Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(14) »ы Х» » ! о Из леммы Лини (см. 5 1.3) следует, что ряд (14) сходится .равномерно на б. Отсюда, используя неравенство Коши — Буняковского ! СО со СО 2 '% <>В!>!)~ ' т !Г !)3 т ) ! (г>!)' заключаем, что ряд (12) сходится регулярно нй бхб. Интегрируя равномерно сходящийся ряд (14) почленно н учитывая нормировку собственных функций, получаем формулу ~ —., = ~ ~ ! ЗГ(х, у) '»ухду. »=! во л»! 3.
Билинейное разложение эрмнтова непрерывного ядра. Исследуем сходнмость ряда (! 2) прн р= 1, а именно докаже»ь что эрматово непрерывное ядро Ю(х, у) разлагается в билинейный ряд по своим собственным функциям Ю(х, у) = 'к э„(х) ч» йй х» » ! сходя»цийся в Х (6) равномерно по уев Й, т, е.
! Р ЯГ (х, у) — Ъ "" ~" ~ -'О, р- оо, (47) х„ » ! Равенство (13) при р=! показывает, что при каждом уев б коэффициенты Фурье ядр» Ю(х, у) по ортонормальной системе (!р»(х)) равны = —. Поэтому, применяя фор- --!Р» (в) Х» мулу (16) 3 1.8, получаем равенство 3!4 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ГЧ откуда, в силу равномерной сходимости ряда (14), заключаем о сходимостн билинейного ряда (!6) к ядру Л'(х, у) в смысле (!7). Из (!7) следует, в частности, что ряд (16) сходится к ядру м!'(х, у). в Х,(б л б), т. е.
Для билинейной формы (К7, л) докажем формулу (К7, к)= ~~ — ' — 4)ха' ™ ), кее~ (6). (19) Действительно, поскольку /яХ,(6), то, по теореме Гильберта — Шмидта, (К)) (х) = ~ — '~" <р„(х), причем этот ряд сходится равномерно на б. Умножая этот ряд на функцию я из Хз(б) (и, следовательно, абсолютно интегрируемую на ы, см. $ 1.7) н почленно интегрируя его по области О, получаем формулу (!9): (~Ч, а)= Кийк= У ~-'-У вЂ” ') ~ ср„(х)я(х)г(х= У (й ~')(е' 'Р'), А =! А =! Полагая в формуле (19) 7'=К, получим представление квадратичной формы (К), )) в виде СО (Ч, г)= ~~~~~ ~~' ~"~' .
1 =~ (а). (20) А-1 Формула (20) представляет собой обобщение формулы приведения к главным осям квадратичной формы с конечным числом переменных. эм1 теогвмл гильвегтл — шмидтл и ва следствия З15 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмнтовым непрерывным ядром. Построим решение неоднородного интегрального уравнения (21) ф(х) =Л ~ -„' ~'„%,(х)+~(х). (22) Действительно, при ЛФЛм й= 1, 2..., решение интегрального уравнения (21) существует и единственно в С(6) при любом свободном члене 1ен С(б) (см, й 18.3). По теореме Гильберта — Шмидта функция Кц разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра Ю(х, у).
Поэтому р=ЛКг+)=л ~("„~" р,+Р. Л ьп (23) Вычислим коэффициенты Фурье (Ч, ~Г„). Из уравнения (2!) имеем (ч, р„)=л(кр, р,)+(), р,)=л(ч, Кр,)+(), р,)= Л =Л-,(Р, Ч )+К Рв) и, следовательно, (В Вд= „' (), фь), й=1, 2, ..., откуда, в силу (23), вытекает формула Шмидта (22). По теореме Гильберта — Шмидта (Кг)(х)= ~~1 ''Л' ч„(х), А=! с эрмитовым непрерывным ядром Ю(х, у). Есги ЛФЛ,, а=1, 2, ..., и 7 вн С(б), то (единственное) решение ~р интегрального уравнения (21) представляется в виде равномерно сходящегося на 6 ряда (формулой . 1мидта) з)е интеГР»льные РР»внения )ГЛ.
17 причем ряд сходится равномерно на б. Позтому формула Шмид1а (22) принимает вид 1р(х)=1 ~~ ' " ~р»(х)+).» ~~~~ ' " !р»(х)+)(х). »=1 » 1 =Х»ч" (х, у)1(у)1(у+)» ~~ Х,'.,~" )1р»(х)+/(х). (2»)) »=1 Далее, из регулярной сходимостн билинейного ряда (12) при р='2 следует равномерная сходна!ость билинейного ряда 1Р» (Х) ф» (Р) )» <)» — ')Т) ' »=1 и его сумма есть непрерывная функция по херб, у~ »», )»~Х», 1=1, 2, ..., н мероморфная 'по Х с простыми полюсами А». Следовательно, при Х~)»», й=1, 2, ..., в формуле (24) можно поменять порядок суммирования и интегрирования, в результате чего получим »1 !-»~ ~!»1*, и1»» 7,' Р !'!''1,'11!»!»»»111, 1»51 »-1 С другой стороны, ио теореме у 17.2, при малых Х решение уравнения (21) выражается через резольвенту »М(х, у; )») ядра т»" (х, у) по формуле (20) З 17.2.
Следовательно, ВМ (х, у; Х) = й' (х, у) + Х У ~р» (- ) р» (р) . (26) »-1 Таким образом, резольвента Ю (х, у; Л) зрмитова непрерывного ядра»г» (х, у) допускает мероморфное продолжение на всю плоскость комплексного переменного )» с простыми полюсами Х» и вычетами »» — 1 — ~ч', »Р»+1(х)фР!1+1(У), (27) о ч гя теоьвм» гильвеьтк — шмидт» и ге следствия а!т где Ч!», ф»см ..., !р»„», — собственные функции ядра уГ(х, у), соответствующие ц, и 㻠— кратность Х» (см.
заме- чание й 17,2). Пользуясь равенством (16), перепишем формулу (26) в виде вУ(х, у; А) = ~' ~" — ~» —, (28) » =' ! причем билинейный ряд сходится в Х»(бхб) (см. 5 20.3), Замечание. Формула (22) остается справедливой и при Х'= )~7, если, в соответствии с третьей теоремой Фредгольма, (/, !рри) =О, 1=0, 1, ..., гт —.1. В этом случае решение уравнения (21). не единственно и его общее решение, согласно формуле (38) 5 1.11, дается формулой ло 9 — ! Ч!(х) =)Ч 7 (/' ~Х !Р»(х)+/(х)+ »7 с!<Р ы(х), (29) »=! с-ь А лх! где с! — произвольные постоянные.
6. Положительно определенные ядра. Ядро рг(х, у) называется положительно определенным, если соответ- ствующий оператор К положителен (см. ~ 1.12), т. е. (К/, /) ) О, / ее Х~ (6). Всякое положительно.определенное ядро Ю (х, у) врми- аюво. Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см. й 1.12), то и его ядро'Ю(х, у) эрмитово (см. й !9.1). Для пюео чтобы врмитово непрерывное ядро А" (х, у) было положительно определенным, необходимо и доспга-.
точно, чтобы все его характеристические числа ь» были положительными. Действительно, если Х») О, то в силу (20), (К/, /).=- )О, /~ Х»(б), так что ядро ьь" (х, у) положительно опре- деленное. Обратно, если ядро Ю (х, у) положительно определенное, то — „=(Кф», гр»))0, т. е. Х»)0.
! з[в ИНТЕГР»ЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. [у Если .Ю (х, у) — полоъсительно определенное непрерыв- ное ядро, то справедлив следующий вариационный принцип: ецр -Щ, й=1, 2, ..., (30) Х» [а х„[о! 1[Р (!. Фд=0, [= !. 2., » — ! причем зпргегппгп в (30) достигается на любой собствен- ной функции, соответс[пвующей характерисп[ическому числу Л», Действительно, пользуясь формулой (20) и учитывая неравенства А!ЗХ»)0, ! ~ Ег, при всех ЕЯЕЖ»(6) таких, что (Е, р!)=О, !'=1, 2, ..., Ег — 1, получаем и, стало быть, в силу неравенства Бесселя справедливо неравенство (кЕ, й , Е~» (31) С другой стороны, при Е=!Е» имеем (кч!» '!») (32) ч»1» Неравенство (31) и равенство (32) устанавливают справедливость вариациоииого принципа (30).
Полагая в (30) я=1, получаем — зцр (Е(Е. Е) (33) Л! [я.е,[т 1Е3 6. Распространение теории Гильберта — Шмидта на интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром. Теорема Гильберта — Шмидта и следствия из нее, уста»новленные в этом параграфе для интегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром, переносятся и на интегральные уравнения с эрмитовым слабо волярным ядром (см. ~ 17.4) Ю(Х, у)= ', а( Е, РЖ"" (Х, У)=»А" (Х, у). »2т (х, у) и Действительно, для таких ядер справедливы результаты 3 19.,Поэтому, как показывает 'анализ доказатель- $ ЕЬ1 ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ГПМИДТА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 319 ства теоремы Гильберта — Шмидта, для распространения этой теоремы на слабо полярные ядра достаточно установить следующую лемму. Лемма. Интегральный операпюр К со слабо полярным ядром М" (х, у) переводит Хе(6) в С(6) и ограничен: ) Кис(Ы)'1.
(34) где 1Р = Гпах ~~ АГ(х, у)~ес(у, каб о Доказательство. Пусть ) енЖе(6). Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, при всех х ен 6 имеем 1 ! (! $~Ю(х, у) ес(у1х)!(~7.)7), (35) Далее, из результатов 3 1.5 вытекает, что функции (К))(х) = ( ' У))(у)ду, )Л'(х, у)!'ду непрерывны на Й, Поэтому оператор К переводит Хх(6) в С(6) и неравенство (34) следует из неравенства (35). Лемма доказана. Пусть теперь эрмитово ядро УГ(х, у) — полярное, а(п.
Для таких ядер справедливы результаты з 19. Поэтому, как это следует нз доказательства теоремы Гильберта— Шмидта, ряд (9) сходится в Хе(6). Учитывая теперь, что л при р- р,=~ „~+1 повторные ядра Юр(х, у) эрми- товы и слабо полярные (см. Я 17.4 и 19.4), заключаем, что билинейные ряды (12) сходятся регулярно лри р )2р,, Далее, формулы (19), и (20), а следовательно, и все резуль- таты э 20.5 сохраняются. Формула Шмидта (22) оста- ется справедливой с заменой равномерной сходимости на сходимость в Х,(6).
3 а м е ч а н и е. Рассмотрим интегральное уравнение ф (х) = А ( р (у) вь' (х, у) ф (у) ау+ ) (х), 320 интвгпдльные эпдвнения (гл. Гу где ядро ехь (х, у) эрмитово и вес р (у) — положительная и непрерывная функиия на б. Замена неизвестной функции ф= Урра преобразует уравнение (36) к эквивалентному интегральному уравнению ф(х)=Х~ Ур (х) р(у) еи (х, у) ф(уз ау+ Ур(х) ) (х) с эрмитоным ядром Ур (х) р(у) ьь (х, у). переходя к исходному уравнению (36), убеждаемся, что теория Гильбсрта — Шмидта без изменений переносится и на интегральное уравнение (36) с неэрмитовым ядром р (у) ехь" (х, у), если его рассматривать в пространстве Хэ (О; р) со скалярным произведением (г', у)о (см. б ц9, замечание).
7. Теорема Ентча. Многие задачи математической физики сводятся к интегральным уравнениям с вещественным эрмитовым ядром. Такие ядра называются симметричными; они удовлетворяют соотношению мь" (Х, у) = =Ю(у, х). Собственные функ(<ии симметричного ядра ео' (х, у) можно выбрить вещественными. Действительно, если сра = ф, + гера — собственная функция ядра Ю(х, у), соответствующая характеристическому числу Л,: р, = рг+ ира = Ле)(сро = ~ )(гут+ (Ла)(сс„ то, в силу вещественности Ю (х, у) и Ле, заключаем отсюда, что отличные от нуля вещественная и мнимая части гр, и Чзз фУнкции Ча также ЯвлЯютсЯ сабе~асиными фУнкциЯми, соответствующими Л,; 'Рг = Лайч'ы Чз = Ла)хгрз. Ядро.мь" (х, у) назовем положительным ядром, если Ю(х, у))0, хан 6, у ы 6.
Очевидно, если ядро сгэ" (х, у) положительно, то и все его повторные ядра мьр(х, д) положительны. . Теорема Ентага, Если силгметричное полярное ядро мь" (х, у) положительно, пю его наименыиее по модулю характеристическое число Лх — положительное и простое', соответспмующая собспменная функг(ия срз (х) положительна в 6. Доказательство. Пусть Л,— наименьшее по модулю Чвещественное) характеристическое число симметричного положительного полярного ядра мэ" (х, у) и гуг — произвольная вещественная собственная функция, соответствующая Лм ср,=ЛзКсрь Тогда Лг — наименьшее характери- а 20] тЕОРЕмА ГИЛьБЕРТА-ШМидтА И ЕЕ СЛЕДСтВИя 321 стическое число положительно определенного полярного ядра ааГа(х, р) и ф,— собственная функция, соответству- ющая Л1, ф,=Л',К'фь Докажем, что ф,(х) не может менять знак в области 6, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
