Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 56
Текст из файла (страница 56)
При х Я 6 потенциал У (х) допускает непрерывное дифференцирование под знаком интеграла в (3) бесконечное число раз, так что У ен С" (6!). Отсюда и из уравнения (2) вытекает, что АУ=О, х~6,, т. е. потенциал У вЂ” гармоническая функция в области 6, (по лемме 3 1!.1). Если 'р я С' (6) П С (6), то У ен С' (6). Для доказательства возьмем подобласть 6'с=6 с кусочно-гладкой границей 5' и внешней нормалью и' (рис.
86). При атом потенциал У разобьется на сумму двух объемнык потенциалов У, и У„У =У,+У„где ,()= ~ "") й~. 1 !х — у! ' х,! !х-у! о;о обобшенной функции р (плотности) с функцией ~х!-'. У = — ьр = — 4пЖххр, ! !х! (1) Потенциал У удовлетворяет уравнению Пуассона АУ = — 4лр. (2) Основы классической теории потенциала заложены А. М.
Ляпуновым !!] в конце прошлого века. 1. Объемный потенциал. Если р — (абсолютно) интегрируемая функция на 6 и р(х)=0, хен6!=)Р~б, то ньютонов потенциал У, называемый объемным потенциалом, выражается интегралом (3) н представляет собой локально интегрируемую функцию в Я" (см. ~ 7.!О, с)). Если р в= С(6) и 6 — ограниченная область, то объемный потенциал У принадлежит классу С'(йь), гармоничен в6, и УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. У (О) *) Та сторона поверхности 5, к которой примыкает нормаль и, считается положительной, а прс)тивоположная сторона-отрицательной (рис.
86 и 87), По доказанному У, еи С' (тта), У, ~ С (6'), ((иффе ренн ируя потенциал У, как свертку, получим (см. 8 7.5, с)) 3гас) Ут(х)=дгас(1 —., *р,) = —,и дгас) р„р, = рай. (4) 1 \ 1 ('х1 тх 'х( Так как р, еи С'(6'), то по формуле (22) 8 6.5 нгас( р1 — — (дгас( р1 ) — рп'Ь5 .
Подставляя полученное выражение в (4) н пользуясь формулой (3) для объемного потенциала и формулой (40) $ 7.!О для потенциала простого слоя, получим ! 1 йгас( У,(х) = — а (вегас)р,) — —,ирл'65 = (х( ,'х! й ' Р(~ г(у — (,Р(")" Ю . (5) д 1 1 х — р (.,1 ~ х — р 1 о Первое слагаемое в правой части (5), как объемный потенциал с йлотиостью игам р ее С(6'), принадлежит классу С' ()7"), а второе — классу + ь чс С (6'). Следовательно, вегас( У, ее С' (6'), т. е. У, ее С' (6').
Но тогда и и, р=р~ с, У = Ух+УвенСв(6') и, ввиду произвольности 6' с= =6, У ее С'(6), что и требовалось доказать. Рис. 86 2. Потенциалы просто- го и двойного слоя. Пусть 5 — ограниченная кусочно-гладкая двухсторонняя в) поверхность, и — выбранное направление но(мали к ней ир и и — непрерывные функции на 5. Ньютоновы потенциалы Уоп = — а рб5 и Уни = — — а — (у55), ',х! (х( дп называемые пол1енциалами простого и двойного слоя соответственно, выражаются интегралами У1в1( ) 1( Р(р) ~х — у) Ус'1(х) = $ .
(У) †, (7) 5 ньютонов потвицилл Фиксируем точку х, на Я; и пусть пс — нормаль в ней к Я. Дифференцируя формулу (6) при хЯ5 по направлению и, и пользуясь равенством д 1 у1-.х~ сои фхи где ф „— угол между вектором у — х н нормалью л, Рис, 87. (рнс. 87), получаем выражение для нормальной производной потенциала простого слоя: хй5. Аналогично, в силу равенства з д ! ъ~ х! - у, сои фху дии !х — у~ .Д> = д, соз(лх;)— ~ к — у!' 1х — у!' ' с ! (11) где ф„— угол между вектором х — у и нормалью а (рис.
87), формула (7) для потенциала двойного слоя и представляют собой локально интегрируемые функции в Ю (см. 8 7.10, б)). Эти потенциалы удовлетворяют уравнению Пуассона: Мl!'! = — 4прбз, Лрп! =4п — (тбз). (8) ди УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [гл. ч У'" принимает вид Упо(х)= ~ ч(у) '~™ д.яу (12) Потенциалы Уио и Г" — гармонические функции вне поверхности О, У!в' ее С()св) и Уип(х) =0( ), 1"н(х) =0( —,), (х(-» ОО. Эти свойства потенциалов У~в' н Уги выаодятся из представлений (6) и (12) и нз уравнений (8), подобно тому, как зто делалось для объемного потенциала (см.
8 2?.!). Теперь покажем, что потенциал двойного слоя Усн(х) с плотностью У=1 равен я — 'У,„85У вЂ”вЂ” сове,„~ — 4п„х ен 6 ~х — ч'". " ( О, я~6,=)г",6 (13) если 8-граница области 6. Пусть х ее 6. Тогда найдется шар (? (х, гв) ~ 6. Граница области 6',0(х„гв) состоит нз поверхностей Я и Рис. 88. Я(х; Г,) (рнс. 88). Поскольку функция (х — у(-' — гармоническая прн х~у, то, применяя к области 6'~П(х, Г,) формулу (11) з 24.3, получим 5 5 ич»э) Принимая во внимание (11) и учитывая, что сов~8„у=1 нр сфере )х — у ~ ='Гв, из (14) выводим первое нз НЬЮТОНОВ ПОТЕННИАЛ равенств (13): Пусть теперь хеи 6,. Так как функция !х — у!-х— гармоническая в сг, то, применяя формулу (11) 3 24.3, имеем д ! Ооа О (13) что, в силу (11), и доказывает вторую из формул (13).
Замечание. Формулы (Й) можно обобщить на случай про. извольной поверхности 5 (Гаусс): если х щ 5, то потенциал )г"' (к) с плотностью т ен ! равен телесному углу, пох которым поверхность 5 анана из точки к (с учетом знаков сторон поверхности). 3. Физический смысл ньютоновых потенциалов. Потен- ! циал )г = — вр с произвольной (финитной) плотностью р !х! удовлетворяет уравнению Пуассона Л)г = — 4пр. Поэтому )г есть ньютонов или кулонов потенциал, создаваемый мас- а сами или зарядами, распределенными в пространстве с 1а плотностью р.
В частности, непрерывное распределение 1 масс или зарядов создает обьемный потенциал; если же Рис. 89. массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают (ньютонов или кулонов) потенциал простого слоя; если на поверхности сосредоточены диполи, то создаваемый ими кулонов потенциал есть потенциал двойного слх)я. Для примера вычислим (кулонов) потенциал )ггх'(х! 1), создаваемый диполем с моментом +1 в точке О, ориентированным в направлении 1, !1~=1, 'Этот потенциал создается распределением (см.
5 6.4, а)) ! ! ! 1 д Игп ~ б(х — 1е) — — б(х)~ = — — б(х) (а в )! д! воз РРАвнеиия эллиптическоГо типА 1Гл. ч (рис. 69), и поэтому 1 д д/! '1 д 1 Мои (х; 7) = — — е — 6 = — — ~ — е 6~ = 1х! дГ дМ ~~х) ) дГ (х( т. е. (гм1(х; 1)= — —— а~ ~.*~ — ~,„~з (16) где <р — угол между векторами х и Г. На ~ис. 90 изображены поверхности уровня потенциала Р '(х', г) (эквипо- сов в теициальные поверхности †„ = -1-о). (х и Из формул (12) и (16) следует, что потенциал двой- ного слоя представляет собой «сумму» элементарных потенциалов' совф „ ч(у) У"'(х — у; и) = ч(у), ~ х — в;4 ' создаваемых диполями иа поверхности 5 с плотностью момента ч(у) иориенти! ! роваиных по нормали и.
4. Поверхности Ляпунова. дальнейшие свойства потенциалов простого и двойного слоя -д д устанавливаются в предположении, что 5 — поверхность Ляпунова. Замкнутая ограниченная поверхность 5 называется поверхностью Ляпунова, если в каждой точке х~ 5 существует нормаль и„непрерывная по Гельдеру на 5, т. е. существуют числа С)0 и а)0, а~1 такие, что ~и„— и„! С)х — у!", х, уев 5. (17) Из этого определения вытекает, что поверхности Ляпунова содержатся в классе поверхностей С', с другой стороны, всякая ограниченная замкнутая поверхность класса С' есть поверхность Ляпунова (при а = 1), Для поверхности Ляпунова 5 существует такое число гь- О, 4Сг"„ ( 1, что для любой точки х ен 5 окрестность и =5Д0(х; гь) пересекается прямой, параллельной нор- 401 ньютонов потенпихл мали л„, в единственной точке, либо вообще не пересекается.
Действит льно, в прогивном случае, из услон ~я глад. кости поверхности 5 следозало бы, что на куске и„находились бы две точки у, и у„для которых угаа между нормалями л„, и л„, был бы тупым, (н„„п„,)<0, что противоречило бы неравенству (17); 3'2 <~им — л„,(<С,'у,-у,!" <С2"г~ < —. На куске и„выберем локальную систему прямолинейных координат (у„ у;, у,) с началом в точке х и ось у, Рис. 91 направим вдоль нормали,. и, = н„, а оси у, и у, направим вдоль единичных орт У и 1 соответственно (рнс. 9!).
В силу сказанного, в этих координатах поверхность и„ можно задать уравнением уз =)(ум уД, ~ ~ С'(о), ~(0) =О, (18) где о — проекция и„ на плоскость (у„ у,), причем в силу (17) ! а — и, ~ < С ~ у !'*, у ен и„х еи 5 (и = и„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
