Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 51
Текст из файла (страница 51)
При и=1 гармониче- ба гхУ ские функции сводятся к линейным функциям н потому их теория интереса не представляет. Поэтому в дальнейшем будем счн- Рнс. 74. тать п~2. Нетривиальным примером гармонической функции при х~ О является фундаментальное решение оператора 1) Пусть функция /(1х! ) абсолютна ннтегрнруема на йк, н для нее справедлива формула обращения преобразования Фурье. Доказать, что ее преобразование Фурье равно 360 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА )ГЛ. У ,Лапласа (см. й 11.8) Жт(х) — 1П)х~, П=2; ! Ж»(х)= — )х) ""', п~З.
(л — 2) и» График функции Ж„(х) изображен на рис. 14. 1. Формула Грина. Если и ее С'(б) и и(х) =О, хай, го при хе=о справедлива следую!цая Формула Грина: + ! (' Г ! ди(У) д ! (л — 2)и» ~ 1)к — у!»-» дп (У дл„)к — у!»-»~ и' — — и ) — с(О (1) и (х) = — — Ои (у) 1и — Ыу+ 2л 6) )к — у! + — )Г )р — — — и (У) — 1п — 1 !(Я . ! ГГ ! ди(у) д 2л й) ь !к — у! дп дпи )к-у! Другими словами, функция и представляется в виде суммы трех ньютоновых (логарифмических) потенциалов: и (х) = У„(х) + У2' (х) + У»" (х), (2) где (считаем для определенности а~3) о — объемный потенциал с плотностью- — (Ьи); ! (л — 2) и» У (х) = = — Ж„л ( — 6з ! = — ЫЯ и> Тди ! ! Г ! ди(у) (дп ) (л — 2)и» ~ )к — у!»» дл и — потенциал простого слоя на О' с поиерхноатной плот- ! ди постыл ( „,(х Ж д („— ! Гп,у) д дп ' (л-ъ2) л» й! дп„! и — у!»-» и — потенциал двойного слоя на Ю с поверхностной плот- ! Н О С Т Ъ Ю (» 2 ) И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Докажем формулу Грина (1) при л) 3.
Применяя формулу (27) 2 6.5; с) к функции и и учитывая, что Гди! ди ~ ~из)= — и !з, 1à — 1 = — — ~ получим ' ) дп 1г дп 1э' Ли = (Л~) — — бз — — (~б~). ди д (3) Так как функция и финитна, то ее свертка с фундаментальным решением Ж„ оператора Лапласа существует (см. $ 7.6). Поэтому, применяя формулу (13) 2 11.3 и пользуясь равенством (3), для функции и получаем представление и=Ж„ФЛи= 8„Ф !Ли) — В„Ф1й-бз ~ — Ж„л — (ибз) = !ди ! д (п ! "дп — — Ф (Ли)+ (и — 2)ои ( !х)и-х + г гп(д бз) +; "!и Ф (ибх)1 (4) Отсюда, пользуясь определением иьютоиовых потенциалов и формулами (37), (40) и (41) 5 7,10, получаем формулу Грина (1) при л= 3.
Случай л=-2 рассматривается аналогично, Формула Грина (1) справедлива н для функций и класса С'(6) ПС'(6), если в ней интеграл по области 6 понимать как несобственный (ср. 2 21.2). (Этот интеграл может сходиться не. абсолютно,) Для доказательства применим формулу Грина (1) ко всякой подобласти 6'~6 с кусочно-гладкой границей и перейдем к пределу при 6'-и.6. Пользуясь предположенной гладкостью функции и, убедимся в справедливости формулы Грина (1) и в этом случае. Для гармонической в области 6 функции и класса С'(6) формула Грина (1) принимает следующий вид: 1 (' !" 1 даф) (и — 2) ои,! 1~ х — у !" и ол 5 д 1 "(У) дл 1х „! -и~'(3и д ! — и(у) — !п,1Г(5, п=2.
дли ! х — У,'! 362 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (гл. у Поверхностные потенциалы )гн' (х) и )г'„" (х) можно непрерывно дифференцировать вне О' под знаком интеграла бесконечное число раз, и эти потенциалы — гармонические функции вне О. Отсюда и из формулы (б) вытекает, что всякая гарлюническая функция бесконечно дифференц ируема *). Замечание. Формула Грина (5) выражает значения гармонической функнни в области через ее значения и значения ее нормальной производной на границе этой области. Эта формула аналогична формуле Коши для аналитических функний.
Легко заметить также аналогию между формулой Грина в форме (2) н сходной формулой (17) З !3.3 для волнового уравнения. 2. Распространение формул Грина. Пусть граница о области б — поверхность класса С' (см. 2 1.1) и функция и ~ С' (б). Будем говорить, что функция и имеет правильную нормальную производную ее) на О, если равномерно по всем хан О существует предел нормальной производной — при х'-ч-х, х' ~ — и„, и этот предел ободи (х') дн„ ди ди (х) значаем — = — —, так что дн дн„' дн (х') кс в ди(х) -+ — х'-нх х' ен — п . дн, -ь днк ' к. Из этого определения следует, что если правильная нормальная производная существует, то она непрерывна на О и является обычной нормальной производной. Лалее, равномерно по всем хен О' существует предел и(х') при х' — э х, х' ~ — п„.
Этот предел обозначим через и(х), так что и ец С(6) и кшз и(х') -' и(х), х'-ч-х, х' ен — п„, (6) Доопределенная таким путем функция и(х) будет непрерывной на (к, т. е. и ~ С((к). ,1(ействительно, пусть ха- х ы О', ха ~ О. 'Гочка ха лежит иа ноРмали — п „к некотоРой точке ха ~О, т. е, ха=х,+бап„, (рис. 7б) и ба-~й, й-~ОЭ. Пользуясь не. ') И даже аналитическан (см.
$4.7). ") Этот термин введен А. М. Ляпуновым (Ц. а а43 ГАРмонические Функции (7) Это означает, ввиду произвольности выбранной кривой, что нормаль л ортогональна к касательной плоскости поверхности 5ь в точке х', т. е. л„=п„, что и утверждалось. прерывностью функции и на 5 и равномерной ограниченностью ( ) ~(С, х'ЕЕО, й-ь.оо, имеем ) ди (х ) ~ дпсь (и(х) — и(хь) ! ( !и(х) — и(хь) ~+ ~и(хь) — и(хь) ( = ~) и(х) — и(хь) ~+Сбь-~О, й-ьоо. Очевидно, для функций класса С'(О) правильная нормальная производная всегда существует, Пусть 5 — поверхность пс +++ класса С'. В каждой точке и, х~5 отложим по внутренней нормали — л„отрезок настоян- е, " --- — Ъе ной длины б.
Множество кои- х', цов х' этих отрезков описывается уравнением l х' х — бл„. (6) В силу леммы Гейне — Бореля Рис. 76. (см. ~ 1.1) при достаточно малом б это множество образует некоторую замкнутую поверхность класса С', которую обозначим через 5ь и назовем поверхностью, параллельной поверхности 5 (рис. 75). Нормаль л„в точке х' = х — бл„~ 5ь направлена вдоль нормали л„, х~ 5, если 5 енС' Действительно, пусть х — произвольная точка на 5 и х=х((), ()Π— произвольная кривая класса С' на 5, проходящая через х, х=х(0). Тогда х'(()=х(() — бл н„ 1~0 — кривая класса С' на.5М проходящая через точку х'=х — бл„. Дифференцируя по ( очевидное тождество ~х(() — х'(1) ('=бь (см. рис, 75), получим (х — х', „—,) =(х-х', —,), откуда, полагая (=О и учитывая, что касательная к кривой в точке х ортогональна к нормали л„, выводим 6(л„, „( )=6(л,.— „)=О.
(8) гглвнення эллиптического типа !гл. ч Лемма. Пусть ераница Я области 0 — поверхность класса С' и функция и иэ С'(О) имеет правильную нор- мальную производную — на Я. Тогда для любой ~-~С(6) ди дп справедливо равенство 1~ (~( ')1~~~шя,.-~~ь)~д~ия„(9) б где Яь — поверхность, параллельная Я, Доказательство. Так как нормали и и п„в точках х ~ Я и х' = х — бп„~ Яь направлены одинаково, то 1(х) ( ) =1(х) ( ) — Г(х) ( ), (10) х'-~х, х' еи — и„, в силу определения правильной нормальной производной и непрерывности функции ) иа 6. Из предельного ооотношения (10) и вытекает равенство (9), Лемма доказана. Из этой леммы вытекает, что следующие 4юрмулы Грина остаются справедливыми для поверхностей Я класса С' и для функций, имеющих правильную нормальною производную на Я: формула (б) э 21.6, если и ен Сэ(6), Еи ~ Жэ (0), — существуел~ и о ен С' (О) П С(6); форда сь мула (6) э 21.6, если и, о ен С'(О), — и — существуют; дп дн формула (1) 2 24.1, если и ен С'(6) и — существует, ди Действительно, применим перечисленные формулы Грина к любой подобласти, ограниченной поверхностью Яь, параллельной Я.
Переходя в этих формулах к пределу при б — О и пользуясь предельным соотношением (9), убедимся в справедливости формул Грина при сформулированных предположениях. 3. Теорема о среднем арифметическом. Предварительно докажем следующее утверждение: если гармоническая в области 6 функция и ~С'(6) (или если — существует ди дп на Я и Я я С'), то (11) с(Я =О, ГАРмоничвскив Функции $2п Равенство (11) вытекает из первой формулы Грина (7) $ 21.2 при о = 1. Т е о р е м а о с р е д н е м а р и ф м е т и ч е с к о м, Если функция и(х) — гармоническая в шаре Уя и непрерывная на бя, то ее значение в центре этого шари равно среднему значению по сфере Яя, и(0) =, ~ и(х)НЯ= — ~ и(Я5)~й.
(12) зя 5, Доказательство. Применяя формулу Грина (5) для точки х=0 к лк2бому шару ~х,'«р, Р й, и пользуясь формулой (11), при п=-3 получим равенство (12): и(0) = — д2 — 2Ю вЂ” д2 и (у) — — сЖ 1 1 ! Гди(у) Г д ! (и — 2) о„~р" 2,~ ди 3 дп ~у~"-' 5 5 = — „„, ~и(у)г(3. 5 Так как функция и(х) непрерывна па замкнутом шаре с7я, то равенство (12) сохраняется и при р- )к'.
Случай п=2 рассматривается аналогично. Теорема доказана. 4. Принцип максимума. Пользуясь теоремой о х ' ' чх среднем арифметическом, 1 хк установим следующий принцип максимума .С .т для гармонических функций. Теорема. Если функция и (х) 22 сопз( — гармо- Рис. 76. ническая в ограниченной области б и непрерывна на б, то она не может принимать свои минимальное и максимальное значения в области б„т. е. пп(пи(х)(и(х)~Гпахи(х), хыб. (13) коз к И 5 Доказательство.
Пусть, напротиь, функция и(х) принимает свое максимальное значение М в некоторой зав КРАВнения эллиптическОГО типА (ГЛ. У точке х, а О, М = и (х,) = «пах и (х). (14) куб Так как хо — внутренняя точка области 6, то существует шар (?(хо; «,) наибольшего радиуса «„ содержащийся в б (рис. 76), Докажем, что и (х) = М, х е= (? (хо; «,). (15) Из (14) следует и(х) М= (х,), х (?(х,;;), (16) Если бы в некоторой точке х' ев(? (хо; «,) было и(х')( (М, то, по непрерывности, неравенство и(х)(М имело бы место и в некоторой окрестности и„точки х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
