Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Я 27.2 и 2?.7). Поэтому, чтобы потенциал 1/"' давал решение внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо н достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства ( ~ ) (х)=н+,-(х), хе=5. (12) По теореме о разрыве нормальной производной потенциала простого слоя (см. З 27.7) равенства (12) превращаются в интегральные уравнения Фредгольма ~-2нр(х)+ р(д) ",г(5„=и, (х), хан 5, (!3) относительно неизвестной плотности р. Из равенства ф„„ = ч„„, х, у ~н 5 (см.
З 27.5), и из (!0) следует, что ядро интегральных уравнений (13) равно М'(у, х) =Л'*(х, у), так что уравнения (9) и (13) — союзные друг другу. Вводя параметр )., перепишем интегральные уравнения (13) в единой форме: р(х) =Х $ Ю*(х, у) р(у)Ю„+д(х), х~ 5. (11*) 5 Прн этом для внутренней задачи Неймана Х .— 1 и И! и' д= — — ', а для внешней задачи Неймана ), =-1 и д= — — ~-. 2л ' 2н Для поверхности Ляпунова 5 функции сов ~р„„непрерывна на 5х5 и, в силу леммы 1 $ 27.4, удовлетворяет оценке ~созе,„~==ЗС!х' — у~, гт)0. Поэтому, в силу (10), ядро Л'(х, у) непрерывно при х~5, уев 5, х~у и удовлетворяет оценке ~~"(х, р)~~,„,„"„,, и, следовательно, является полярным ядром (см, $ 17.4).
Таким образом, для интегрального уравнения (11) и союзного к нему уравнения (!1*) применимы все положения теории Фредгольма (см замечание 9 18.3). !ч В. с. Виадммнрод 418 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. Ч 4. Исследование интегральных уравнений. )Токажем сначала, что Л 1 не есть характеристическое число ядра йр*(х, у). Пусть, напротив, Л=1 — характеристическое число этого ядра и р* — соответствующая ему собственная функция, р»(х)= Ю»(х, у)(А*(у)Ю„= — „р*(у), д5ю (14) хан 5. Собственная функция р*~ С(5) (см.
8 18.5). Построим потенциал простого слоя Р" с плотностью р». Функция учм гармонична вне 5, непрерывна в )г' и Г»~(~)=-0 (см. э" 27.2). )Талее, в силу формулы (43) э 27.7 и уравнения (14), ее правильная нормальная производная на 5 извне равна нулю. Отсюда, по теореме 4 8 28.2 о единственности решения внешней задачи Неймана, заключаем, что (и" (х) ИИО, хеиб,'и, в частности, Г»~)з=О. Но тогда, по теореме 2 8 28.2 о единственности решения внутренней задачи Лирихле, $'"'(х)~0, х~6. Итак, Ры(х)аиО, хен)7'. Отсюда, пользуясь формулой (46) 8 27.7, заключаем, что р' (х) ИИО, х ен 5. Таким образом, Л=1 не есть характеристическое число ядра Л'»(х, у).
Отсюда, по второй теореме Фредгольма, Л= 1 также не есть характеристическое число ядра Л'(х, у). А тогда, по третьей и первой теоремам Фредгольма, интегральные уравнения (11) и (11*) при Л= 1 однозначно разрешимы при любых непрерывных ) и и. Следовательно, справедлива Теорема 1, Внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана разрешимы при. любых непрерывных данных ив и и(, и их решения представляются потенциалами двойного и простого слоя соответственно. Теперь из формулы (30) 8 27.8, 1 р 2п~ 1х — уу следует, что Л вЂ” 1 есть характеристическое число ядра Ю (х, у) и у — 1 — соответствующая ему собственная функция. Локажем, что это — простое характеристическое число.
Для этого, в силу второй теоремы Фредгольма, 419 УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА достаточно показать, что )5= — 1 — простое характеристическое число ядра У»"*(х, у). Пусть р, — соответствующая собственная функция, ! (' 505 45„» р» (х) = ~ »ч' (х У) р» (У) 555»= Р 51, 15 р» (У) ~(5». (18) Собственная функция р» ен С(5) (см. 9 18.5).
Составим потенциал простого слоя с плотностью р„ 1, ~»~ ( .) '! И»(У) (5 (18) 1х — у~ Функция У1»1 гармонична вне 5, непрерывна в )?5 и $/1" (~с) =-О (см. 9 27.2). Далее, в силу формулы (43') 9 2?.7 и уравнения (15), ее правильная нормальная производная на 5 изнутри равна нулю. Отсюда, по теореме 3 28.2 о единственности решения внутренней задачи Неймана, заключаем, что !«м(х) С=сспз(, хан 6. Докажем, что С~О.
Пусть, напротив, )г"'(х)= — О, х ен Й и, в частности, У'»1 ~»= О. Но тогда, по теореме 2 9 28.2 о единственности решения внешней задачи Дирнхле, Ь'по(х) иО, хезби Итак, Р" (х) юО, хан )?' Отсюда, пользуясь формулой (46) 9 27.7, заключаем, что р»(х)ммО, х ~ 5, что невозможно. Пусть р, — другая собственная функция ядра Р»'* (х, У), соответствующая характеристическому числу )5= — 1. По доказанному потенциал простого слоя У"' с плотностью и, равен постоянной СФО на 5». Но тогда потенциал простого слоя — У' — Р1»> с плотностью --р» — р, равен нулю С С на б, откуда следует, что эта плотность тождественно равна нулю на 5, т.
е. р, (х) = — )5» (х), х ~ 5. С Поэтому Х= — 1 — простое характеристическое число ядра Ю* (х, у) и, стало быть, ядра Ю(х, у). Нормируем собственную функцию и, так, чтобы У (х) = 5(5 =1 х е= Сх (17) )х — у( 420 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !Гл. ч Потенциал простого слоя )г"' с плотностью рь называется потенциалом Робена. Физический смысл потенциала Робена: это есть потенциал, создаваемый зарядами на проводящей поверхности 5, а его плотность р,(х) — — — ( ) (х) есть плотность зарядов, которая устанавливается на этой поверхности.
При этом полный заряд называется емкостью проводника Я. Вернемся к уравнениям (1!) и (11*) при А= — 1, По третьей зеореме Фредгольма интегральное уравнение (1!") при А= — 1 разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член и ортогонален к 1. Итак, справедлива Те о рема 2. Внутренняя задача Неймана разрешима при 1юбой непрерывной функции иП удовлетьоряюи(ей условию ортогональности ~ и, (х)а5=0, (18) и ее решение представляется потенциалом простого слоя, Далее, для разрешимости уравнения (11) при А= — 1 необходимо и достаточно, чтобы свободный член ! был ортогоиален к )Аь. Таким образом, внешняя задача Дирихле имеет решение, представимое потенциалом двойного слоя, при любой непрерывной функции иь, ортогональной к плотности )Аь потенциала Робена $ ио (х) рь (х) ао = О.
(19) Ь Условие разрешимости (19) возникло за счет того, что решение внешней задачи Дирихле искалось в виде потенциала двойного слоя и, следовательно, от решения заранее требовалось убывание О () х ~-') при ~ х ; '— со, Однако в постановке этой задачи требуется лишь, чтобы решение обращалось в О на бесконеуности, Чтобы учесть и такие решения и тем самым избавиться от условия (19), поступаем следующим образом, 421 уРАаняния ЯАплАсА н пуАссОнА Соответствующее интегральное уравнение (11) принимает вид «(х)= — ЯГ(х, у)«(у)д5„+ "'(х — — „, . (21) По доказанному для разрешимости интегрального уравнения (21) необходимо и достаточно, чтобы Так как Оен 6, то, в силу (!7), РЯ(У) д5 )г(з) (О) ш а потому условие разрешимости (22) принимает вид а = $ ие (х) ре (х) й5, (23) Таким образом, справедлива следующая Т е о р е м а 3.
Внешняя задача Дирикле разрешима при любой непрерывной функции из и ее решение представляется в виде сул1мы потенциала двойного слоя и потенциала — иа (х) р,(х) й5. Замечание. Пусть выполнены условии разрешимости (18) и (23). Тогда общие решения интегральных уравнений [21) и (!1*) прн А — 1 содержнт по одной произвольной постоянной С, и С соответ. огненна «(х)+Сн р (х)+Сия(х). Отсюда, в силу формул (30) 4 27.3 и (17), опять получаем, что решение внешней задачи Днряхле единственно (и, значит, не содержит постоянной С), а решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до адйитмвной постоянной С,.
Считаем О ен С. Ищем решение внешней задачи Дирихле а виде суммы потенциала двойного слоя (7'" с неизвестной а плотностью «на 5 и ньютонова потенциала — от заряда )х~ в точке х=О неизвестной величины а, и(х) = у'(т)(х)+ —,„, = ч(у),„", д5я+ —,, (20) УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~гл. ч 5. Решение задач Днрихле и Неймана для шара. Построим решения задач Дирихле и Неймана (внутренней и внешней) для шара (ун.
Пусть | — заданная непрерывная функция на сфере Яш Тогда Г'()75) разлагается в ряд Фурье по сферическим функциям ((Йз) = ~' )'о(5), 54= 5м о=о (24) где, в силу (38) 9 25.7, 21+! лч 5, Ряд (24) сходится в Жо(5в) (см. 9 25.6). Предположим, что этот ряд сходится в С(55).
Тогда и(г, О, ср) = ~ ~ — ' )г~(В, ср), г()7, о=о — решение внутренней задачи Дирихле с ио =7; и(», В, р)=»' — ", ( — ')'),(Е, р)+С, о 1 (25) (26) )о 4 ) ((Йз)дз — о ) 1(х)с(5=0 5 зн и(г, В, р) = Р' (-",-) ' Р,(Е, р), г~ Н, (27) (28) о=о — решение внеионей задачи Дирихле с ио =); и(г, в, ср)= — ~ — ~ — ) )гс(8, Ч~), )й, (29) о=о — решение внешней задачи Неймана с и;=(. ,Чействительио, ряд (25) состоит из гармонических полиномов (см.
9 25.8) и по предположению сходится — решение внутренней задачи Неймана с и1 7' при условии, что эти егнкция геинл злдлчн диеихлв. 4Ж в С(ое). Поэтому этот ряд сходится в С(сге) (см. 9 24.5), определяя функцию и, гармоническую в Уе (см. 4 24.8), непрерывную на (7л и принимающую, в силу (24), зна- чения г' на Яе. Это и значит, что ряд (25) дает решение внУтРенней заДачи ЛиРихле дла шаРа'Ун с ио =Г'. На основании признака Абеля «) ряд ~ — Уг (в) г= — ! сходится вместе с рядом (24) в С(5е). Отсюда, повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что ряд (26) схо- дится в С(('е) и определяет функцию и, гармоническую в Уе и непрерывную на Се.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
