Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Из формул (43) и (43') следует соотношение 4пР(х) ( дл ) (х) ( дп ) (х), хен3. (46) Замечание. Можно доказать, что если плотность И непрерывна по Гельдеру на 5 (см. 4 !.3), то потенциал Ьче' принадзе!кит классам Сз(6) и Сз(бз) (см., например, С. Л. Соболев (!)„л. ХУ). а. Упрюкненпя. а) Показать, что потенциал простого слоя для сферы ЗЛ с плотностью И ! раасн 4пЛз ре~ (х) ,4п)(, !х!(а 4п)зз Ь" (х) = 2нЯз — — ! х !з, 3 !х)~| ! х ! ( Я.
с) Показать, что для шара УЛ объемный потенциал с плотностью /(! х !) равен л У(х)= — )(р)рздр, !х(~Я. !х! й! Я б) Пользуясь с), показать: если ! ! (р) ребр=о, то Ь апз Г и (х) — — ~ ) (р) р' др 3 е) Доказать, что если поверхность Ляпунова 5 огранвчнвает выпуклую область, то постоянную К в неравенстве (26) можно зиять равной 4м. Ь) Пользуясь а), показать, что объемный потенциал для шара ()л с плотностью и= ! равен 4гз УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [Гл.
т и 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве !. Постановка основных краевых задач. Будем. изучать следующие четыре краевые задачи ! и (! родов для трехмерного уравнения Лапласа (см. 2 4.4). Считаем область 6 такой, что 6,=)г'' 6 есть область. Внрл1ренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области 6 функцию иеи С(6), принимакицую на 5 заданные (непрерывные) значения ий. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области 6, функцию и, принимающую на 5 заданные (непрерывные) значения иэ и обращающуюся в О на бесконечности.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области 6 функцию и, имеющую на 5 заданную (непрерывную) правильную нормальную производную иБ Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области 6, функцию и еи С(б,), имеющую на 5 заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и! (нормаль внутренняя) и обращающуюся в О на бесконечности. Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения Пуассона Аи= — ~, (!) причем требуется, чтобы и еи С'(6) П С (6) для внутренних задач и иеиС'(6,)ДС(61), и(оо) О для внешних задач.
Подстановка а=о+!' р(х)= 4 (" др (2) сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуас. сана к соответствующим внутренним краевым задачам для уравненкя Лапласа, если ген С'(6) ПС(6). Действительно, в этом случае объемный потенциал У еи СЯ(6) П С'(6) и удовлетворяет уравнению Пуассона (!) (см. 2 27.!). А тогда, в силу (2), функция, о должна удовлетворять уравнению Лапласа и соответствующему граничному условию. Для внешних краевых задач поступаем аналогично (если объемный потенциал с плотностью )' существует и обращается в О на бесконечности). УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА Отметим„ что преобразование Кельвина (см.
$ 24.10) позволяет сводить внешние краегые задачи для уравнения Лапласа к внутренним, и наоборот. Наконец, обратим внимание, что для задач Неймана (внутренних и внешних) необходимо предположить, что 5 он С', далее, существование у решения и(х) правильной нормальной производной на 5 влечет ее непрерывность на б илн б, соответственно (см. 9 24.2) 2. Теоремы единственности решения краевых задач.
Докажем теоремы единственности решения краевых задач, поставленных в 9 28,1. Те о рема 1. Решение уравнения 77уассона единственно в классе обобщенных функций, обращающихся в 0 на бесконечности, До каза тел ьс тв о. Достаточно установить, что уравнение Лапласа имеет только нулевое решение в классе обобщенных функций, обращающихся в 0 при (х~- оо, Но зто вьпекает из аналога теоремы Лнувилля (см.
~ 24.9). Теорема 2. Решение цнутренней или внешней задачи Дирихле единственно и непрорывно зависит от граничного значения ио или ио соответственно в следующем смысле: если ! ио- — йо- ! =„г на 5, то соответствующие решения и и й удовлетворяют оценке | и (х) — й (х) ~ ( г, х я б (х ен б,). (3) Дока за тел ь ство.
Применяя неравенства (17) и (18) з 24.8 к гармонической функции и — й, (и(х)-й(х)!(гпах ~ио (х) — йо (х)1, хевб (х~бо), каз получим все утверждения теоремы. Будем говорить, что поверхность Ляпунова 5 — достаточно гладкая поверхнссгло, если для нее справедлива формула Грина (7) з 21.2 для функций и клгсса С'(6) П ПС(6), имеющих правильную нормальную ппоизводную ца 5 и би еи Жо (6), и для функций о класса С (6) П С(б). В силу сказанного в Я 24.2 и 27.4 ограниченные замкнутые поверхности класса Со — достаточно гладкие поверхности.
4!4 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !ГЛ. Т Т е о р е м а 3. Если 5 — достаточно гладкая поверхность, то решение внутренней задачи Нейл!ана определено с точностью до произвольной аддитивной поспюянной. Необходимым условием разрешимости втой задачи является равенство ~ и (х) д5+ ~ ~ (х) Ых = О. (4) Доказательство. Если и и й — два решения внутренней задачи Неймана, то их разность т! е= С (6)— гармоническая функция в 6 и имеет нулевую правильную нормальную производную на 5.
Применяя формулу Грина (7) э 21.2 при и=о=хи получим ~агадц!'д = ~Ч вЂ”,„д5=-0, я ач 5 откуда следует, что угад т! = О, х ее О, так что т! = и— — й = сопэ1. Необходимость условия (4) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из формулы (8) $ 21.2 при о 1, согласно которой !т)(х)~( — „, ~йгадч(х)( - — ",, !х1 со. (8) если и — решение этой задачи. Теорема доказана, Физический смысл условия (4) состоит в том, что стационарный поток тепла (несжимаемой жидкости, напряженности электрического и магнитного полей, см.
э" 2) через замкнутую поверхность 5 равен суммарной величине всех источников (зарядов), находящихся внутри 5 (закон сохранения). Т е о р е м а 4, Если 5 — достаточно гладкая поверхность, то решение внешней задачи Неймана единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и и й — два решения внешней задачи Неймана. Тогда их разность т! Ее С(б,) — гармоническая функция в О„имеет нулевую правильную нормальную производную на 5 и т!(ОО) = О. По теореме $ 24.10 функция т) удовлетворяет неравенствам УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА Применяя формулу Грина (?) 3 21.2 при и=о !) к области !Гя (рис.
77), получим (йгаб!)!*!(х= т) -„— г(5+ а! т! — 05= а! 41 — !(5. (6) ач Г ач Г дч аи 3 а 3 аи зя зя Но из оценок (5) вытекает, что при )т- со ! и д г(5 ~«= ~ ! т1) ~бган Н(д5( — ' ~ 05 =4п — '. я ая я Поэтому, устремляя в равенстве (6) )т к оо, получаем ( дгаб т! !и пх = О, а, откуда следует дгабт)=0, т. е. т!(х)=сопз1, хе=бь Так как г! (Сс) = О, то !) = и — й ~ О, х ~ 6,. Теорема до- казана.
3. Сведение краевых задач к интегральным уравне- ниям. Выпишем формулу Грина (5) 3 24.1 прн П=З: и (х)— — — — и(у)— Г Г ! ди(у) д ! 4и ~ 'Г !х — у! дни дп„!к — У! ~4(5, хан 6. (7) Формула (7) справедлива для функций и еп С(6), гармонических в 6 и имеющих правильную нормальную производную на 5, если 5 — достаточно гладкая поверхность (см. 3 28.2). Из теорем единственности для задач Дирихле н Неймана (см. 3 28.2) следует, что; вообще говоря, не существует гармонической функции и с произвольно заданди ными значениями и и — на 5.
Поэтому формулу Грина (7) нельзя непосредственно использовать для решения поставленных краевых задач, подобно тому как мы это делали для решения задачи Коши (см. Я 13.3 и 16.4). В этом состоит существенное различие между краевой задачей для эллиптических уравнений и задачей Коши. Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем задачи Дирихле и Йеймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям Фредгольма с полярным ядром. 416 твхвнения эллиптического типА !гл. ч Далее, иепользуя теорию интегральных уравнений, до- кажем разрешимость этих краевых задач.
'Пусть 5 — достаточно гладкая поверхность. Ищем ре- шение задач Дирихле (внутренней и внешней) в виде потенциала двойного слоя У~м (х) — т (у) ",— И5, где ч — неизвестная непрерывная плотность на 5, Функ- ция УП1 — гармоническая в 0 и бм принадлежит клас- сам С(б), С(б,! и С(5) и Уи>(со) =0 (см. Я 27.2, 27,8 и 27.б). Поэтому, чтобы потенциал У но давал решение внутренней или внешней задачи Яирихле, необходимо и достаточно, чтобы соответственно были выполнены ра- венства Уц' (х) = и+ (х), х ен 5, (8) где Уф — предельные значения Уги изнутри и извне 5.
По теореме о разрыве потенциала двойного слоя (см. $ 27.8) равенства (8) принимают вид ~ 2лт (х) + т (у) — -~"х; т(5„= и+ (х), х я 5. (9) Равенства (9) представляют собой интегральные уравне- ния Фредгольма относительно неизвестной плотности т, Вводя вещественный параметр й и ядро (1О) перепишем интегральные уравнения (9) в единой форме: т(х)=Х~ ур(х, у)т(у)Н5.
+)(х), х~5. (11) При этом для внутренней задачи Дирихле А=! и — а для внешней задачи Дирихле А= — ! и 2л ' и+ 1- — '. 2л ' Аналогично решение задач Неймана (внутренней н внешней) ищем в виде потенциала простого слод У ( 0 ) ( х ) 1 и Ы а 5 )к-у) а 4!7 нгхвнпния лапласа и пххссонх где р — неизвестная непрерывная плотность на 5. Функция ум' — гармоническая в 6 и бь непрерывная в )тз, гак имеет правильные нормальныс првизводные ~ 1 на 5 дп изнутри и извне 5 и Р®'(х) =0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
