Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Обоснование ь(етода Фурье для решения смешанных задач для уравнений гиперболического н параболического типов будет дано в следующих параграфах этой главы. Пусть оператор Ь определяется дифференциальным выражением Еи= — Йт(рягайи)+ди, кевб, и граничным условием аи 1-~) ап ! 0 причем функции р(х), о(х), а(х) и (3 (х) удовлетворяют условиям (3) З 21,1. Предполагаем, что собственнЫе значения (Л~) оператора Е положительны, 0(Л,(Л,~..., а соответствующие собственные функции (Хд), (Хь=ЛхрХм Ха~мам А=1, 2, ..., вещественны и образуют полную ортонормальную систему в простоанстве Ж, (б; р) со скалярным произведением ), д), с' весом р(х))0, хевб, ряС(б).
(Достаточиыв 4 зх) метод ФуРье условия, при которых реализуются эти предположения, даНЫ В х у21.4 ) 1, ()диородное гиперболическое уравнение. Рассмотрим в бесконечном цилиндРе Ц =ох(0, сс) смешаниУюзадачУ для однородного уравнения гиперболического типа (см. а 4 5): д'и Р дп (1) и!г-ь=иь(х), — дг ~ = и (х), х е= гх; ди (2) +() —,',„"~,=0, ! 0. (3) Суц!ность метода Фурье состоит в следующем: построим достаточное количество решений уравнения (!), представляемых произведением т(() Х(х) (4) и Удовдетворяющих граничному условию (3); из эти ре иии составим линейную комбинацию, удовлетворяющую начальным условиям (2); при некоторых условиях естественно ожидать, что полученная линейная комбинация будет удовлетворять уравнению (1) и граничному условию (3), т.
е. будет решением задачи (1) — (2) — (3). Итак, ищем решение уравнения (!) в виде произведения (4), причем от функции Х(х) потребуем, чтобы она удовлетворяла граничному условию (3). Подставляя выражение (4) в уравнение (1) и деля его на р7 Х, получим Т" (Г) ЕХ (х) Т(Г) р(х) Х(х) (5) Левая часть равенства (5) не зависит от х, а правая— от й Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от х, ни от (, т, е. является постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через — Х (ср. у 26,1) из равенства (5) длЯ неизвестных фУнкций Т и Х и паРаметРа Х пол чим уравнения у 7-Х = ХрХ, (6) 7'"+ ХТ О, (7) Следовятельно, уравнение (1) распалось на два уравнения (6) н (7) с меньшим числом независимых переменных, т.
е как говорят, переменные разделились. 4бб смешанная задача [гл. т! Решения Х(х) уравнения (6) должны удовлетворять граничному условию (3). Поэтому в качестве Х и Л можно взять собственные функции Х» н собственные значения Ль оператора Е, Общее решение уравнения (6) при Л=Л,)О имеет вид Т,(~) =а„сох 3/"Л41+Ьаз!п'г' Л! ( (8) где ах и ܄— произволы!ые постоянные. Таким образом, в силу (4) и (8), построено счетное число частных (линейно независимых) решений уравнения (1): Т„(() Хь (х) =(а4 сох')' Л4 (+ Ь4 з(п )''Л!, () Хх (х), (9) Й=1, 2, ..., удовлетворяющих граничному условию (3) и содержащих произвольные постоянные а„и Ь|.
Всякая конечная сумма решений (9), естественно, опять будет удовлетворять уравнению (1) н граничному условию (3). Составим формальный ряд СО <О ;Я Т!!(1)Х„(х)=,У', (а„сох|/ Л, 1+Ь„з!пУЛ,()Хх(х). (1О) Ф=! ь ! Коэффициенты а4 н Ь„выберем такими, чтобы ряд (1О) формально удовлетворял начальным условиям (2): ~ а! Х„(х) = иа (х), ~ч'" УЛ4 ЬьХх(х) = и,(х), х ! Ф ! т.
е., в силу полноты ортоиормальной системы (Хх) в Хэ(б; р), ! иь = (и„Х„)р — — риэХ4 !(х, Ь„= = (их, Х,)р. (11) Р"Л, Итак, для решения и(х, 1) смешанной задачи (!)— (2) — (3) получено формальное разложение по собственныы функциям (Х4) оператора Ь, м(х, С) = ~ч ", (аесов УЛа Ю+ Ь, з(п )у Л„Ю) Хэ(х). (12) ь ! мвтод ФуРье Этот ряд назовем 4орма»»нам решением смешанной задачи (1) — (2) — (3); й-й член ряда (12), равный Т, (1) Х* (х) =* У»Х» (х) » 1п ф' Лд (+ а,), где (ч'» 'У а,+й», з)па„= —, сов и»= —,, а/ » э а» »» М»' н„' представляет собой так называемое гармоническое но»ебание с собственной частотой )/Л» и амплитудой М»Х»(х).
Последовательность чисел )/Л», 1/Л,, ... называется спектром соботаенных частот колеблющейся системы. 2. Неоднородное гнпербояич скос уравнение. Изложим другой, более общий, вариант метода Фурье, пригодный дяя построения формального гепеиия смешанной задачи также и для неоднородного уравнения гиперболического типа рФ= — (.и+Р(х, 1).
При каждом 1) 0 разложим решение и (х, 1) задачи (13) — (2) — (3) в ряд Фурье по собственным функциям (Х»', оператора»'., <о и(х, 1) ~', Т»(1)Х»(х), Т»(()=(и, Х,)р. (14) » ! В силу (2), (14) и (11) неизвестные функции Т, (г) должны удовлетворять начальным условиям: Т»(0) = ~ р(х) и(», О) Х»(х)»(х=(и„Х») =а», Т»(0) р(х) д' Х„(х)бх=(и», Х„)р — — 1/Л, Ь». ди(х, О) (15) Составим дифференциальное уравнение для функций Т„. Умножая скалярно уравнение (13) на Х» и производя формальные выкладки, получим д»и д» Г Д» Р- л- Х»»(х = —, 1 Ри Х, бх = —, (и, Х,), = д = — (Еи, Х»)+(Р, Х„)= — (и, ЕХ»)+(г, Х»)= — Л»(и, Х»)р+(г, Х„), СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ~тл.
тг т. е., в силу (14), фуннции Т, удовлетворяют уравнению Т»+Л»Т»=с»(1), й=1, 2, ..., (16) с»(1) (Ь', Х») = )г" (х, 1) Х»(х) о(х. (17) где Решая задачу Коши для уравнения (16) с начальными условиями (15), имеем (см. 5 13.1) Т, (1) = а» сов+' Г»1+ Ь» з (п ):Г(+ с + — ~ ~ с»(т) з(п)l Г»(1-т) г(т. (18) о Подставляя выражение (18) в ряд (14), получим формальное решение смешанной задачи (13) — (2) — (3): и(х, 1)= ') ', (а»соз~Г»1+Ь»з(п 1/Г»1+ » 1г += с»(т)з(пУГ»(1 — т)о(т Х»(х). (19) Т (х, 1) = С з(п (о»1) р (х) Х; (х).
(20) Тогда ໠— — Ь» О, с»(1)=Сяп(Ы)(Хи Х»)»=Сбг»з1пго( и, следовательно, в силу (18), Т» (1) = = ейп (гот) з! п )I Г» (1 — т) Нт = Сб» Г =)ц~ Со» ' и — — = Йп)' Л;1 — з(пм1). Ю» Л,,1 Отметим, что первые два слагаемви в ряде (19), в силу (12), дают формальное решение смешанной задачи при Г=О; третье слагаемое есть решение этой задачи при и»=и»=0. Пусть и,* и, 0 и метод етпьа Поэтому формальный ряд (19) сводится к едидственному слагаемому и (х, 1) = — 7 . з(п )Г'Х;( — з)п а() Х,(х), (2!) <эз 1. которое является фактическим решением задачи. Прн го-~-~'Ц решение (21) принимает вид и(х, ()==1"" ' — (сох)'Х;(1Х~(х).
(22) Из формулы (22) следует, что под дейатвнем пернодического внешнего возмущения (20) с частотой, равной одной из собственных частот )/ Х;, амплитуда колебаний х,г/ рис. 103. неограниченно возрастает при 1-~со, т. е., как говорят, имеет место явление резонанса (см. рнс: 103). 3. Параболическое уравнение. Рассмотрим в цилиндре Ц =Ох(0, со) смешанную задачу для уравнения параболического типа (см, $ 4.5): Р ас ™+ "(«, 1)1 (23) и !к-о ио(х)~ х ен ~ (24) пи+() й„— ! =О, 1~0. (25) Для построения формального решения смешанной задачи (23) — (24) — (26) используем метод Фурье в форме, данной в 2 32.2.
В соответствии с этим методом решение Ато СМЕШЛННЛЯ ЗАДАЧА н(х, 1) ищется в виде ряда (14). А(ля функцяй Т, Щ получим задачу Коши: Т»+)»Т=с»(1), Т„(0)=а», й 1, 2, ..., (26) где с,(1) и а» определяются равенствами (17) н (15) соответственно. Решая задачу Коши (26), получим (см. 3.!3.1) Т»(г) а»е» +)с»(т)е»( ')г(т, ( 7) о и, следовательно, формальное решение смешанной задачи (23) — (24) — (25) выражается рядом (*. ()- А ~»~-"'+!»().-'~'-"д.]Х.(). (28) » 1 о 4. Уравнение Шредингера. Смешанная задача для уравнения Шредингера (см.
9 2.7) 1й — = — — (э)р + У (х)»)); (29) »р](.о = ф» (х), х ~ С; (30) а»р+()~;-~ О, 1)0 (31) рассматривается так же, как н смешанная задача (23)— (24) — (25). Для функций Т, имеем следующую задачу Коши: ЙТ» — ))»Т» = О, Т» (0) = а» = (1()о, Х»), (32) откуда — — 'А Т» (1) = а»е (33) и, следовательно, формальное решение смешанной задачи (29) — (30) — (31) выражается рядом ») )р (х, 1) = ~ч ', а»е " " Х, (х), »-1 «» где Х» — собственные функции оператора Ь прн р= —, 2(»о' (7=У н р 1. 5.
Эллнптнческое уравненне. Рассмотрим в конечном цилиндра Ц,= — Сх(0, 1) краевую задачу для уравнения ат! МЕТОД ФУРЫ эллиптического типа: р-» —— 7.и+г (х, !); и!с-»=*но(л)~ и!с-! = и!(л) тек б аи+ () — ~ О, О ~ ! Ф:; !. (35) (36) (37) Формальное решение этой задачи ищем в виде ряда (14). Неизвестные функции Ть(!) должны удовлетворять уравнению Т; — Л»Т„=с„(!), й= 1, 2, ..., (38) и» (!) = Ть (!) — а„— Ь„ ьл 1' л (! — с) ьл Ул»с »»УЛ»С»» Л ! удовлетворяет уравнению (38) и граничным условиям э (0)=!с»(!)=О. Поэтому эта функция выражается формулой (см. $22.2) ! и»(!) = — ~,рь(1, т)с„(т)с(т, (40) о где ~ з)с )с'Ль ! з» ')с Л» (! - т), 0 ~ ! т, .,(г, ъ) В~Л»»Л)'Л»С ( з)с)l'Ль (! — !) з)с)с'Ль т, т«!«1, — функция Грива краевой задачи (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
