Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пользуясь ортогональностью полиномов У, и У, „получим '21 — ! à — 1 1У! 1' = ~ УЕУ! с(Р = ~ У! ~ — РУН ! — — УГ-2 Г()с = — ! -! с — — !гГУ!У -! Выражая произведение рУ, по формуле (20) и пользуясь ортогональностью полиномов УГ, и УГ,И получим ! ! !!21+1 — ! 2! — 1 21+Т) откуда н вытекает Грормула (23): 21 — ! 21 — З 1, 2 1У! 1' = — —" — 1УР 1' = —. 21+! 2! — ! '''3 2!+1' Система ~олиномов Лежандра УГ, Г=О, 1, ..., полна в Хэ( — 1, 1). Это утверждение вытекает из теоремы $ !.9 и из теоремы Вейерштрасса (см.
2 1.3), согласно которой множество полиномов, а следовательно, и множество линейных комбинаций полиномов Лежандра плотно в С(1 — 1, 11) и, значит, в Ж,( — 1, !). з82 геквнения эллиптического типа !гл. ч Таким образом, всякая функция ) ее,х"г( — 1, 1) разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра 2 )' г) ~®' (=о сходяшийся В Хг( — 1, !) (см, ф 1.9). 5. Присоединенные функции Лежандра. Проверим, что функции Уг (р)=(1 — р,')' У)"'(р), 1=О, 1, ...' т=О, 1, ..., 1, (24) называемые присоединенными функциями Лежандра, удов- летворяют уравнению (12), Действительно, производя в уравнении (12) замену У(р) (1 рг)ге(р) для функции е получим уравнение (1 — р') е" — 2)г (т+ 1) е'+((г+! — т т)е= О (25) С другой стороны, дифференцируя уравнение (13) т раз, убедимся, что производная У)'"' удовлетворяет уравнению (25).
Следовательно, присоединенные функции Лежандра У'," удовлетворяют уравнению (12). Умножая уравнение (25) на (1 — р'), перепишем его для а=У[ ' в виде [(1 — )гь)гнгУ)~+и[ = — (1 т) (1 1 т 1 1) (1 )гг)а У[го (2б) 17ри киждом т)0 система присоединенных функций Лежандра Уг, 1= т, т+ 1, ..., ортоеональна в Хг( — 1, !), причем (27) Это утверждение верно при т=О для полиномов Лежандра Уг=У", (см. Я 25.3 и 25.4). Отсюда, пользуясь определением функций Уг и формулой (26) с заменой т СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ на и! — 1, получаем ! !! (У! У! )= ~ У! У! а)» ~ ~ (1 — !» ) У! У! с(р =' -! — ! ! =(1 — 1!') У!"'У! п~ — ! — ~ У! п((1 — р') У!'-"'14»= — ! ! (1 т 1)(1+т) ~ (1 (»»)»У!! — ИУ»! — Ийр -! =(1+т)(1 — т+1)(У! ', Р ')= (1+т) (1+т — 1) (1 — т+1) (1 — т+2) х Х(У», У! ) (~ — )! (У!' А') ! — т ' 2( ! бн т з т (! + »и)! , (! + т)! 2 что и требовалось установить.
Лри каждом т)О система присоединенных функций Лежандра У~», ! = т, т+ 1, ..., полна в Ж» ( — 1, 1), .1(ействительно, йозьмеу! произвольную функцию 7 из класса сд ( — 1, 1), плотного в Ж,( — 1, 1) (см. 5 1.7). Тогда т ф(р)=1(р)(! — р*) ' ее !( — 1, 1). По теореме Вейерштрасса (см. 5 1,3) функцию»р можно сколь угодно точно приблизить в С(1 — 1, 1]) полиномами и, следовательно, линейными комбинациями производных У) ', 1=т, т+1, ...
Отсюда следует, что функцию 7 можно сколь угодно точно приблизить в Ж ( — 1, '1) линей- нымг» комбинациями функций системы У!", 1= т, т+1, ..., что, в силу теоремы 8 1.9, и доказывает полноту этой системы. 6. Сферические функции. В силу (7), (11) и (24) полу- чена следующая совокупность решений уравнения (6): У! (8, »р)= ! У!" (соз8)созт!р, т=О, 1, ..., 1; У! '(соз8) з!п)т/»р, т= — 1, — 2,..., — 1, (28) 1=О, 1,..., или в комплексной форме: 'г'(~ (8, !8) =У»т (соз 8) е! 'Р, (28) 884 УРАВНЕНИЯ 9ЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА (гл, у Зти функции, очевидно, принадлежат классу С (Я!).
Поэтому )'! (9, !Р) — сферические функции (см. $ 25.2). Распределение знаков сферической функции )'2'(9,!С)= =15 9(и' 9 соз 9 соз 2!р на единичной сфере изображено на рис. 82. Сферические функции )'!, т = О,:2 1,..., Х1, порядка 1 линейно независимы, и их линейные комбинации ! )г! (2) = ~' а! ')'!" (2) (29) т — ! с произвольными коэффициентами а', ! также являются сферическими функциями порядка 1.
+ + Сферические функции [1'! ] образуют орлюгональную и полную систему е .'с2(о!), причем +~/ [) )'!" ( = 2л —,','>- — ',,'-,' (30) + Лействительно, тригономет- рическая система (е! ч, т=О, Рис. 82. 1, ...) ортогональна и полна в Х2 (О, 2п) и при каждом т=О, 1, ... система присоединенных функций Лежандра [у2л((1), 1=о!, т+1, ...] ортогональна и полна вМ2 ( — 1,!) (см 8 25.5). Поэтому, по лемме э' 1.9, сисгема функций [У!" (р)е!"'Р, 1=О, 1, ..., т=О, 1, ..., 1] ортогональна и полна в Ж21( — 1, 1)х(0, 2И)1, и, следовательно, система сферических функций [)'! (9, ср)] ортогональиа и полна в Х2(31). Формула (30) вытекает из (27): л 2л [)'! [' = $ $ [Ъ'! (9, юр)]' з (п 8 !18 Йр = оо 1 2л [02!!л! ! ~1~ ( ~~~~~Ч~ С( 2 ~+дел (1+1!л0 ()1 Г1 ' ), ,) 12!п2ллр/ 21-~- ! (1 —,'!ой! ' 1 о Полнота ортогональной системы сферических функций ]Г2м] означает, что всякая функция 1 из Х2(81) раз- сееричвскцв Фрикции лагается в ряд Фурье по этим функциям: )'(6) = ~ч~ лл а~г"'У! (6) = ~', У,(6), (31) 2=о - — ! 2=6 сходяшийся в Хв (5,).
В соответствии с (30) коэффициенты а) ! ряда (31) вычисляются по формуле л 2л 2ы! 2!+! (! —,л29! Г Г Ю а! = — ), ', ! ! ((О, вр)У! (6, ор)з!пас(6д2р. о о (32) ! д I . дУ! ! двУ вЂ” — — ! з!и 6 — ! — —. —, У ы: С (32), ыпо до оо ~ ыпв6 дфв ' соответствуюшими собственному значению )! =1(1+ 1) кратности 21+1.
7. Формула Лапласа. Пусть У,(6) — сферическая функция порядка (..Применяя формулу Грина (б) 6 24.1 для шара Ув к гармоническому папиному с!У!(з), получим при г 1 ! Г гд(!в'!2У2 (в')1 1 ол ~ !( дл; !х — У! ! -1'~ У,(') — ' — ' дл. !к — во)1 (33) !3 В. с. Вввлииирив Пусть !',)2(6) — произвольная сферическая функция порядка С Тогда (Я2, Уг) =О, 1Ф(' (см. 9 25,1), и в разложении (3!) для функции ()! остается только одно слагаемое У2, так что ()2 —— уо Итак, доказано: Сферические функции !У7'~ исчерпывают все линейно независимые сферические функции: формула (29) дает об2цее выражение для сферической функции порядка 1.
Замечав ие. Сферические функции У2, т=О, +1, ... ..., '+1, являются собственными функциями оператора Бельтрами 386 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. Ч Но в силу (19) ) к — з' ~ (з 1г! — 2г(з з')+гз Х д 1 ~ д 1 дяя )к-з'~ !з, дрР рз — 2гр(з, з)+гз ~р '-* д — ~~~ У'» ((зю з )) »ы ) = — „~' ((з + 1) д'» ((зэ 3')) г г » о » а (35) причем ряды (34) и (35) сходятся равномерно по (з, а') при каждом г(1 (см.
3 25.4). Подставляя выражения (34) и (35) в формулу (33) н производя почленное интегрирование, получаем СО 4и 3 г( ) з,'~»~ »(( ' )) + »-о ~.г (') уз~-Ч».З, Ъ ]гг» з »Э 4л Х,) ( + + ) г(з)»((з~ з))дз ' г~1. »-з з, Отсюда ввиду произвольности г вытекает следуюшая важная интегральная формула для сферических функций: '= '+ У, (з ) У» ((з, ')) дз = „'+, У,(з) 5ри (35) Применяя формулы разложения (31) — (32) к функции г(а')=Юг((з, з')) и учитывая формулу (35), получим формулу сложения для полиномов Лежандра: ! ун((», з')) =,~~~~ ~+д, у4 ~9у ~Т(з) )'г (з'). (37) Заменим в равенстве (31) з на з'. Умножая это равенство на дз»((з, з')), интегрируя его почленно по з' ы 5, % зз) СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ и пользуясь формулой (36), получаем формулу У«(5) = „~ ) (5 ) 8««((5, 5')) йв'.
(38) 5, Формула (38) сразу дает все коэффициенты в сферической функции У„, участвую!((ей в разложении (3!) произволь- ной функции ~~ Ха(Я«). Она иазь!вается формулой Дал- ласа. 8. Шаровые функции. Построим решения уравнения Лапласа Ли=О в йз методом разделения переменных в сферических координатах (г, 8, ф). В этих координатах уравнение Лапласа имеет вид (см. 9 3.2) 1 д!адй! 1 д!. дйт 1 дзй Ли= — — ~га — )+ .
— ~5(п9 — )+ —.— =0 (39) гз дг( дг) гззЫ0 дв ( дв) газ)пзв дфз где й (г, 8, ~р) = и (г 5 ! и 8 соз !р, г 5 )п 9 5 1п ~р, г соз 9). В соответствии с общей схемой метода Фурье ищем решение й уравнения (39) в виде произведения й (г, 8, тр) =агу (г) У (8, <р). (40) Подставляя это выражение в уравнение (39), для функ- ций аЯ и У получаем уравнения (гзаФ')' — ро)Р = О, (41) 1 д! . дУ! 1 д«У — — (ебп8 — ) + —,г — — + рУ = О, (42) япвда(, дв) яп 0 дфз где р — неизвестный параметр.
При этом У ~С" (оз). При )«=1(!+1), 1=О, 1, ..., уравнение (42) имеет решения класса С (5«), и этими решениями являются сферические функции Ут", а!=О, +1,..., + ! (см, 926.6). Уравнение (41) при )«=1(1+1) имеет два линейно неза- висимых решения: г' и г-'-'. Таким образом, в силу (40), уравнение Лапласа имеет следующий набор линейно независимых решений: г'Уз(9, ср), г'-«Ус(9, аз), 1=0, 1, ..., (43) где г'У,— гармонический полинам степени ! и г-'-«У!— гармоническая функция в )с",(О',. Функции (43) назы- ваются шаровыми йзункнилл!и.
9. Упражнения. а) з«оказать: 89 1 — И) =( — !)'Уйи). Ь) Пользуясь формулой (!9), доказать оценку !»уз!(И)1~1, 1«е( — 1, 1!. 13» УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. У с) Пользуясь рекуррентнымн соотношеннямн (20) н (21), доказать, что корин Уг(р), 1)1, вещественные, простые, лежат в ( — 1, !) й д) корин полнномов Уг(р) н У!»» (р) перемежаются. в) Доказать тождество л У (и)= (и+!)' 5 )»( . 1) Пользуясь формулой (36), доказать следующую гпеоремр ! фрака — Хекке.
Если»еь (р)»и Хе( — 1, 1) н )»е (р) У» (р) г(рчв О, 1 »а тп А» н )» (5), т=о, -»-1, ..., »й — харак2л ~ ЖО»)У»О»)»(р — ! тернстнческое пасло в соответствующне собственные функции ннтегрального уравнения ф (5) = Х ) йь ((5, 5 )) ф (5) »15' 5» д) Пользуясь е), а также формулой с) $23.9) доказагь, что к! 11щ Уг(соз — Г! 25(к). 1»о й 26. йтатод Фурье для задачи на собственные значения Для определения собственных значений и собственных функций многомерных эллиптических операторов, допускающих разделение переменных, применяется метод Фурье. !. Общая схема метода Фурье. Разобьем независимые переменные на две группы: х=(х„х„..., х„) и у (у„у, ..., у ), и пусть 6 с=)тл — область изменения х и 0 с= гт»ж †облас изменения у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
