Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 61
Текст из файла (страница 61)
$ 24.7). Лемма доказана. Докажем, что формула Пуассона (19) дает решение внутренней задачи Дирихле для шара Уя Ьи =О, и(зя ио (20) для любой непрерьмной на Яя функции и,. Действительно, решение и(х) этой задачи существует для любой непрерывной функции и, и единственно (см, 5 28). Во всяком меньшем шаре Ур, р ( И, функция и (х) является решением задачи Дирихле с граничным значением и)з и принадлежит классу С ((7р). Поэтому, по теореме ч 29.3, это решение представляется интегралом Пуассона (19), т.
е. и(х) =4„~ ~„~,, и(у)Ю„(х~(р. цн о Переходя в этой формуле к пределу при р-~-)7 и пользуясь непрерывностью и (х) на бя и граничным условием (20), получаем представление (19), что и требовалось. 5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению. Рассмотрим в области 6 краевую задачу для уравнения Пуассона Аи = — 7'(х), и(в=О, и ~О(6) ПС(б), (21) где 7'вне,(6) ПС(6). Предварительно докажем следующую лемму, Л е м м а. Если 7 ы С (б), то функция *г'(х) ~у(х, у)1(у)ду УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !ГЛ.
У Теорема, Если 7'еи С'(6) ()С(б), то (единственное) решение задачи (21) выражается формулой и(х) =~ Э(х, у))(у)с(у (23) и имеет правильную нормальную производную на Я. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что формула (23) дает решение задачи (21). Пользуясь (1), перепишем (23) в виде суммы двух слагаемых: и (х) = у' (х) + )7 (х), (24) где )7 — объемный потенциал с плотностью — и функлп ция у' определена равенством (22). По предположению т" ен С'(6) ПС(б). Поэтому объемный потенциал 1' ~ С'(6) П С'(б) и удовлетворяет уравнению Пуассона (21) (см.
4 27.1). Пз лемме функция у'(х) — гармоническая в области 6. Итак, в силу (24) функция и ее С'(6) и в области 6 удовлетворяет уравнению Пуассона (21). Докажем, что и~С(б) и обращается в нуль на 5. Для этого достаточно показать, что лаз ~и(х')~ -' О, х'- х, х' ен 6. (25) Пусть е О. В силу оценок (4) найдется такая подобласть 6'сб (рис. 99), что (см. у 1.6) ! э(х', у)~(у)с(у~~„— ) ~, е 1, е(у( —, (26) о,о о,о х' ев б. Но функция д(х', у) равномерно непрерывна по (х' у) на 6х6' (см. Э 29.1), и поэтому, в силу (1), функция Грина .~~(х', у) равномерно непрерывна по (х', у) на (6'~6")хб', где 6" — любая подобласть такая, что 6'4= 4= 6" с= 6 (рис.
99). Поэтому, учитывая, что функция %(х' у) обращается и нуль при х'~5, у~6', заключаем, что найдется такая достаточно близкая к 6 подобласть 6 с=:. 6, что 433 оэикции геиих зхдкчи диэихлв откуда и из неравенства (26) вытекает неравенство !и(х') )=~ ~ Р(х', у)1(у)«(у) ~) ~ Р(х', у)?(у) ду~+ о ~о «.~ 1 ~«'. ««йя«~~~-' «--';= .
~о,о справедливое при всех х' ~ 6'~6". Это и доказывает предельное соотношение (25). Докажем, что функция и(х) имеет правильную нормальную производную на 5. Так как У он С' Я') (см. 32?.1), то, в силу (24), для этого достаточно установить, что функция Р(х) имеет правильную нормальную производную на 5. По доказанному Р еи С (б) — гармоническая в 6 и удовлетворяет граничному условию У~э = = — у' (з. Построим потенциал простого слоя у«ч«с иепре- «« '«ч" рывиой плотностью, решаюший внешнюю задачу НеймадУ! У на с и,' = — ~ (см. 3 28.4). ди ~з « Объемный потенциал — У (х) также является решением этой I I задачи (см. 5 27.1). Поэтому, в силу единственности решения внешней задачи Неймана (см.
5 28.2), заключаем, что К'м(х) = — У(х), хен 6,. В частности, (««« ~«з= — у «з Отсюда, по теореме о единственности решения внутренней задачи Дирихле (см. $ 28.2), получаем, что У (х) = У«м(х), х еи 6. Поскольку потенциал простого слоя у«м имеет правильную нормальную производную (изнутри) на 5 (см. 5 27.7), то, следовательно, и функция Р обладает таким же свойством. Теорема доказана. Теперь установим, что краевая задача — Ли=Хи+7(х), и~э=О, и ~ С'(6)()С(б) (27) 434 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
У эквивалентна ингаегральиому уравнению и (х) = ),%(х, у) Ри (у)+) (у))Г(у, и ен С(б), (28) если ) ~ С' (6) П С (6). Действительно, пусть функция и ~ С(6) есть решение интегрального уравнения (28), т. е., в силу (1), и(х)= — „~ ~~,~ 0у+ ~ у(х, у) 1йи(у)+1'(у))с(у. (28') а б Первое слагаемое справа В (28') есть объемный потенциал и потому принадлежит классу С'()с') (см. ) 27.1), а второе слагаемое есть гармоническая функция в области 6 (см. лемму). Поэтому и ее С'(6) и, следовательно, )и-(- +1 ее С'(6) ()С(б). По теореме 329.5 функция и(х) есть решение краевой задачи (27).
Обратно, если функция и,(х) есть решение краевой задачи (27), то она является (единственным) решением краевой задачи (21) с заменой ) на Аи, + 1'. Так как ).и,+~ее С'(6) ПС(б), то, по теореме, это решение выражается интегралом (23) с заменой / на Хи,+1, т.
е. функция и, удовлетворяет интегральному уравнению (28). Этим доказана эквивалентность задач (27) и (28). б. Свойства собственных значениИ н собственных функций. Рассмотрим однородную краевую задачу на собственные значения (внутреннюю задачу Дирихле) би+Аи О, и(У=О, и~С'(6)()С(б). (29) В Э 29.5 было показано, что задача (29) эквивалентна задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения и(х)=А'),У(х, у) и (у)Г(у, иенС(б), (30) с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) ядром Р(х, у) (см. $ 29.1).
Докажем, что ядро Р (х, у) слабо полярное (см. З 17.4). Для этого функцию д(х, у), заданную и непрерывную на (6х 6) 1) (бх б) (см. 3 29.1), продолжим на бх 6, полагая, в соответствии с (3), ! а(х, у)= — — —, хен3, уя3. 4п~х — у( ' 4 сэ! ьэнкция гвин» з»д»чи диеихлв 435 При таком продолжении функция у(х, у) непрерывна на бхб, кроме тех точек, где х= у, у ~ 8. А тогда, в силу (1), функция Грина 3 (х, у) непрерывна прн хе- :6, у я 6, х-ьу и, стало быть, в силу (4), ядро.У(х, у) слабо полярное (а=1, п=3). Поэтому для уравнения (ЗО) справедливы все положения теории интегральных уравнений с симметричным слабо полярным ядром, доказанные в Я 19 и 20: Но собственные значения и собственные функции краевой задачи (29) совпадают с характеристическими числами и соответствующими собственными функциями ядра о(х, у).
Это дает возможность для краевой задачи (29) полностью доказать теорему 1 9 2!.4, а также установить и некоторые другие свойства этой задачи. Те ор е м а. Множество собственных значений (Л») краевой задачи (29) не имеет конечных предельных точек, причем Л, >О; кажс о собственное значение Л, имеет конечную кратность.
Наименьшее собственное значение )., — простое, а соответствующая ему собственная функция Х,(х) )О, лен 6. Собственные функции (Х») можно выбрать вещественными и ортонормальными; Х» в=С'(6) ПС(6); они имеют правильную нормальную производную на 5. Всякая функция 1 из еть*) разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям (Х»). Док аз а тел ьство. Отсутствие конечных предельных точек у множества (Л») и конечная кратность как(доге собственного значения Л» следуют из теорем Фредгольма (см, З 18,5), Из вешественности и эрмитовости ядра Р (х, у) вытекает, что собственные функции (Х„) можно выбрать вещественными и ортонормальными (см.
Я 19.4 и 20.1). Собственная функция Х» ен С' (6) П С (6) и является решением при Л =Л» краевой задачи (29) н интегрального уравнения (ЗО). Поэтому, по теореме у 29.5, Х»(х) имеет правильную нормальную произЬодную на Я. Отсюда и иэ формулы Грина (1) Э 21.2 при и =о= Х» вытекает, что Л».= Л» (Хю Х») = — (ЛХ», Х») = ~ ( йгаб Х* !е йх ) О. о Простота Л, и положительность Х,(х) в 6 вытекают из теоремы Ентча (см. з 20.?), так как, в силу (4), ядро Э (х„у) положительное. ') То есть ) т С»(6) ОО (О), Ь) а Х»(б) и ) ~»-О (см. 4»!.!). УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [гл и Пусть 7" ы йа.
Тогда функция )(х) является (единственным) решением краевой задачи Л~= — )г, )( =О, где й= — О("енС(0)ПЖт(сг). Г(о теореме 2 29.3 функция ) (х) истокообразно представима через ядро р(х, у), и, следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта (см. $ 20.6) она разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям (Х»). Теорема доказана. Таким образом, лля краевой задачи (29) верны теорема 1 2 21.4 и следствия из нее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
