и р» — вещественные корни уравнения ~,(р)+рр);(р)=О, а О, р О, +р~О, (1О) и!о при т ~ — 1 1 ] х)» («4!х),7, (р,х) 4«х = О, р] Ф р»а~ (11) о х:( ) =4]' .)]+И!-й'() (") З4З УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. У Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р, и р, — любые веще- ственные числа. ФУнкции 1»(Р!Х) т! оч(Р,Х) УдовлетвоРЯют, в силу (1), уравнениям — '[х ' Р' )+ (р!х — --) о,(р!Х) =О, '~' )+(р! — — „) (.(рох) =О. Первое из этих уравнений умножим на /,(рох), а вто- рое — на l,(рАХ), затем вычтем почленно одно из другого и проинтегрируем по интервалу (О, 1).
В результате получим 1 ~ йч (х ~1» (РАх),!„— гч (Рох) д,, о 1 =(Р! — Р!) 1 х1,(Р1х) 1, (Рох) 1(х, о или х [р!'( (рох) (' (р!х) — р»Х (р!х) (ч (рох)1 ~ч = ! = (р', — ро») г )х,(, (р!Х) (, (рох) 1(х. (13) о Но из (2) при х-~+0 имеем (ср. (6)) рх!ч (» (рх) = г („+ !) (-е ~ + О (х™), РХ»ч рх1» (рх) = г (ч+ ~) ~ ~- + О (х" ), и поэтому рАх!»(рох) г»(р!Х) рох(»(р1Х) !»(рос) =О(хо»»о), .х-1 +О.
Таким образом, в силу условия ч) — 1 левая часть равен- ства (13) обращается в нуль при х=О и мы получаем 1 ~ х,(,(Р,х) l„(Р»х) 1(х= о „» [Мч (Ро) (» (РТУ вЂ” Ро)ч (Р1) (» (Ро)] (14) Если теперь р! н ро — корни уравнения (10): оь(,(р!)+рр ('(р!) О, аЗ,(р)+Ь l'(ро)-0, (16) Функции Бесселя 4»з! 1 )нп, „[р,l,(р,) 7»()х,) — п,,7,(р,) l;(р,)] ю-и "' = 2[7'(р)1'-2 — „) (р)[)'(р»)+и )'(М= = — [У (Р»)]'+ 2 У (Рх)( — „»1 !»1~ 3.
Рекуррентные соотноп»ения для функций Бесселя. Справедливы следующие рекуррентныс соотношения: Х„' (х) = 1, з (х) — — 7, (х), (16) .7; (х) = — У„, (х) + — „'7„(х). (16') Действительно, формула (16) следует из (2): ( — !!» (2»+»! ! х !»» ~ 2Г (»+»+ !! Г (»+ !) ( 2 / »са ( — !)» ! х 1»»+»» х,~~ Г (»-)-»-)- !) Г (»-~- !) ! 2 ! = — х .Г» (х). «-о Аналогично устанавливается и формула (16'). Формулы (16) и (16') можно переписать в виде д — [х',7,(х)] = х'7» (х), (17) а числа и и [) не равны нулю одновременно, то опрсде. литель линейной систем)я (15) равен О, р»/» (р1) )» ()»2) р1/» (р») )» (р1) О 2»(н1) м'(и1) 2» (Н ) М» (Н*) Отсюда и из (14) следует свойство ортогональности (11).
Пусть р, — корень уравнения (10). Переходя в равенстве (14) к пределу при р» — «р, и пользуясь правилом Лопиталя и уравнением (1), получим формулу (12): 1 ~х/,'(р,х)дх= о 350 УРЛВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !ГЛ. У Отсюда получаем прн т=О, 1, ( — ) !х'л',(х)1=х™,Г (х), (18)' (18') В частности, нз формул (5), (18') н (18) при т = О, 1, . имеем l Г (х) = ( — 1)'" ~ -- х "И*1 — ) Г2, / Е ~напк т.~ у (19) / 2, I д ~~сове (19') Наконец, вычитая формулы (16) и (16'), получаем еще одно рекуррентное соотношение: ,(„, (х) — — (, (х) + (, ,(х) = О.
(20) Позтому, если р — корень уравнения (10), то р — также его корень. 'Если р'~р', то, применяя формулу (1!) при р,= р, р, = р, получим противоречие: 0 =* ) хл „(рх) ), (рх) е(х = ~ х ~,(, (рх) (е Г(х. Поэтому ре=ре, т. е. либо р — вещественное, либо р— мнимое число: р=(а, ачьО вещественно. Но последний 4. Корни функций Бесселя. Докажем следующие свойства корней уравнения (10) при У) — 1.
(При р=О это уравнение, определяет корни функций Бесселя.) Теорема. Корни уравнения (10) при у — 1 — вещественные, простые, кроме, возможно, 0; они симметрично расположены относительно точки 0 и не имеют конечных предельных точек. Доказательство. Вещественность корней. Из формулы (2), в силу вещественности а, р н Г ф при вещественных $, получаем у,(х) = l,(х), вгнкции кисселя случай не имеет места, поскольку, в силу (2) и 'Г ($) >О, $~0, Ы, ((а) + ()(а,l; ((а) = =(- ~ м'~ %~ <х+Р(2ь+~) /а'ь 0 2 ) с~~ Г (а+~+ 1) Г (А+!) 1 в ) ь-0 Симметрия корней и отсутствие конечных предельных точек следуют из представления (см. (3)) а).
(р)+ Рру'Ы =- р'((а+ Рч) Р. (р')+()р7"'(р*)) и из того факта, что нули целой функции не могут иметь конечных предельных точек. Докажем простоту корней. Пусть рв >0 — корень уравнения (10) кратности рв2, так что гь(,(ро)+Ври)~(рй=О, у'(ро)+ РХ'(ро)+ бреу' (ро) = = — Р ~ро — — ) )ч(ро)+Ы~(ро) =О (2!) Иа/ в силу уравнения (1). Из равенств (21) заключаем: а) либо l,(ц,)=1;(р,)=0, Ь) либо а'+~'(р4 — т*)=0.
Случай а) невозможен в силу теоремы единственности решения уравнения (1), поскольку точка р,)0 ие особая для него. Докажем, что случай Ь) также невозможен. Для реализации Ь) необходимо ~)0 и р = Уч рою 0(ро~~)ч! ° Подставляя зто выражение в первое из равенств (2!) и возводя в квадрат, получим [(~ (ро)] = ~ „1) lч(ро)~ ио что, в силу (12), приводит к противоречивому равенству 1 )ХХ',(р х)ах=о. о Теорема доказана. На основании установленной теоремы положительные корни уравнения (10) можно перенумеровать> УРАВНЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
