Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(19) % зп НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ Лемма 1. Если Я вЂ” поверхность Ляпунова, то ~созср,.„~ =ЗС~х — у(", х, уеду, (24) ~созсР,сс+созф,„~ (ЗС!х' — У~'", х, УВНЯ, х'енл, (25) ед~ С вЂ” постоянная в неравенстве (17). Д о к а з а т е л ь с т в о.
На основании сказанного, оценки (24) и (25) достаточно установить для всех у нз (произвольной) окрестности и„=5()(/(х; г,). Оценка (24) следует нз оценок (19) и (23): $ соз сР,„~ = $ (п, ! ) / = ~ (п — и„—,', ) + !,пм < " > ) $ ~ Ь! == ~ л — л, ~+ — '"' ( ЗС ~ у ~", Докажем теперь оценку (25) на и,.
Пользуясь определением углов ср,„и ф„„(см. формулы (9) и (11)) и неравенством Коши — Буняковского (см. з 1.7), при всех у ен и и х' ен ссз получаем оценку з ! с05 сРне+ соз фне ~ = ~', ! [с05 (лоУс) — соз (ПУ )] "-ьй с ! з ! '5' [СОВ(П,Ус) — СО5 (ПУс)]з ' = с ! ! =((п„с)з+(п,,~)!+[1 — (л, лз)]з)з и, следовательно, в силу (20), ~ с05 срсе+ с05 зрне ~ ~ ]с ЗС ~ у !". Отсюда, пользуясь неравенством (23) и замечая, что р.«--!х' — у(, х'ен и„ при всех у я и„ и х' ен пз получаем оценку (25): ( сов ср. „+соззр „~ ==.]/3 С(рз+ус)' ==.
ЗСр'"~ЗС,х' — у)в. Лемма доказана. Лемма 2, Если Π— поверхность Ляпунова, то существует такая постоянная К, что з ссор -К, х'~ей~, (25) УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. У Доказательство* ). Если расстояние от точки х' до 5 не меньше — ', так что 1х' — у~~-'-, у Вне, то интеграл (26) равномерно ограничен числом К,= —, Ю, 4 Пусть теперь расстояние от точки х' до 5 меньше — ', так что существует точка хан 3 такая, что 1х — х" ~ = 6( — '. Нетрудно убедиться, что точка х' лежит на 2 нормали лу или — па к 3 в точке х.
Для определенности мы будем считать, что х' ен п„так что в локальных координатах х'=(О, О, 6) (см. рис. 91). Разобьем интеграл (26) на два: 1соз~р,,„1 „,„Г 1схв<р„„1 „,„, Г 1селе„,„1 „ ) ~х' — у' " ) 1х' — у1е ",) 1х' — у," У' 5';и В силу оценки 1х' — д)~)У вЂ” х) — 1х — х'1>Га — -~ -~, Уев З'~,аи, первый интеграл справа в (27) равномерно ограничен числом К,. Оценим теперь второй интеграл справа в (27). Замечая, что (рис. 91) и пользуясь оценками (23) и (26), получаем оценку ! сез «рх у ~ ~ ( соя фх у + Соз хрк'у ! + ( Соз хрх'у ~ и~ ~ЗС)х'-у~"+, ~6С~х'-у)и+,, узми„. 1х' — у1 (х'-у) ' Поэтому и Первый интеграл еправа в (28) равномерно ограничен (см. З 1.6).
Для оценки второго интеграла справа в (28) «) Идея азата нз книги С. Г. А4нхлнна [11, гл. 1а, ньютонов потенциал перейдем к локальным координатам (см. рис. 91) 3 (»' — у)з зх . (,,)( .)(Ь вЂ” ~)ь 1 )Ф~~(6 — щ))) ' — .,:() здесь мы воспользовались третьим неравенством (20). Тогда, в силу (23), ~уз)( р/2 и, стало быть, Р'+(6 — Уз)'=Р'+ба+Уз — 26Уз«Р'+6' — 26 ~Уз« «р +ба — бр« ~ (Р +б'), Уен'и ° Учитывая полученное неравенство, продолжим оценку (29): лз Ы ( у) зз () я со 2» р(йз(аз Г Г, =бп. б т — «46 ~, (46 (,з+бз)л = .) )»' — у)з,') (рз+бз)ч Лемма доказана. 5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности о.
Предполагая границу Я области 6 поверх- ностью Ляпунова, установим некоторые свойства потен- циалов У(з) и 1/(з) на о. Имеют место равенства — 4п, хя6, — ((5 = — 2п, х~Я, с(з)(з з (» — ур О, хан 6,. Для доказательства равенств (30), в силу (13), осталось рассмотреть случай хан 5. Выбрасывая из о окрестность и,=ЯДУ(х, г,) точки х, получим Так как хй6",(7(х, гз) (рис. 92), то применяя формулу (11) З 24.3 к области 6'~(7(х; гз) к функции 1» — у(-з и действуя, как н в З 27.2, получйм 406 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [гл. У Поэтому при стягивании а„в точку х(г,-~.О) первый интеграл справа з (31) стремится к — 2п (рис.
92). Второй же интеграл справа в (31), в силу оценки (24), сходится абсолютно и потому стремится к нулю при и -~х (см. 9 1.6). Поэтому, переходя в (31) к пределу при и — х, получим формулу (ЗО) при хаем. (хЛ) и(х>г) Рис. 93 Рис. 92. Потенциал двойного слоя Уги (х) — непрерывная функ- иия на 5. Действительно, в силу неравенства (24), справедли- вого на поверхности Ляпунова 8, потенциал Рм (х), опре- деляемый формулой (12), есть интегральный оператор с полярным ядром сь' е~у — хен3, уе-:3, а потому переводит всякую функцию УЕЕС(5) в функ- цию Уги ~ С (5) (см. 3 1.6; ср. с леммой 1 $17.4).
Докажем теперь, что интеграл (Ф) где ф„„— угол между вектором у — х и нормалью гзл, есть непрерьюная функция х на Я. Действительно, замечая, что М=яек х у~8 (рис. 93), нз (24) выводим оценку (созфщ~:с ЗС~х — у~", х, уев 3, (34) (33) иьютоиов потвнцилл из которой, как и для потеициала У'", следует иепрерывиость интеграла (32) иа Я. В соответствии с формулой (10) обозначим интеграл (32) „р дп ~ >(У) х — > " ] )(У)дп хси Я.
У+>'(х) 2пч (х)+ Уч' (х) = 2пт(х)+ т (у) — "нею (36) У'>' (х) = — 2пт (х)+ УГм (х) = — 2п» (х) + т (у) — „, сйю сьь Ч>.>е Доказательство. Введем функцию (36') Я7 (х', х) = ~ ~ч (у) — т (х)] , ~' ", й„, х' я Щ х.еи Я. Функция МР(х', х) при х'=х~Я, в силу (30), равна Ж(х, х) = ] %(у) ".>йЯе+2пт(х) =2пч(х)+ Уп1(х). (37) Фуикция (Р(х, х) непрерывна иа Я в силу иепрерывиости пловиости т и потенциала Уои иа 8 (см. у 27.5).
дУ (х) Функция называется прямым значением нормальдп ной производной потенциала простого слоя на поверхности 5; по доказаииому оиа непрерывна иа 8. Отметим еще, что потенциал простого слоя Уов(х)— непрерывная функция на Я, поскольку Упв ~ С()сь) (см. $ 27.2). 6. Разрыв потеициала двойного слоя.
Теорема. Если 5 — поверхность Ляпунова и чеиС(3)> то потенциал двойного слоя Усп принадлежит С(>>) и С(С,) и его предельны значения У'.н и У"' на Я извне и изнутри Я выражаются формулами мвявнйння эллнптнчйскнго типА 1гл. ю Докажем, что вяз Ж(х', х):~ Иг(х, х), х'-~х~Я. (38) Пусть е)0.
Так как функция ч равномерно непрерывна на 5, то существует такое число 6=6,~0, что при всех хан 5 имеет место неравенство ~т(У) — ч(х)!<4д' Уе=и =ЯД('(х 6) (39) где К вЂ” число, входящее в неравенство (2Б). Оценим разность ! Ф' (х', х) — Иг (х, х) ! ~ з',и„/ В силу неравенств (39) и (26) первый интеграл справа в (40) не превосходит е(2, ввв ф в ввв файв /ч(у) — ъ (х)/) ", — — ',~в(5„( и Далее, подынтегральная функция в (40), как функция пере- менных (х, х', у), равномерно непрерывна при ~х — х ~~ —, 6 х ен Ю, уев Я~и„и обращается в нуль при х' =х.
Поэтому найдется такое б'( —, что при всех х' вне(х; б') второй 2 ' интеграл справа в (40) будет меньше —. Следовательно, в ~ йу (х', х) — йГ (х, х)~ < — + — = е, х' ен (у (х; б'), х ен 5, что и доказывает предельное соотношение (37). Считая х' ~ О, и пользуясь формулой (30), представим потенциал уц'(х') в виде Р1м (х') = (ч (у) — т (х)) —,' "-ев- ИБ„+ %7 (х', х). (41) ньютонов потенциал Переходя в этом равенстве к пределу при х' -и-х ~ 5, х' ен бо и учитывая предельное соотношение (36), получаем хил 1«м (х') — Ю (х, х) = У+н (х), х е= 5, откуда следует, что Уоп ен С(б,) и, в силу (3?), справед- ливо равенство (36).
Другой случай рассматривается аналогично, Теорема доказана. Из формул (36) и (36') следует соотношение 4пи(х) =У+о(х) — У'"(х), хеи5. (42) 3 а меч а н не. Формулы (36) и (36') аналогичны формулам Сохои- кого ($5) и (15') 5 6.8. 7. Разрыв нормальной производной потенциала про- стого слоя. Т е о р е м а. Если 8 — поверхность Ляпунова и р ен ен С(5), то потенциал простоео слоя Уч" имеет правиль~дУ~о 1 ~дУ~о ~ ные нормальные производные ~ — ) и ~ — ) на 5 извне (дп)о ~дп) и изнутри 5, причем ( дп ) (х) = — 2п)о(х)+ дп = — 2и)о (х) + )„(у) ~~'~"" о(3 . (43) ду'оп дуло~ (х) (ди )-() )()+ дп = 2п(" (х) + и (у) — „", о(5и.
(43') Доказательство. Пусть Уии — потенциал двойного слоя на Я с плотностью р. Введем функцию дУ~о (х) %Ух (х', х) = — й~ ( — + У он (х'), х' й 8, х ы 3, к и докажем, что при х'-+х вне, х'ен и (У'е(х', х) =Ф Ф',(х, х)= дп +Уон(х). (44) По доказанному (см. $ 27,6) функция (Рх(х, х) непре- рывна на 5, ао УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (Гл. У Пользуясь формулами (10) и (12), представим функцию )у» в виде интеграла: йу, р 'Ь» у+ Ф»'у ~З А(х, х) = р(у) Зададим е)0. Оценим разность ) ((7, (х', х) — Ф', (х, х) ~ ( з~,и„, — „„"" ~дну, и»=ОДУ(х; 6). (45) В силу оценок (24), (25) и (34) первый интеграл справа в (45) не превосходит (абсолютно) сходящегося интеграла — .—,-) ! р(р)~ ! ° Ур~+ )» ур-~) и потому может быть сделан ( — ' при достаточно малом 2 6 = 6,.
Далее подынтегральная функция в (45), как функция переменных (х, х', р), равномерно непрерывна при ~х — х (( —, хан 5, у Вне',и, и обращается в нуль Ь 6 при х'=х. Поэтому найдется такое число 6'"=.—, что при всех х'ЕЕУ(х; 6') второй интеграл справа в (45) В будет меньше †. Следовательно, 2' (((7,(х', х) — (р',(х, х)!<е, х'~у(х; 6')', х'енп„, хаем, что и доказывает предельное соотношение (44).
По теореме й 27,5 Рм ен С (б) и )г+' (х) = 2пр (х) + Р и (х). Поэтому предельное соотношение (44) прн х'-~х ~ ~З, х'енуу принимает внд (» ) дУи~ ~») — — У+'(х)+(РА(х, х) = — 2лр (х)+ дл» дл» 41! ньютонов потенциал откуда заключаем, что правильная нормальная производГдр~е ная ! †„ ) на 5 извне существует (см. 2 24.2) и, с учетом формулы (36), выражается равенствами (43). Другой случай рассматривается аналогично. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
