Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 41
Текст из файла (страница 41)
б) Пусть К~и С(х)О), еь" (х) О, хсо. )!оказать, что обобшеиная функпия Ж (х) 6 (х)+ е~ (х). еф = ~~, ЯГ ь УУ ь ... а Ю з раз есть фундаментальное решение оператора (6 — Ю) а в алгебре Я„' (см, Я 7.7 и 7.8). При атом ряд для еЯ (х) сходится равномерно в каждом конечном промежутке в удовлетворяет интегральному 2аб (гл. зч интегральные уРАВнения уравнению Вольтерра к Ю (х? = ) Ю (х — Р) Ю Ы г(у+ Ю (х), х ~ О.
й Функция оЯ'(х — у) явчяется резольвентой ядра егз (х — у) при Л !. е) Ноказать, что при Л, ~ ! интегральное уравнение Милна 0 ко ! г'е' ф(.)-л за'(.-Е)ф(р) Ь, ~'(1)= - 1 — Я 2 1 ( имеет единственное решение кр=о в классе ограниченных функций на 10, со). !) Наказать что при Л с )/2 решение интегрального уравнения ф(х)=Л ) е 'к "' ф(у) г(у+!(х) единственно в классе ограниченных функций в )!' и выражается формулой ф (х) 1(х) + ~! е — У! - зх ! — ы ! ) (Е) к(е Л 1У(-2Л .) й) Нля интегрального опера гора Пайерлса г — а'к — «1 ! доказать опенку АГ = А'* ~ - — (! — е ав), где Π— диаметр области 6 с)1з.
$ 18. Теоремы Фредгольма В этом параграфе для интегрального уравнения Фредгольма ф = Жф-(-) (1) с непрерывным ядром аь" (х, у) и союзного к нему уравнения ф=ЛН ф.+д (1") будут доказаны теоремы разрешимости Фредгольма. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Яд о р и Ю (х, у) = д,)г (х) Лтг (о), (2) =! где (, и 8! ы С(Й), называется вырожденным ядром.
твоРВми ФРедгольм» а на Без ограничения общности можно считать, что системы функций (г!, 1~»( !т') и (д„1~ ! -М) линейно независимы. Действительно, если это не так, то, например, )!!! (х) =с»(! (х)+ ... + си !)»!.! (х) и ядро »Г(х, у), в силу (2), принимает вид дГ(х, у) »! — ! »! — ! »!-! ~ч ', 1! (х) д! (у) + ~ч„сд (х) дл (у),я ~! (х) д!» (у). ! ! — с н союзное к нему уравнение ф(х) Х 'У, 'й!(х) ~~!(у)»р(у)г(у+д(х). (3*) с Решения !р и !р интегральных уравнений (3) н (3') будем искать в классе С(б). Покажем, что эти уравнения сводятся к системам линейных ал!ебраических уравнений и потому могут быть исследованы и решены известными методами линейной алгебры. Перепишем уравнение (3) в виде !р (х) = Х ) ', сА (х) + ) (х), (4) где с;= ) ~р(р)й!(р)(р=(~р, ©) а (5) — неизвестные числа.
Умножая равенство (4) на й!» (х), интегрируя по области 6 и пользуясь (5), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений Действуя подобным образом, через конечное число шагов добьемся того, что в представлении (2) системы функций (!!) и (д!) окажутся линейно независимыми. Рассмотрим интегральное уравнение Фредголь»!а с вырожденным ядром (2) »р(х) =).
~Ч~~ )!(х) ~ д, (у) !р(у) г(у+! (х) (3) интеГРАльные уРАВнения !ГЛ. !Ч для неизвестных чисел с(, с» = Л ~ с; У )у» (х) г((х)'((х+ У) д»(х)Г(х) ((х. (6) с а Обозначая а„(= ') у»(х)Г'((х)((х, а»= )Г" (х)д»(х)((х=(7", 8»), (7) перепишем систему (8): с„=Л 'Я',та»/с(+а», й=1, 2, ..., (т'.
(8) ) ! Вводя матрицу А и векторы с и ас А=(а„), с=(с,; с,, ..., сл), а=(а,, ам ..., аА), представим систему (8) в матричной форме: с = ЛАс+ а. (9) Докажем, что интегральное уравнение (3) и алгебраи- ческое уравнение (9) вквивалена(ны. Действительно, если (р ~ С(6) — решение уравнения (3), то, как мы только что показали, числа с(='((р, 2(), !=1, 2, ..., /л/) удовлетво- ряют системе (8). Обратно; если числа сь (=1, 2,..., Ж, удовлетворяют системе (8), то функция (р(х), построенная по формуле (4), непрерывна на л( и, в силу (7), удовлет- воряет уравнению (3): и и !р(х) — Л ~ /'((х) (п((у) (р (у)((у — / (х) = Л ~ч ', с/г'/ (х)+ )=1 с (=( »/ (,) - л 3 /, (*) 1 у, ь„) )л г „/, (у) » / (у)~ уу - / (,) (=! а »=! =лил(.)(;-лХ,;,-»)-у.
» ! Обозначим через Р(Л) определитель системы (9), Р (Л) = ((е1 (7 — ЛА), (10) и через Мм (Л) — алгебраическое дополнеч(ие матрицы 7 — ЛА. Ясно, что Р(Л) н Мы(Л) — полиномы по Л, при- чем Р(Л)~0, ибо Р(0) =((е17=1, 288 $ пя ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА Пусть (комплексное) число Х таково, что 77().) ~0. По теореме Крамера решение алгебраической системы (9) единственно и выражается формулой и с= (;) ХМ Яа1, й=1,2,,И (и) !' = ! Подставляя найденное решение (11) в формулу (4) и вспоминая определение чисел а», получим решение интегрального уравнения (3) при О()) ~0 в виде !р(х) =~ х ~, И; ())Л(х) ~ а»(р))(р)г(р+! (х).
(12) !, »=! й С другой стороны, по теореме $17.2 при достаточно малых )! (и тогда О(Х) эь О) это решение выражается через резольвенту в»7(х, р; Х) по формуле (20) 8 17.2. Следовательно, вЯ (х, у; л»!) = — ~ М,» ().) !»! (Х) д» (у). (13) с»=! Таким образом, резольвента »Я (х, йч й) вырожденного ядра есть рациональная функция ). и, стало быть, до.
пускает мероморфное продолжение на всю плоскость комплексного переменного Х (см, 8 !7.2; заМечание). 2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром. В предыдущем пункте мы построили в явном виде решение интегрального уравнения с вырожденным ядром. Здесь мы продолжим исследование таких уравнений и установим условия их разрешимости. Как и уравнение (3), приведем союзное к нему уравнение (3') к эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений. Имеем ф(х)=7!,У', !(!д!(х)+д(х), (4») 1=! где !г! = (ф, г!) — неизвестные числа.
Соответствующая система линейных алгебраических уравнений, эквивалентная уравнению (3'), имеет вид г(»= Х~х~ ()»!г)!+Ь„й= 1, 2, ..., !у, (8») 1=! 10 в. С, вллдииирои >гл. >ч интегРАлы>ыс уРАВнения где ()д!= ~!д(х)д!(х)с(х=й!д, Ьд=(аг, )д).
(7') Таким образом, система, (8*) — союзная к системе (8): ед = ) А *ад+ Ь, (9*) где А' = (()д!) = (сс!.) = А', а(= (г(>, г(е, ", г(А), Ь=(Ь,, Ь„..., Ь,). Из курса линейной алгебры известно*), что определители и ранги матрицы и ее транспонированной совпадают. Поэтому, в силу (!О), с(е((! — /.А ") = с(е!(! — ).А') = г)е1(! — ).А ') = 0 ()>), (.14) гана (! — ХА') = гана (! — ХА') = гана (! — )А) = г). Могут представиться два случая 1. !/(Х)~0.
Тогда г)=>Ч и системы (9) и (9*) одно- значно разрешимы при любых а и Ь. Следовательно, уравнения (3) и (3*) также однозначно разрешимы при любых ! и х и эти решения даются формулами (4) и (4е) соответственно, !1. 0 ()>) = О. Тогда г) ( /Ч и, в силу (14), однородные системы (9) и (9*) имеют ровно по Ф вЂ” г) линейно неза- висимых решений: /, !»> сг»> сг»>т а(>з> /,(!»! ,(!»> ,р»» ( ! ' 3 ' '''» и)' ! ' а» '''» .А>/» а=1, 2, ..., )Ч вЂ” г).
Однородные интегральные уравнения (3) и (3*) будут также иметь ровно по /Ч вЂ” г) линейно независимых решений, определяемых формулами (4) и (4') соответственно: гр,(х)=) ~ сг»>! (х), >р,(х)=Х У, 'г(>нй»!(х)» (15) »=! ! =! з=1, 2, ..., )Ч вЂ” г). '] Используемые здесь сведения из линейной алгебры содер. >ка>ся, например, в кинге Д. В. Беклемишева [>1, гл, Ч. аз! теоРсмы ФРедгольмл е !в! Докажем линейную независимость полученных систем решений (ф„! =--з~ М вЂ” г)1 и (тР„1~ в~ М вЂ” г)).
Пусть найдутся такие числа р„в=1, 2, ..., М вЂ” г), что а! — е ~', р,гр,(х)=0, х~б, г =- ! т. е., в силу (15), и вг — е ~ 7г(х) ~~ ~с!.'!р =О, хе=О, !'=! ч=! Отсюда, в силу линейной независимости системы функций (гг, 1 ~ !'~ М), вытекают равенства м — д Х с(')р, = О, г = 1, 2, ..., № г.= ! Поскольку система векторов (с'г!, 1=-з( М вЂ” д) линейно независима в Й", то из последних равенств вытекает р,=0, в =1, 2, ..., М вЂ” а, что и доказывает линейную не- зависимость системы решений (ч!г).
Аналогично устанав- ливается линейная независимость системы решений (врг). Далее, для разрешимости системы (9) при Р (й) = 0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий ортогональности *): (а, а("!)=~ч~ агс)("=О, з=1, 2, ..., М вЂ” г).
(1б) г=! Условия (1б) зквивалентны условиям (1, чр,)= 11(х)тр,(х)г(х=О, 3=1, 2, ..., М вЂ” 9, поскольку, в силу (15) и (7), ) Г' (х) чр, (х) ггх = о =й,'У', ~1(х)й((х)г(хд(о=А'Я аД"=й(вз, в(г"), ! а г-! Итак, доказаны следующие теоремы, называемые лм!оремами Фредгольма. ') Это есть геометрическая форма теоремы Кроиекера — Капелла. 10' 292 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1Гл. !ч Теорема 1. Если 0(Л)~0, то уравнение(3) исоюзное к нему уравнение (Зв) однозначно разрешимы при любых свободных членах )' и д. Теорема 2.
Если 0(Л) =О, та однородные уравнения (3) и (Зь) имеют адинпкаггпе число линейно независимых решений, равное )У вЂ” а, где а — ранг матрицы I — ЛА. Теорема 3. Если 0(Л)=0, то для разрешимости уравнения (3) необходимо и достаточно, чтобы свободный член ) был ортогонален ко всем решениям ф„э= 1, 2, ... ..., )У вЂ” а, союзного однородного уравнения, (3 ). Из теорем 1 и 2 следует, что характеристические числа вырожденного ядра совпадают с корнями полинома 0(Л) и, следовательно, — их конечное число; ((алое, из формулы (13) для резольвенты вытекает, что.характеристические числа вырожденного ядра совпадают с полюсами его резольвенты (см. замечание 2 17.2).
Замечание. Может оказаться, что фуикции )1 и уг в представлеиии (2) вырожденного ядра зависят от комплексиого пара. метра Л, а именно: пусть й(х; Л) и уг(х; Л) иепреръвиы по (х, Л) в бх(7 и аиалитичиы по Л в круге (7 . В этом случае теоремы Фргдгольма 7 — 3 осиииотся Справедливыми при условии, что ! Л ) ( ы, Докажем, что определитель 0 (Л) — аналитическая футсиия в круге ~ Л ( ~ы. Деаствительио, элемеигы матрицы А, вычисляемые по формуле (7): аы(Л) ~дь(х; Л)/1(х1 Л)дх — аиалитические фуикции в круге 1Л ((ы. Поэтому, в силу (!О), Р(Л) — аналитическая функция в этом круге, причем 0 рдвЬО. 3.
Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром. )доказанные в предыдущем пункте теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром допускают распространение на интегральные уравнения с произвольным непрерывным ядром, Идея доказательства состоит в том, что непрерывное яд~о представляется в виде суммы вырожденного ядра и достаточно малого непрерывного ядра. Это дает возможность, пользуясь результатами 2 17 о разрешимости интегральных уравнений с малым ядром, свести соответствующее интегральное уравнение к интегральному уравнению с вырожденным ядром, для которого теоремы Фредгольма уже уйзановлены. Отсюда будет следовать вывод о справедли- 2ЭЗ Э ~В1 теооемы эоедгольмв вости теорем Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром в ограниченной области. Итак, пусть ядро Ю(х, у) непрерывно на бхб. По теореме Вейерштрасса (см, 5 1.3) его можно приблизить сколь угодно точно полиномами, т.
е. для любого е)0 существует такой полипом У (х, у) = ~ аоех"у", (! 7) о< жч-а <л что / М'(х, у) — К (х, у) ~' < е, х ен б, у ен б. Таким образом, ядро Л (х, у) представляется в виде Х(х, у) =У(х, у)+о(х, у), (18) где У(х, у» — вырожденное ядро (полипом) и Й(х, у)— малое непрерывное ядро, 16(х, у)1(е, хан б, уен б. В силу (18) интегральное уравнение Фредгольма принимает вид Ч =) Рго+)бог+1', (19) где Р и б — интегральные операторы с ядрами Ю(х, у) и й(х, у) соответственно, причем Р+б= К.
1 Покажем, что при ~) 1( — в классе С(б) интегральное уравнение (19) эквивалентнр интегральному уравнению с вырожденным ядром. Для этого введем новую неизвестную функцию Ф(х) по формуле Ф=т-габт. (20) По теореме 9 17.2 функция гр однозначно выражается через Ф по формуле вр = (7 — )об)-в Ф = (7+ Х)с) Ф, (21) где Рс — интегральный оператор с ядром оч (х, у', Х)- — резольвентой ядра Й(хв у). В силу (20) и (21) уравнение (19) принимает следующий эквивалейтный вид: Ф = ХР (7+ Ж) Ф+ ~ = ),ТФ+ ~, (22) где Т = Р + ХР К, (23) Вспомним, что резольвента Я'(х, у; Х) непрерывна по (х, у; )о) в бхбх(l, и аналитична по )о в круге','Х,' -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
