Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Пусть и,— соответствуюшая собственная функция, ро(г) = — )А"*(г, ь) ро(ь)й5с = = — — „~ (, '~! ро (1) й5ы г ~ 5. (2?) 5 Мы знаем, что роев С(5) (см. З 18.8). Докажем, что ~)А К)й5=С- О. (28) 5 Пусть, напротив, С О. Составим потенциал простого слоя с плотностью р, (потенциал Робена): Усо! (г) р, К) 1п — й51. ! (29) Функция У'о' ыС(йо) гармонична вне 5 и, в силу условия С= О, У'о'(со) =О (см. з 31.2). Далее, из (!2') и (2?) вытекает, что ее правильная нормальная производная на 5 изнутри равна нулю.
Отсюда, так как решение внутренней задачи Нрймана единственно с точностью до аддитивной постоянной, заключаем, что У"'(г) =соп51 = = С„г ен Й. Но тогда, в силу единственности решения внешней задачи Дирихле (см. 4 30.1), Уни (г) =С„г енот, и, следовательно, ро(г) =О, ген 5, что невозможно. Таким образом, С~О. Отсюда, рассуждая, как и в 9 28.4, заключаем, что ) = — 1 — простое характеристнче скос число ядра Юо (г, ь) и, стало быть, ядра во (г, ь). Нормируем собственную функцию ро так, чтобы С=1. По доказанному соотаетгтвуюший потенциал Робена У"!(г) * соп51, губ.
По третьей теореме Фредгольма инте! ральные уравнения (22) и (22") при А.= — ! разрешимы тогда и только тзц УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 457 тогда, когда их свободные члены ) и у ортогональны к собственным функциям р, и 1 соответственно. Для внешней задачи Дирихле это условие принимает внд — ~ [и, (г) — и] рв (г) д5 = О, 1 5 т.
е., в силу (28) (при С=1), оно всегда может быть удовлетворено за счет надлежа- лэ щего выбора постоянной сс, а = ~ и," (г) р, (г) д5. (30) 5 Итак, справедлива следующая Теорема 2. Внешняя задача Дирихле разрешима нри Х любой и; й С (5). Внутренняя задача Неймана разрешима при любой и, е— : С (5), удовлел1иоряю. шрй условию разрешимости (4).
4. Решение краевых задач Рис. 101. для круга. Для окружности 5л интегральные уравнения (22) и (22*) легко решаются, н это дает возможность построить решения краевых задач длЯ кРУга (2л в Явном виде. Действительно, в силу соотношения (см, рис, 101) 1 г !' ~ г — ь !а+ )т2+ 2В1г — Ь ( СОв ср,С, ( Ь ( = )т, (31) получаем Ю(г, ь) — 25 — — — =Ж*(г, 1,), г, ~аа5я. п(2 — ~1 ги1т Поэтому интегральные уравнения (22) и" (22') принимают единый внд: «(г) — ~ д 1 «(ь)д5+г(г), !г!=)с. (32) Решая это уравнение (см. э 18.1), получим: «(г) — и, (г)+ —, и, (ь)Ж (33) 1 ! я 488 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ч при )1 1, !'= — — ' (внутренняя задача Дирихле)! чо л ие (г) 2н~й ~ ию ©1(5 !, ! 1С, и а= 2 л ~ и,(ь)1!5 ! 1С1=Я и1 а при Х вЂ” 1, г= — ' — — „(внешняя задача Дирихле); (34) р(г) = — „и, (г), если ~ и, (ь)05=0 (35) ! 1С1=Л при Х= — 1, )=-'- (внутренняя задача Неймана); я р (г) = — — „и," (г), если ~ и1" (ь) г(5 = 0 (36) ! ,сг а при 1=1, ) = — — ' (внешняя задача Неймана).
Подставляя выражение (33) для плотности «(г) в потенциал двойного слоя (20) и пользуясь формулами (14) и (31), получим решение внутренней задачи Дирихле: !21 и 1. 1еч=я ! 1 — 2Й(г — ь!СОВА,с —,'г — 1,'~ 2!! 3 "(~) 111 и 1т, и т. е. Это решение представляется формулой (интегралом) Пуассона и(г) — „й ~ и, (ь) !,' Юс, !г!()1. (37) !11-Л Аналогично, подставляя выражения (34) для плотности «(г) и постоянной а в сумму у'"'(г)+а, получим эьп УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ решение внешней задачи Дирихле: и (г) = — „Н ~ и,'(~), 1, НАС, ~ г,') )С. (38) л Наконец, подставляя выражения (35) и (36) для плотности р(г) в потенциал простого слоя (21), получим соответственно решения внутренней и внешней задач Неймана: и(г) -„~ и, (ь)1п, 031+С, 1г1()с, (39) ~С1 Л и(г) — „~ и,'(ь)1п1г — ь~б51+с, 1г~)Я. (40) ~с~ л 5.
Функция Грина задачи Дирихле. Функцией Грина (внутренней) задачи Дирихле для (ограиичениой) области 6 называется функция Р(г, ь), обладающая свойствами (ср. с 9 29.1): при каждом ь ев 6 представляется в виде Ф(г, '() = — „„1п ~ — -р-+д(г, Р, (41) 1 1 где функция а(г, ь) — гармоническая в 6 и непрерывная на 6 по г и удовлетворяет граничному условию У (г, ь) ~газ =О. (42) Из принципа максимума вытекает, что функция Грина удовлетворяет оценке О(р(г, Ь)(~ 1п ., ген6, ~~6, гчь~, (43) где А) — диаметр области 6. Функция Грина Р(г, Ь) обладает и всеми остальными свойствами, изложенными в 9 29.1.
Пусть теперь 6 — односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой о, и в = ш (г) — функция, конформно отображающая область 6 на единичный круг (ьэ( ( 1 (рис. 102). Тогда функция со(г, ь)= (44) 1 — ®(Ю) м(ь) конформно отображает область 6 на единичный круг ) эь1(1, причем точка ь ен 6 переходит в О. Поэтому эта 4ОО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1тл. ч функция при каждом ьнв 6 представляется в виде г» (г, ь) (г — ь) ф (г, ь), (46) где функция ф(г, ь) — аналитическая в области б, 1р(г ~)чьО, ген б и 1ре С(б) е).
проверим, что функция «(г, ь)= — ~„!пгы(г, ь)!= — ~„йе!пгв(г, ь) (46) ! 1 есть функция Грина задачи Диригле для области б. Действительно, ие (4Ь) вытенвет, что функция (46) представляется в виде (41), причем функция д(г, ф-- — '„Ж!ф(в, $)!- — Т~йе!н'ф(г, й), как' вещественная часть аналитической функци и )п1р(я, ь), 4р(г, ь)чьО, гармонична в б и, непрерывна на б. Далее, в силу равенства !ы(г, ь)!=1, ген 8, функция (46) удовлетворяет и условиго (42). Для примера построим функцию Грина для круга ~ г ! ( Я. Функция маг ~) Ж*:.й. и' — вь отображает крут !г~()г на единичный крус !го!(1, причем точка ь переходит в О.
Поэтому, в силу (46), есть функция Грина для круга ~г! )с. *) Си., ивиример, М. А. Евграфов !1! гл. Ч и 1Х. й зз1 уРАВнение лАплАсА нА плоскости йй! 6. Решение задачи Дирнхле для односвязной области. Метод конформных отображений позволяет получить предстаВление для решения задачи Дирихле для любой односвязной области.
Это представление является обобгцением формулы Пуассона. Сначала, пользуясь равенством ггз — ~ х Р )х ~+ з е представим формулу Пуассона (37) в виде и (в) *= хсе к-,Т ~ и, Я ~-+ — - -~-, (48) !с! и .Т)усть функция ио непрерывна на границе 5 односвязной области 6.
Пусть, далее, функция г=г(в) конформно отобран<ает круг ~в~~1 на область О и в в(г)— обратное отображение (рис. 102). Тогда ген С((гз); пруположим, что в евСх(С). При этом отображении функция из(г) перейдет в функцию и,[е(в)], непрерывную на окружности )в!=1. По формуле (48) построим решение задачи Дирит)ле для круга ~в((1 с граничной функцией из[а(в)$ (у(в) = йе — „,. ~ из[а(ш)~ — —.
! Г и+в дм !м! ! Переходя в этой формуле к старым переменным г н ь, в в(г), ю оз(й)„получим искомое решение задачи Днрнхле для области 6 с граничной функцией ио! и(г)='ххе — „, ~ иа(ь)-Я~ -У- — зй)-г)ь, аанб. (49) Замена н кж Как известно, вещественная н мнимая чаотн ана. лнткческой функции являются гармоннческкмн функциями.
Обратно, если функцня и (а) — гармоническая; то, построив сопряженную функцию !*>-1'!- — е.г — ь);-с. с-ь~ь ди ($) ди (С) дч д1 получим аналитическую функцию г(я) и(я)+го(з). у которой вешественная часть есть функция и (х). Это дает возможность использовать аппарат теории аналитических функцнй прн решении н исследовании й[.
к аевых задач для гармонических функций на плоскости (см. . А. Лаврентьев н В, В. Шабат [11). уРАВнения ВллитзтичестсОГО тинА Т. Увразшевнв. а) Пользуясь формулой (42) 4 0.5 н фуидвмен- 1 гальным решением — оператора Коши — Римана (см. 4 11.10), вывеств формулу Коши — Грина: если и ш О (6) П С (6), то справедливо представление 1 Г 1 ди(ь) 1 Г и(с) ги(г), ген 61 Щй,+ ' д: ~ пд г — ь дО 2и1 2) г г 1О, геа6ь о Ь) Пользуясь а), доказать: если и ед О (6) ЛС (6) и удовлетворяет ди головню Коши — Римана, ==О, ггм6, то и(г) — аналитическая дг функция в области 6 и справедлива формула Коша 8 с) Показать, что потенциал простого слоя для окружности г~ М с плотностью р 1 рама ) — 2ий! )1, 1 — 2ий(п)г), 1г!зн)с.
41 и 11 и - и)!3/1п )! — -) — — ! а,з, У(г)= 1 2! 2 — и)1з 1п/з ), ! г,' ( 12, 1г!))!. е) Показать, что следующие функпни являются функциямв Грина гздачи Дирнхле: дт.~ для полуплоскостн р) О '); г — и ! ) ° ° гг ~ ~«ег о; (г — ь) (г — ь') 1: г' — ьз — ~ для четверти плоскости к ) О, р ) О ')1 гз Гй ! е' ь — 1 для полосы Осу(й ез, з' 2-1 — 1п 1 2и 1 — 1и 2и — !и ! 2и 1и ! 2и ') См. примечание на стр.
42$. д) Пользуясь с), покарать, что логарифмический потенпяал площади для круга ~ г ~ ()! с плотностью р=! равен 6зП УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 463 1) Показать. что решения задач Дирихле и Неймана для полу. плоскости у) О представляются соответственно формулами ) ию(юь) у Л$1 и а (х — З)ю+ ую' 2п — — и! (6) 1п ((х — з)а+ уз] аз+ С, Доказать, что и(г)=аз+ 7,1 — 1 (аюсозИ+Ьаз)пйй) кч /1х~)а ю7~)() а ! — решение внутренней задачи Днрихле для круга 1з ' С )С с юС йп %~( )з !ю и(а) аю+ юуа — ) (аз сов йй+Ью зйю И) '! 1 2 ! внешней задачи дирихле с июю !р; вч ~з1» (г) ~у йюй ! (аю сов 66+Ьа з1м И) 1 С а ! — решение внутренней задачи Неймана с и, =!р при условии аз=О; 1!(аю! и (г) — ум — (аю соз И+Ьа мп И) +С 2ю Ь1з 1» а ! — решение — решение внешней задачи Неймана с ию !р при условии аю О.
если ию(й)=0(1$!! ю), из=О(($1' ю), !с!-юоо при любом е)О, й) Пусть функция !р(6) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье на (О, 2п), <р(6)=аз+ ~ (аасозИ+Ьаа)пИ), е 1 ГЛАВА т'1 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА В этой главе будет рассмотрена смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типпер и дано обоснование метода Фурье. $ 32. Метод фурье Одним из наиболее эффективных методов решения многомерных краевых задач является метод Фурье (разделения переменных). В 5 26 этот метод был применен к краевым задачам на собственные значения. В этом параграфе метод Фурье формально применяется к решению краевых задач для уравнений различных типов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
