Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 63
Текст из файла (страница 63)
') См. И. Н. Векуа 121, В. И. Смирнов 121, гл. (У, р 2. 442 РРАВнаиия аллиптичаского типА ~гл. т Если р ен С(б) и р (х) О, х еи б, ° )с"~б, то потен- циалы ~/ н (г выражаются интегралами ем'» г е-м~»-е1 у (х) - ~ — р (у) (у. )7(х) - ~ р (у) (у Эти потенциалы принадлежат классу Се (»ге) П С (О,), удовлетворяют в области 6, однородному уравнению (2) и условияле (3) и (3) соответственно. Это утверждение доказывается так же, как и для объемного ньютонова потенциала (см. 2 27.1). В проверке нуждается лишь второе из условий излучения. Считаем бс:Уя, ~х()гг, н, следовательно, )х( — Я«)х~ — !у(~(х — у)((х~+~у(()х(+й (6) прн всех уен б. Тогда (ср.
ф 30.2, о)) д'е' (») д~к~ х и, [~ ~, ~~~ Т+й(~х~ — ~у!соху — /х — у()1е(у, и потому, в силу неравенств (б), ~-~ — — ЙУ (х) ~ ( а ~ ~Р~") ~,(~ ~+~" ~+Цу!+Ь~~х~ — ~ — у~~) (у=- Ь ~,,> '„(>*,< -ь-еее)~!р~у)1»у е $'). Аналогично рассматривается и потенциал (7. Если р=рбз или р — ~„-(тбз), где р и тен С(Э), то д соответствующие потенциалы У и Р представляют собой аналоги поверхностных потенциалов простого и двойного слоя и выражаются интегралами: г еетц» — е~ "е К~е'(х)=~ ~ р(у)е(5е, у<е'(х)=~ р(у)ейе, д емг» ~"" (х) т (у) д е(5», д" е д е 443 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 4 301 Свойства потенциалов У'", )к~у', 'у'" и уч" аналогичны свойствам соответствующих ньютоновых потенциалов (см. ~ 27). Вне поверхности 5 зти потенциалы бесконечно дифференцируемы, удовлетворяют однородному уравнению (2) и условиям излучения (3) или (3) соответспгвенно, причем уиь' и Гк'ы 0=СЯ0).
Если 5 — поверхность Ляпунова, то потенциалы У'0' и 1ГЧ0' имеют правильную нормальную производную на 5 извне и изнутри 5 и зти производные равны соответспсвенно ( в ) (х) =.+. 2п)к (х)+ ) 1«(у)в, с(50, (7) 5 дУ'0' Р В Е Саик У~ — (х) =- с 2п)с (х) + )с(у) в в , с(50; (7) потенциальс двойного слоя 1l'н и )к"' принадлежат классу С(««) Д С(б,) П С(5), и их предельные значения на 5 извне и изнутри 5 равны соотвспютвенно Л ем к — у 'у'" (х) = + 2лч(х)+ ~ У(у) —, д5„, (8) е счнк у~ Р (х) = ~ 2ну (х) + ч (у) д х — с(5у. (8) у 4.
Принцип предельного поглощения. Добавим к левой части уравнения Гельмгольца член (еи: Ли, + (ну+ се) и, = — ) (х). (9) При В~О для любой финитной обобщенной функции( уравнение (9) имеет единственное решение в классе 02" и это решение выражается сверткой ! и = ес с'м-с ск « ~ ь) (10) «- 4п к) Действительно, свертка (10) существует в 02" (см. ~ 8.6) и удовлетворяет уравнению (9), ибо функция , ек" А*Е" ~" 4я х( есть соответствующее фундаментальное решение (см.
$11.9), Единственность решения уравнения (9) в классе ЕУ" 444 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ У вытекает из единственности решения однородного уравнения [1и+ Ф+(е) и =О, т, е. уравнения ( — ( $!в+як+(е) Г(и1=0. Пусть ~а С([[), )(х)=0, хен0[. В этом случае решение (10) уравнения (9) записывается в виде интеграла Е[УА~+[в~ к-Е~ и ( ) 4 ~ ~ ~ Г(у)е(у (11) о Переходя в формуле (11) к пределу при е-~+0 или е- — 0 и полагая )г [1в + [О = [- й, получим, в силу (5), решения и или и уравнения (1), удовлетворяющие усло- виям (3) или (3) соответственно: Г Е'А[к-Е[ 1[го ив (х) 4п д) 1 (У) е(У = и (х), [ 'е 4п 1 ~ у~ [(У)[(У й(х). Таким образом, имеет место следующее утверждение, называемое прин[[ином предельного поглощения: решение уравнения (1), удовлеп воряющее условиям (3) или (3) есть (равномерный по х) предел единсп[венного решения уравнения (9) при е —:[0 сооп[ветственно. Принцип предельного поглощения позволяет выделить единственное решение уравнения Гельмгольца, не заботясь о его поведении на бесконечности; при этом полученное решение автоматически будет удовлетворять условиям излучения (3) или (3).
5. Принцип предельной амплитуды. Этот принцип состоит в том, что решения и или й уравнения (1), удовлетворяющие условиям (3) или (3), являются соответственно пределами и (х) = 1 пи е'в[ив (х, 1), (12) й(х) = 1пп е-'"о (х, ()= !Ип в[в[о (х, — 1), (12) [ +вв е~ «в 445 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 4 30! -м~, м!к — у ~ о (х, 1) = — 1 1(у) с(у, в т. е., в силу (5), и, (х, 1) =е-'ми(х), откуда и вытекает предельное соотношение (12) для и(х). 1 и!.л Аналогично рассматривается и случай решения й(х).
Таким образом, решение уравнения Гельмгольца (1), удовлетворяющее условиям излучения (3) или (3), л!ожно рассматривать как амплитуду установившегося колебания, полученную с помощью предельного перехода из не- установившихся колебаний, вызванных периодическим Х/ внешним возмущением с частотой )г и амплитудой )(х). При этом предельная амплитуда и(х) соответствует рассеянной волне, а амплиту- Ркс.
!00. да й (х) — падающей волне. 6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Пусть граница 5 области б — достаточно гладкая поверхность где о (х, 1) — решение (обобиченной) задачи Коши для волнового уравнения с правои час!пью 0(1)е !"7(х) и с нулевыми началлныни даннылш: ( )иа=з(1)ех!АЧ(х), о (х, 1)=0, 1(0. (13) Действительно, пусть функция )ен С(6), 1(х) = О, х ен б,. Тогда единственное (обобщенное) решение о, задачи Коши (13) выражается с помощью волнового потенциала (см. 5 13) Е 'А' м!к — у ол (х, 1) 4 ) ~ ~ (у) ду (14) и(к; о Пусть 6 с:(кя.
Тогда',х — у~ ~/х/+)г и, следовательно, !х — у<~1 при всех у я 6, если 1)/х~+)т (рис. !00). Поэтому формула (14) в области 1)!х!+)т принимает вид УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~гл. у (в смысле 2 28.2), а б, = й"~б — область. Задачи Дирихле и Неймана (внутренние и внешние) для уравнения Гельмгольца ставятся так же, как и для уравнения Пуассона (см. э 28.1). При этом для внешних задач требуется, чтобы на бесконечности решение удовлетворяло условиям излучения (3) или (3).
Если А = й' не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа, то решение соответствующей внутренней краевой задачи для уравнения Гельмгольца единственно. Отметим, что множество исключительных значений й, при которых нарушается единственность решения внутренних краевых задач, счетно (см. Я 21.4 и 29.6) Решения поставленных краевых задач для однородного уравнения Гельмгольца строятся методом теории потенциала, подобно тому как это делалось в э 28 для уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней, удовлетворяющей условию (3)) ищется в виде потенциала двойного слоя Е~п с неизвестной плотностью у ее С(5). В силу (8) функция у должна удовлетворять интегральному уравнению У(х)=Х~Ю(х, у)У(у)ах+~(х), хее5, (15) где дгмкж СОЯ зарх„ Л'(х, у) = — —, =(1 — Й~х — у!) "е'эгх — У~.
2л дп, ,'х — у, )х — ц,' При этом 1=1 и ) = — —" соответствуют внутренней за- 2А к( даче Дирихле и А= — 1 и / = -' — внешней. 2Л Решение задачи Неймана (внутренней и внешней, удовлетворяюшей условию (3)) ищется в виде потенциала простого слоя У"' с неизвестной плотностью р ее С(5). В силу (7) функция р должна удовлетворять интеграль- ному уравнению, союзному к уравнению (15), р(х) =) ) Ю*(х, у) )х(у)г(5х+д(х), хее 5, (15") причем Х= — 1 и д= — ' соответствуют внутренней задаче 2л и,' Неймана и ).=! и д= — — — внешней.
2я 447 л двивние гельмгольца Применяя теоремы Фредгольма к интегральным уравнениям (15) и (15*,) и пользуясь теоремой единственности (см. 2 30.2, замечание), как и для уравнения Лапласа (см. 0 28.4), получим следующую теорему, Теорема. Если Х яз не есть собственное значение внутренник задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа, то краевые задачи (внутренние и внешние) для однородного уравнения Гельлггольца однозначно разрешимы в виде соответствующих потенциалов при любых непрерывных граничных значениях *). 3 а меча н и е.
К краевым задачам для уравнения Гельмгольпа приводят задачи на рассеяние (дифракпнш) (сч. з 2.3). Различные применения рассмотрены в гл. 711 книги А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1). 7. Внешние краевые задачи для шара. Рассмотрим внешнюю краевую задачу для шара радиуса Й йьи+Ави=0, и(зя-ив(0, гР), и 0( — ), —" — Им=о( — ), г- со. Как Показано в 2 30.6, эта задача имеет единственное решение. Построим его. Для этого разложим функции и(г, О, гр) и и,(0, гр) в ряды по сферическим функциям (см. ф 25.'6): с и(г, О, гр)= ~, У оЯ'г (г))гГ(0, гр), г=о = — г ие(0, гР) = ~ ~ аг Уг~(0, гР), 7=о м= — с НЕИЗВЕСТНЫЕ КОЭффнцИЕитЫ раЗЛОжЕНИя етГГ„АОЛжи1,1 удовлетворять уравнению.
(см. 2 26.2, с)) 77 -[- — У' + (с[ге —, з( нй' -0, 2 ° Г е 1(1«1)1 граничному условию е'тГ ()С) =аз (17) *) Разрешимость «вешних краевых задач имеет место при всех значениях параметра аз (см, И. Н. Векуа 121). 448 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. У и условиям излучения оР!! (г) = 0 ~ — ), ото(( (г) — И237! (г) = о ( — ), г — ь со. (18) Обшее решение уравнения (16) имеет вид — "Н", (Ь)+ — "Н*, (Ь.), (19) где Н((' — функция Ханкеля $23.8). Учитывая асимптотические формулы (38) 5 23.8 для этих функций, видим, что условиям (18) удовлетворяет лишь функция =Но' ! (((г), (+— 2 так что са=О.
Чтобы удовлетворить условию (17), достаточно положить с! = „, (А,). Подставляя найденные (+ ! ( значения с! и с, в (19), получим искомое решение и в виде оэ Н"', (лг) !+— п(г, О, (р)= ~~~ ~~~~ а! ~/ -„-,(„, (Ая) г! (8, !р). (=от=-! (ч-— 2 Аналогично рассматривается н внешняя краевая задача 11 рода. а. Упражнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
