Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В частностй, прн р = 1, д-0 формулы Грина (5) и (6) превращаются в следующие (ср. с формулой (29) з 6.5): 'ЕА дс ди С ди, од!ийх= — ~ т — —.йх+~ о — 'йЗ, (7) л~1 дх1дх! дп В1! АА.—.А.|И.=)("" —.,— 1А)АА, !А 3. Свойства оператора л.. Оператор 7. эрмитов! Ф, а)=К (а). ~ й' Пользуясь теперь формулой Гаусса — Остроградского (см, з 2.2), получаем л дв ди ~ ди лы дх1дх! ! дп ойийх= !А р У вЂ” — йх — !А ро — йо'+ ~ аиойх.
1 ! в Устремляя в полученном равенстве С' к 6 н пользуясь тем, что и и оенС!(С), заключаем, что предел правой части существует н, следовательно, существует предел левой части и справедливо равенство (5). При этом интег. ха рал слева в (5) необходимо понимать как несобственный. Если и н о ~ С' (0) П С' (б), то справедлива вп!орал 4юрмула Грина: РРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА 1гл. 7 д~ дп дд Ф дп -У вЂ” — д — ~ =О. дд д) дп дп з 3 Учитывая полученное равенство, из формулы (10) получаем равенство (9), которое и означает, что оператор Ь эрмитов (см.
$ 1.12). Пусть ~~ вы Полагая в первой формуле Грина (5) и Г' н о =) н учитывая, что Ц еи Х,(б), получаем а. п-~р>п.аЛ и-(Р4п~-) ч>к> н, пп Из граничного условия (2) следует, что — — — если р (х) О, х ен 8; д) а дп (=О, если р(х) О„х~8. Подставляя эти соотношения в равенство (12), получаем выражение для квадратичной формы: (Ц,))= (р~йгаЦ~'+г(ЦР)ах+ р Р ЯМА, ~а=ма„(13) где ЯР— та часть о, где а(х))0 н р(х))0. Действительно, так как функции ~ н х принадлежат области мвы то ЦяХз(0) й Ц=Гуен Х,(6) и вторая формула Грина (6) при и=) и о =д принимает вид ~~~-К~( =(Ц, а)-(~.
~а)= ~р)Р цЯеь. до~ Далее, функции 1' и д удовлетворяют граничному условию (2): аг+)) — ~ =О, ау+ф — ~ =О. д) ~ — дп дп ~з дп з (11) По предположению (3) а+~)0 на 5. Поэтому однород. ная система линейных алгебраических уравнений (11) имеет ненулевое решение (я, р), и, значит, ее определитель равен нулю, т. е. з гп зАдАчА нА совственные знАчения зз1 КвадРатичнаЯ фоРма (ь|, )), 1 ее ыас, называетсЯ интегралом энергии. В силу предположений (3) в правой части (13) все три слагаемых неотрицательны. Поэтому, отбрасывая второе и третье слагаемые и оценивая снизу первое слагаемое, получаем неравенство (Ц, ~) ) ~ р ~йгаб1~'дх~ппп р(х) ~ (бган~!'е(х, о «мб в т.
е. (М), )) ~ рь1! ((габ11(', ) ев Фы (14) где рь=ю1пр(х); в силу непрерывности и положительности функции р на гг, р,)0. Из неравенства (14) вытекает, что оператор 1.— положительный (см. $1.12), т. е. (Ц, 1)~0, ~Ба .а,. (15) Отсюда, в частиссти, опять следует эрмитовость оператора Ь (см. з 1.12). 4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Е. Все собственные значении оператора г. неотрицательны.
Это утверждение вытекает из положительности оператора (см. з 1.12). Собственные функции оператора Е, соответствуюи(ие различным и собственным значениям, ортогональны. Это утверждение вытекает из эрмитовости оператора (см. з 1.12). Собственные функции оператора Ь можно выбрать веи1еслюен ными. Это утверждение вытекает из вещественности оператора 1. (ср. З 20.7). Лействительио, пусть ).,— (вещественное) собственное значение и и, — соответствующая собственная функция оператора Ь, Ьи„= ~,иь, иь ~ ыг,, (16) Тогда, отделяя в равенстве (16) вещественную и мнимую части, получаем, что отличные от нуля вещественная и мнимая части собственной функции и, =-и, +(и, также являются собственными функциями, ссютветствующими собственному значению )ы (.ит=йьи~, 1=1, 2, 332 уРАВнения эллиптического типА !Гл.
и Л е м м а. Для того что5ы Х = О было собственным значением оператора („необходимо и достаточно, чтобы д= 0 и а — О. Ори этом л =О' — проспюе соогтвенное зна- чение и и„= сопз1 — соотеепютвующая собспгеенная функция. До к а з а т е л ь с т в о.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Х = 0 — собственное значение оператора (. и и, — соответ- ствующая собствеиная функция, так что 1.иь —— О, и, ~ ывы Применяя к функции и, формулу (13), получаем 0 = ((.и„иь) = ~ (р ! Егаб ие !и+ д ! и, !') йх + ~ р — ! и, (* г(5, 6 зр откуда, учитывая предположения (3), выводим рйгадиь=О, диь=О, куб, т. е, и,=сонэ( ~0 и д=О. Из граничного условия (2) для,собственной функции и, = сонэ! следует, что а =О.
Необходимость условий доказана. При этом установлено, что и;=сопзг — единственная собственная функция, соот- ветствующая собственному значению А=О, т. е, это соб- ственное значение — простое. Достаточность. Если д =0 и сс=О, то, в силу (3), р )0 и задача (1) — (2) превращается в следующую: ди ~ — б!У(рйгаби)=Хи, — ~ =О, дп ~5 для которой иь=сопз( есть собственная функция, соот- ветствующая собс1 вен ному значению Л = О. Лемма доказана. При и» 2 будем считать, что в' граничном условии (2) либо р =О, либо р=1, т, е. это условие имеет вид либо и~ =О, либо — +аи) =О, а»0.
(17) ди 5 дп Тогда, если граница В области 6 — достаточно гладкая поверхность и коэффициенты р>0, д»0 и а»0 — доста- точно гладкие функции, справедлива следующая Теорема !. Множество собственных значений опера- тора 1. не имеет конечных предельных точек; каждое соб- ственное значение имеет конечную кратность. Всякая функция из ыьг разлагается в регулярно скодящийся ряд Фурье по собственным функциям оператора 7, . Эта теорема будет доказана для двух частных случаев: 1) для задачи Штурма — Лиувилля (см, $ 22) и 2) для з»и ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 333 задачи Дирихле (см.
3 28). Доказательство этой теоремы содержится в книгах В. П. Михайлова [1], гл. !Ч и О. А. Ладыженской 11), гл. 11. На основании приведенной теоремы и предыдущих утверждений все собственные значения оператора С можно перенумеровать в порядке возрастания их величины: 0 == Л, ( Л» ( ..., Л»- оо„ )г - оз, (18) повторяя в этом ряд Л„ столько раз, какова его кратность. ()оответствующие собственные функции обозначим через Х„Х„..., так что в ряде (18) каждому собственному значению Л„соответствует собственная функция Х», 1.Х»=Л»Х», /г=1, 2, ..., Х,~ !е,. При этом собственные функции (Х») можно выбрать веще- ственными и ортонормальными (см.
3 1.12), так что ((.Х„, Х!)=Л»(Х„Х!) =Л,б»,. (19) далее, всякая функция г" нз »гс разлагается в ряд Фурье по ортонормальной системе (Х»), !" (х) = ~, (1, Х») Х»(х), (20) »-! н этот ряд сходйтся регулярно на 6. Но !Е! плотно в 2'» (б) (см. 3 21,1), Отсюда и из теоремы 3 1.9 вытекает следу кяцая Теорема 2.
Система собстеенных функций опера- тора 7. полна е,» (6), Пусть г ее !Еы Умножая ряд (20) скалярно слева на Ц и учитывая, что Ц~ 2»(6), получаем формулу для интеграла энергии (Ц, )) =,5„'(~, Х»)(Ц, Х.) =,'5, '(~, ЕХ») К Х,) = » ! » ! =,У; У, Л»Х») д, Х,) = ~ч; Л» д, Х»)». (21) »=1 » ! Теперь установим следующий варнационный принцип (ср. 3 20.5): Л» = !Н( †',), й = 1, 2, ..., (22) (!, х )-е, с-!, а ...„, ! УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИЦА ГГЛ. У причем 1пПпшт в (22) достнгаетея нв любой собственной функции, соответствующей собственному значению АА. Лействнтельно, пользуясь формулой (21) для квадратичной формы (Ц, 'Д и учитывая неравенства (18): Ц» )1»~0, 1)й„при всех ) ~Мх таких, что (г', Х;) ~0, 1=1, 2, ..., й — 1, получаем Щ, 1) = Я', ) ~(1, Х,)Я Л, Я', Д, Х,)~ .
Г=Ф ~=А Но, в силу теоремы 2, справедливо равенство Парсеваля (см. % 1.8) ~;,д, Х)х= ~Ч 1(1, Х,)1Т=Ц1 и потому Ах ( — '— . Ю )) 11)х ' Применяя формулу (21) к функциям Р т)р — — 1 — ~ ', (~, Х~) Хь Р = 1, 2, ..., ив ивг и учитывая, что <х„х,~ -(~ — т Р, х >хь, х ) =1 ~ 1ЧХ), = +,..., получаем ((. )„ ч„) = Я,' л, ~д, Х„)~ . А=р+! С другой стороны, (г.х, х„) 1Х,Р Этим установлена ципа (22).
Полагая в (22) при г =Х„в силу (!9), имеем (Хх, Х;)=О, 1 1,2,...,й — 1. справедливость варивционного прин- Й=1, получаем, в частности, А = |п1 (г-1 1) гм-"с 1П 4 м1 здйдчд нд созствйнныв зндчвния Отсюда и из сходимости ряда (21) следует, что (~.Чр, т)р)-ь.0, Р-~со. (23) Применяя неравенство (14) к функциям Чр н учитывая (23), полу азм.при р-~со [)агздт[р 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
