Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Но то гда, применяя к сфере 5(хо' р), где р=(х' — хо(, формулу среднего арифметического (12) и пользуясь неравенством (16) и неравенством и(х)(М, хее их, получаем и(хо) = — „„, ~ и (х)((О ( —,„„, ) ((5 = М, 1 Г А( Ооро ( о„р"-' 5(хк Р( 5 (хн р> что противоречит (14). Итак, тождество (16) установлено Возьмем теперь произвольную точку х, ~(л, лежащую на границе шара (к' (х„«о) (рис. ?6). По доказанному и(х,) = М. Применяя предыдущие рассуждения к точке х„ заключаем, что и(х) =— М в наибольшем шаре(?(х,; «,) с- ~(л, и т. д. В силу леммы Гейне — Бореля за не более чем счетное число шагов таким путем исчерпывается вся область (л, и, значит, и(х)= — М, я~ 6, вопреки предположению.
Полученное противоречие показывает, что первоначальное предположение неверно; поэтому функция и(х) не может принимать свое максимальное значение в области (л. Отсюда, заменяя и на — и, заключаем, что функция и(х) не может принимать свое минимальное значение н области б. Теорема доказана. Из доказанной теоремы вытекает, что гармоническия фуНкция не может имеп(ь вну«при обласпш ни локальных максимумов, ни локальных минимумов, глемоничяскив фтнкции % ан 5. Следствия нз принципа максимума.
а) Если функция и ыС(б) — гармоническая в б, то ( и (х) ! «гпах ) и (х) ), х ен б. (17) В частности, если и ~в=О, то и(х) =О, хек б. Это утверждение следует из неравенства (13), .+ и (х) -= гпах + и (х) «гпак ~ и (х) ~, х еи б. «мг «Ез Будем говорить, что (обобщенная) функция и(х) непрерывна на бесконечности и принимает там значение а, и (ос) =а, если она непрерывна вне некоторого шара и и(х)- а при ~х~- со.
Ь) Если функция и еи С(б1) л — гармоническая в области б,=Я"'~б и и(оо)=О, то ! и (х) / «гпах ~ и (х) /, х ен б,. «мз (18) В частности, если и ~з = О и Рис. 77. и(сс) =О, то и(х)ввО, хек б,. Действительно, пусть шар Уя содержит б. Тогда ЯЦЯя есть граница области бя С,ПУя (рис. 77). Применяя к этой области неравенство (17), получаем )и(х~) «гпах )и(х)( «гпах~и(х)(+ гпах ) и(х) ~, хее С7л. «мзцзя «мз «мзя Так как и(оо) = О, то гпах )и(х)(-эО, )7-+.со. «езя Поэтому, переходя в полученном неравенстве к пределу при )с- со, получим неравенство (18). с) Если последовательность функций и„и„..., гармонических в области 6 и непрерывных на б, равномерно сходится на границе 5, то она равномерно сходится и на б, 368 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА тл.
у Это утверждение вытекает из неравенства (17): ~ир(х) — ич(х) /(птах ( ир(х) — и (х) /-р.О, киз р, о-иОО, хен6. (! 9) Аналогичное утверждение справедливо и для области 6, =)чк ~гк при условии, что и,(со) =О. 6. Стирание особенностей гармонической функции. Для гармонических функций справедлива следующая теорема о стирании особенностей, аналогичная соответствующей теореме для аналитических функций. Теорема. Если функция и(х) — гармоническая в области 0' (0) и удовлетворяет условию и(х)=о(!о„(х)~'), х-р.О, (20) гдг 6'„— гуундимгнтальног решение оператора Лапласа, то она гармонически продолжается в точку,'01 Дока за тельство, Пусть ~/ясри б.
Введем функцию й(х), равную и(х) в О'я и 0 вне О'я. Эта функция локально интегрируема, и, в силу (3) 324.1, функционал йй+д бвя+д (ибвя) ди д (21) обращается в нуль на всех основных функциях, равных нулю в окрестности точки (01. Это значит, что оообщеиная функция (21) либо равна О, либо ее носитель есть точка (О). Тогда, по теореме Ч 8.4, эта обобщенная функция представляется в виде конечной комбинации производных от 6(х), т. е. йй = — 6г — (ибвя)+ ~~~~ саВ 6, (22) ди д ,а(=в Так как функция й финитна, то ее свертка с фундаментальным решением Ж„существует (см.
ч 7,6). Поэтому, применяя формулу (13) 3 11.3, из (22) получаем представление /ди '1 д й * о, в Лй = — Ж в ~ — 6 1 — Ж в гиб ( дп я,1 " дп ( и) Р3 г а + ~ч , 'с, (е„в 0*6) = )г,'" (х) + У„'и (х) + ~ч '„с,)лай'„(х). !а~ в ~ал 0 (23) зеа ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 5 24! Так как поверхностные потенциалы У'„"' и Уч' — гармонические функции в шаре Уя (см. 5 .24.1), то из (23) и из условия (20) вы!екает, что все с„=О, так что функция и(х) = У'„"(х)+ У'„"(х) — гармоническая в шаре (/я.
Теорема доказана. 7. Обобщенно-гармонические функции. Вещественнозначная непрерывная функция и (х) называется обобщенногирмонической в области 6, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа, т. е. (Ьи, 4р)=)и(х)Ь4р(х)йх~О, Ч4~Ю(6). (24) 7. Очевидно, всякая гармоническая функция является обобщенно-гармонической.
Справедлива и обратная. Т е о р е м а. Всякая обобщенно-гармоническая функция и(х) ы области 6 бесконечно д44фференцируел4а и, следоыательно, гармонична ы этой области. До к а з а тел ьс т в о. Ввиду локального характера теоремы можно считать, что и ее С(6). Продолжим функцию и нулем вне 6, и пусть й — продолженная функция. Применяя формулу (13) й 11.3, получим представление й = бй Ф Ж„, (25) где Ƅ— фундаментальное решение оператора Лапласа.
Так как бй=би=О, х~6 и Ьй=б0=0, х~6„то ецррбйс=5. Поэтому, по теореме й 7.6, для свертки Ьй ч е„имеет место представление (бйч Ж„4р) =(бй(у).Ж„(чь), ч)(у) 4р(у+чь)) = = (бй (у). Г) Ы ~ Ж. (Е) 4р (у+ ч) йв) = =(лй (у), т)(у) $ о„(х — у) 4р(х)4(х), 4р ы м, (26) где т) — произвольная функция из Ы, равная 1 в окрестности 5. Пусть 6'.е6.
Выберем в (26) вспомогательную функцию т) такую, что зпррт!П6'=(с! (рис, 78). Поскольку фундаментальное ре4пение Ж„(х — у) — бесконечно дифференцируемая функция при хаву, то при выбранной т) и всех 4рее 'У(6') т!(у) Ж„ (х — у) 4р (х) ев Я ()А4'"). зто УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. У Применяя теперь к правой части равенств (26) формулу (14) 8 7.3, 1); получаем (стй ч8„, ч") =~ гр(х) (Лй (у), п(у) Ж„(х — у)) т(х, <р ее й'(6'), откуда, в силу (25), следует равенство (ср.
134), 8 7.10) и(х)=(йй(у), т)(у)Ж„(х — у)), х~6'. Из этого представления, как и при доказательстве леммы р 7.1, Выводим, что и еи С (6'). Отсюда ввиду произвольности области 6' Е 6 вытекает, что и ее С (6). Поэтому функция и (х) удовлетворяет уравнению Лап- ~"~РР ласа в области 6 в клас- сическом смысле (см. Г 8 1.11), т. е. является гармонической в 6. Теорема доказана. 8. Дальнейшие свой- ства гармонических Рис. 78. функций. Отметим два следствия, вытекающих из установленной в. 24.7 эквивалентности понятий обобщенной гармоничности и гармоничности.
а) Если последовательность и„и,, ... гармонических в области 6 функций слабо (в частности, равномерно на каждом компакте К с: 6 или монотонно) сходится к функции и еи С(6), т. е. $ил(х)ср(х)йх- $и(х)ф(х)с(х, й-+.ОО, среи Ы(6), (27) то и — гармоническая функция в 6.
Действительно, каждая функция последовательности (и„'1 удовлетворяет интегральному соотношению (24), Но тогда, в силу (27), и предельная функция и(х) из С(6) также будет удовлетворять равенству (24), т, е. является обобщенно-гармонической и, следовательно, гармонической функцией в области 6. Ь) Если функция и ее С(6) такова, что для каждой точки х~6 существует такое числа ге=ел(х))0, что зл ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ при всех г ~ г~ выполнено условие среднего арифметического и (х) = „, и (х — у) с(5„, 1 (28) то и(х) — гармоническая 4>ункция в области 6, При доказательстве можно считать, что и ен С(6); пусть й — продолженная нулем вне 6 функция и.
Возьмем 6'е:=6. По лемме Гейне — Бореля (см. ~ 1.1) найдется такое число г,=г,(6') ) О, что при всех хан 6' и г(г', для функции и(х) будет выполнено равенство (28). Составим свертку 7,(х)=~ „„б,,— —,б)вй, (29) где бв — простой слой на сфере Я, (см. 5 5.7), Используя формулу (34) з 7.10, а), перепишем свертку (29) в виде 7,(х) = — „„, ] й(х — у)с(ЯУ вЂ” —,. с й (х) Отсюда, в силу (28), следует, что при всех г(г,(,(х) = О, хы6'. С другой стороны, пользуясь предельным соотношением (41) 5 б.б, Ь) и непрерывностью свертки (см.
у 7.6), из (29) получаем 7,-+ — Абай= — Лй, г- 0 в Яг' 1 следовательно, Ай=Ли=О, хан 6'. Отсюда ввиду произвольности 6,4= =6 заключаем, что функция и(х) — обобщенно-гармоническая н, значит, гармоническая в области 6. 9. Аналог теоремы Лнувилля. Для гармонических функций во всем пространстве Й" справедлива следующая теорема, аналогичная теореме Лиувилля для аналитических функций.
Т е о р е м а. Если и ~ вг'" удовлетворяет уравнению ,Лапласа во всем пространстве )т", то и — полинам. Доказательство. Применяя к равенству Ли = = 0 преобразование Фурье, получим (см. 5 9.3, Ь)) — ($~'у[и]($)=0, откуда вытекает, что у[и]=0, $ФО, т. е. либо Р[и1=0, либо носитель у[и] есть точка [О]. зле УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ, Ч По теореме 9 8.4 Е(и) представляется в виде Е(и)(р= ~ с.вьба), ьх ~ = 0 откуда следует„что и — полипом, Теорема доказана.
Следствие. Если функция и — гармоническая в )с" и удовлетворяет неравенству ~и(х)(~С(1+(х~)'", х~ )т", т)0, то и — (гармонический) полинам степени (т. !О. Поведение гармонической функции на бесконечности. Пусть точка х лежит вне шара Ул. Совершим преобразование инверсии х* = —,х, х= х". (30) ~х',~ ' х~ д Точки х и хч называются симметричными относительно сферы Зя. Симметричные точки удовлетворяют соотношению ~х~х*~=)т', (31) и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно Рис.
79. преобразует внешность шара Уя на (7Л ., (О) (рис. 79). ПУсть фУнкциЯ и(х) — гаРмоническаЯ вне шаРа сгя. Функция и (х*) =( —,) и( —.,х*) (32) называется преобразованием Кельвина функции и(х). Докажем, по при преобразовании Кельвина гармоничность сохраняется, т. е. функция и* (х*) гармонична в Уя' ~(0). Докажем это для Л= 3 (для Л~ 3 доказательс(во аналогично).
Для этого перейдем к сферическим координатам (см. % 3.2). Пусть х=(г, а, ср) и и(х) =й(Г, а, ~р). Тогда„в силу (30) н (31), х*=(р, 6, ф), р= — н, в ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФРИКЦИИ силу (32), и* (х*) = й* (р, 8, ьр) = — й ( —, 8, гр). Р г/~Р Поэтому ! дьй* гь(дьп 2 дй ! д / . Вдй) + рь иль В деь йь(дгь + г дг + ьь ь|п В дВ! да,! ! дьй1 гь * + гь а '-' 0 дкь ~ яь Аи (Х)' откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема. Пусть функция и(х) — гармоническая ене шара ()я и при !х1- со и(х) =о(1) (п~ 3), и(х) =О(1) (а=2). Тогда О"и(х)=0()У!х!"- "":), ~х!- Со, (ЗЗ) еали п~З, Если.же и 2, то 1ипи(х)=а, !х~- со, (34) Ю"й(х) = 0(1/1х!ы""'), 1х1- ь.. (! а1 . 1). (35) Лок а за тельство. Совершая преобразование Кель- вина (32), получим функцию и' (х'), гармоническую в (гн'~(О) и УдовлетвоРЯющУю пРи )хь ! О Условию о(1), если п=-З, и'(х*) = !Аь!" ' 0(1), если л = 2, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
