Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 64
Текст из файла (страница 64)
а) Пусть р — фнннтная обобщенная функция. Доказать, что потенциалы У н У с плотностью р удовлетворяют условиям излучения (3) н (3) соответственно. Ь) Пусть функция и(х) класса С((( ) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца в шаре (( . Доказать аналог теоремы о среднем арифметическом: и(О)= . „~ ~ и((га)((з (И~~я).
(г(1 4н мп М 5, с) Пусть Де лежит в нлоскостн комплексного переменного х с разрезом: 1гп х=о, Не з ~ О. Доказать, что решение уравнения Гельмгольца единственно в классе е2". д) Показать, что в л-мерном случае условия излучения Зоммер- фельда ! — л( ( ! — л( и(х)=0(~х! 2 .l, —, т-Гли(х)=о(!х~ 2 .(, !х!-!.со — ) ди (к) д~х~ обеспечивают единственность решения уравнения Гельмгольца. уРАВнение лАплАсА нА плОскости 449 $ зп в) Построить теорию потенциала дла уравнения Гельмгольца при (г»С О.
1) Доказатьс если 1~ »ат' (!с») удовлетворяет однородному урав нению Гельмгольца в области Сс то 1едС (0), Аз — любое (комп. лексное) число. и) Доказать: если функция и (х) гармонична в области 0, и и (со)=О, то она удовлетворяет условиям излучения (при А=О). Ь) Распространить формулы (4) и (4) на функции и ш С (б,), удовлетворявшие в области о, уравнению (2), имеющие правильную нормальную производную ие 3 и удовлетворяющие условиям издучения (3) и (3) соответственно.
$31. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости !(ши(г) =а, игас(и(г)=0~ —,,), ~г(-»со, ! и (г) ! ( !пах ! и (г) (, г ы сгм гад (г(-» ос (2) (з) !б В. С. Влад»и»рн» Для точки (х, у) плоскости )тз удобно употреблять обозначения г=х+1р или 2 =х — (у. Считаем: сг — ограниченная область в Йз с кусочно-гладкой границей Я. Большинство результатов, полученных в Я 27, 28 и 29 для краевых задач трех пегеменных, переносится к и на двумерные краевые задачи с заменой фундаменталь! ного решения ез(х) — ч-„— иа фундаментальное реше. ! иие аз(г) й-!п(г~. Однако в постановках и решениях этих задач возникают некоторые различия, связаНные с особенностью поведения фундаментального решения ез на бесконечности.
1. Постановка н единственность решения основных краевых задач. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости ставятся так же, как и соответствующие задачи в пространстве (см. з 28.1), за исключением того, что для внешних задач от решения требуется лишь ограниченность. при (г(- Оо (а ие обращение в О). Предполагаем, что 6! = г(з, сг — область. Из результатов Я 24.5 и 24.10 следует. 'всли функция и (г) — гармоническая в б„непрерывная и ограниченная на бг, пю УРАВНЕНИЕ ЛАТП1АСА Ий ПЛОСКОСТИ ве! % ЗИ Чаетныин случаями логарифмического потенциала являютси: «отенциал площади У (г) р(~)!и.— „~ Щйо), ~ $+(ц, (7) потенциал простого ело« У ни (г) = 1и — * Рбз = Р (Д 1п — й5г 1 Г 1 ,г) 1г-В) и потенциал двойного слоя У' ' (г) = — !п —, э — (чбз) = )2, 'дп ч К),— „1п, й5! = ! ч (~) — й5с.
Ь (8) (9) (11) оо ( — ) (г)= ~р(г)+ — = яр (г) + ~ р (~) й й5!. (12 Эти потенциалы обладают следующими свойствами: Если р ен С(6), то потенциал площади У ен С'(Ео), гармоничен в 6, и при )г)- сю У(г) ~ р(!",)а$йо)1п — +0( —,). Если, кроме того, р ~ С'(6), то У в= С*(6). Если р ее С(5), «ю потенциал простого слоя У1о1ен ен С(ото), гармоничен вне 5 и при ) г)-о-Оэ о ч*>-) оороо!.+<-о1+). Если 5 — линия Ляпунова, то потенциал У1" (г) имеет (дУ~о 1 оду о о правильные нормальные производные ( — ! и ( — ) на 5 '1 дп ~~- ~ дп )- извне и изнутри 5, причем ( —,) (г)= — Ч (г)+ — р (г) + р (Р— й5с, (12) И'АВНВНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !Гл.
ч (14) Если чее С(5), то потенциал двойноао слоя Упл гар- моничен вне 5 и У ()-О(~,'-), (13) Если 5 — линия Ляпунова, то — 2п, хя6, д5 = — и, хен5, сов 'Ргг !г — 1! О, х~б,, Потенциал У'"(г) принадлежит классам С(б), С(б,) и С(5), и его предельные значения У+' и У" на 5 извне и изнутри 5 выражаются формулалш У.'(.' (г) = пч (г) + У'" (г) = лч (г) + ч (ь), д5г, (16) У" ' (г) = — пт (г) + У гм (г) = — пч (г) + ч Я), д51, (! 6') )хоказательство этих свойств аналогично соответствую- щим доказательствам для трехмерного случая (см. 2 27).
Некоторое различие имеется лишь при доказательстве оценок (10) и (11). Докажем оценку, (10). Оценка (11) доказывается аналогично. Пользуясь (7), имеем У (г) — р (ь) с$дц!и —, = р (ь) 1п — ~дедц. (!6) Пусть б лежит в шаре ()я и )г!) 2)7, Тогда при всех ь ен б справедливы неравенства ! г ! — )7 =- ! г — ь ! ( ! г ! + )7, 2Й !1! !г! /г! 2Й (17) ~!п +, (1п н--1п, откуда и из (16) следует оценка (10): 4 м1 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 4Я Физический смысл фундаментального реш ен и я ев (г). Вычислим электростатический потенциал 'у'(г, х,), создаваемый зарядами, лежащими на оси хз, ! с линейной плотностью — —, т.
е. с распредвдением 4л' р(г, х,) = — — б(г). 1(х,). Метод спуска по переменной х„ ! изложенный в 5 11.4, здесь не проходит. Несколько модифицируя этот метод, определим потенциал )г(г, х,) как предел при Ф- оо потенциалов )гм(г, х,), создаваемых зарядами, лежащими на отрезке ',хз!.= )11 оси х,, с линей! ной плотностью — —, т. е. с распределением 4л' Рн(2, хз)= — 4 6(2) В(!е — )хз!).
(!8) ! Этот потенциал есть свертка рн с.— 4пез (см. 5 27) плюс произвольная постоянная см *), Ум (г,хз) = — е ~ — ° В ())) — ! хз 1)~ + сов ! Гд (г) )(г;з-)-хзз ( 4п ! !М =м~ 1*.— 'ч-И*г'+~,-*;м1~ е..- 1 1 хз — )у+3 )г! +(хз — А) + -;. " вчтчюйю Чтобы обеспечить существование конечного предела )гм при л)- оо, положим в (19) сл= — 1п(2!т'). В результа- 1 те получим 1 1'(г, х)= 1нп )гл (г, х)= — !и'12! ° 1(х). % со Таким образом, фундаментальное решение оз (г) = 1 2л = — „1п~ г! есть электростатический потенциал, создавае- *) В классе функций, обращающихск в О на сю, потенциал !У(г, хз) не существует "оэтому н потенциалы У (г, х,) будем выбирать иа более широко~о класса функций (в данном случае — ограниченных на со).
УРАВНЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [гл, т мый зарядами, лежащими на оси х„с линейной плотностью — — (ср. $11.4). ! 3. Разрешимость краевых задач. Предположим, что граница 5 области 6 — достаточно гладкая линия и 6,= = )АА'. б — область. Как и в ф, 28.3, решение внутренней задачи Днрихле ищем в виде потенциала двойного слоя У!" (Я) = У(ь) — '!(5С, ч еи С(5); (20) решение внешней задачи Дирихле — в виде суммы потен.
цикла двойного слоя Уи! .и неизвестной постоянной а; решение задачи Неймана (внутренней или внешней)— в виде потенциала простого слоя Ум! (Е) = (А (Д!и — д5С, (А ы С(5). (21) Для неизвестных плотностей у и (А и числа а, в силу формул (12), (12'), (15) н (15'), получаем интегральные уравнения (г) А ~йй'(х, Ь)Ч(Ь)!(5С+Г(г), еед5, (22) Р(г)=А $®*(г, й))А(й)65,+а(е), гы5, (22') с полярными (союзными друг другу) ядрами При этом А=1, ! = — — „' соответствуют внутренней и А= и' — а 1, / =*" †' " — внешней задачам Дирихле; л — 1, и-, л со = — ' — внутренней и, А=1, д= — — ' — внешней задачам л л Неймана. Пусть и — непрерывное решение уравнения (22*) при л Х 1 и и — — „'.
Интегрируя это уравнение по кривой 5 э 311 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ и пользуясь (23) и (14), получаем 1 И(г)1(5= — „Ц ~, Р(1М5С 15,— — „~ и+(г)1(5- — (Р ' — (5, (5,-- я 3 й)1ь — г! * я~ — 1А (ь)т(5 — — и1 (г) 1(5р т. е. (24) р (г) (5 = — з — 1( ) 15 г(окажем, что А= 1 не есть характеристическое число ядра А'"(г, ь). Пусть, напротив, А = 1 — характеристическое число этого ядра и р' — соответствующая ему обственная функция, ! г соэ4ьс И*(г)= к*(г, 1)р*Ф1(51= — „1 —,й1 р*(1)Д5с, 5.
(26) Тогда р*енС(5) и, в соответствии с (24) (при и;=О) $ и' (г) 1(5 = О. (26) Построим теперь потенциал простого слоя )г1А1 с плотностью р*. Функция )гм1 ен С()т') гармонична вне 5 и, в силу (26) и (11), 111А1(со) О. Лалее, в силу (12) и (26) ее правильная нормальная производная на 5 извне равна О. Отсюда, пользуясь единственностью решения внешней задачи Неймана и внутренней задачи ((ирихле (см. Э 31.1), как и в $ 28.4, заключаем, что у'1А1(г)имО, г я )тэ, и, следовательно, р* (г) — О, г еи 5, что противоречиво. По теоремам Фредгольма уравнения (22) и (22э) при 1=1 однозначно разрешимы в С(5) при любых непрерывных 1 и и. При этом для решения )1 уравнения (22") прн А=1 и д= — — „' спраэедливо соотношение (24).
Поэтому, если выполнено условие (4), то, в силу (11), 111Р1(оз) =О. Итав, дОКаэаиа уРАВнения аллиптического типА !гл. ч Те оре м а 1. Внутрвнняя задача Дирихле разрешима при любой и, ~ С(5). Внешняя задача Неймана разрешима при мобой и>' я; С (5), удовлеп!воряющей условию разрешимости (4). Из формулы (14) вытекает, что А.= — 1 есть характеристическое число ядра йо (г, ь) и чвм! — соответствующая ему собственная функция. По второй теореме Фредгольма Х = — 1 — характеристическое число союзного ядра М'о(г, ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
