Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 37
Текст из файла (страница 37)
!з, и,„~ — — ие! — =и,. (22) !ЕЛ е,з Л С помощью функции Римана представим решение шдачи Коши (1) — (20) в явном виде. Теорема. Если Х вЂ” кривая класса Се, функ1(ин а, К с, а„и Ь„принадлежат С(П), 7'ев С(б), ие[х, о(х)) я нв С'([О, хе1) и и,[х, о(х)) ~ С1([0, хе]), лю решение задачи Коши (1) — (20) существует, единственно и выражается формулой Римана и(х У) = 2 ио(хь У)еЯ(хм У х У)+ ! + — ие(х, у1)еЯ(х, у„х, у)+ 1 / еЯ ди ие деЯ + ~ [( — — — — - — +Ьи,-Я~й~- 2 д4 2 дŠ— ! — — — —" — +аи~еЯ)й7)1+ ') еЯ[й$й0, (23) I еЯ ди и„деЯ 2 дч 2 дч хе где б,„и Х„„' — части области 6 и кривой Х, лежащие между характеристиками а = х и т! = у', у = о (х1), у,=о(х) (см.
рис. 66). Доказательство. Пусть и(х, у) — решение задачи Коши (1) — (20). Так как 7 = Еи ~ С(б), то и„„в= С(б). Фиксируем точку (х, о) из области 6. Применяя формулу Грина (14) к функциям и(5, 71), о = = еЯ ($, тб х, у) и к области бко получим 1 "" =1(ФФ--"Т+ ')~= ~хе 1 +д12 д 2 д + )1= и 1" 7еЯ дл и деЯ 1 ~ 2 д$ 2 д4 хе + ~ —. — — — — + аиеЯ) йЧ1. (24) /еЯ ди и деЯ 2 дч 2 дч 258 етндлментлльнов гашение и злдлчл коши !гл.
гн Пользуясь соотношениями (15) — (17), преобразуем первые два слагаемых в правой части равенства (24): к У (ФФ вЂ” М+Ьия)! ДБ- к к =И( й+" — ')1= "~=Я" "- 1 к, к, ! ! = — и (х, у) — -~ и (х„у) Ю (х„у; х, у), и аналогично." ) ( — — — — — '' +аиЯ) ~ г(Ч = — и(х, у) — — и(х, у,) егт (х, у,; х, у). ! ! Подставляя полученные выражения в формулу (24), получим представление (23). Локажем единственность решения задачи Коши (1)— (20). Действительно, если и — решение соответствующей однородной задачи (т.
е. при !'=О и,=и,=О и тогда, в силу (22), и„!х = и '!х =0), то формула (23)- сразу даст и=О, что эквивалентно единственности (см. 4' 1.!1). Осталось доказать существование решения задачи Коши (!) — (20). Для этого достаточно установить существование решения этой задачи при и,=и,=О. действительно, вводя новую неизвестную функцию о= и — и,[х, о(х)) — [у — о(х)) и„[х, о(х)), мы придем к уравнению (1) с измененной правой частью ), и нулевыми данными Коши на Х.
Из условий гладкости функций и„и, н. о следует, в силу (22), что и„[х, о(х)) ен С'([О, х,]), и потому Ь=~, ен С(6). Таким образом, осталось проверить, что функция и (х, у) = ~ етг (5, Ч', х, у)1Я, Ч) г(в г(сь ) ен С (б), (25) ку есть решение задачи Коши (1) — (20) с нулевыми данными Коши, Очевидно, и ен С(б) н и)д =О. Йалее, в % ни МЕТОД РИМАНА силу формулы (18) еда(кь, Ч~ х, д) =Ю* (х, у; Уз, Ч), (26) так что функции ОЯ'„($, т)', х, д), уЯ.'у($, Ч; х, у) и '«у«у (В, Ч; х, у) непрерывны на П х П и Ь, „у,-Я' ($, Ч; х, у) = О. Поэтому формулу (25) можно дифференцировать по х и у по классическим правилам дифференцирования интегралов по переменной области, — д /Й$«(Ч+ ~ е4 (х, Ч1 л, У)~(х, Ч)«(Ч~ ку д д д ) - ~+1 ок «~ д д д ) к 1+д д (к' у' ' д))(~' у) к+ ку +у«у (х, 9, х, у))(х, у)+ ~ — (х, т), х, у))(х, Ч) Й~. Из этих формул заключаем, что ияС'((1), и„уяС(с«) и и )з =О.
Пользуясь равенствами (16), (26) й (!7У)„ убеждаемся что и удовлетворяет уравнению ) и=(, ). = ~ (., „,Л) (~(Ч+ ку 4-11 ~*. «)кь. «;*. «)~- «к. «'*. «)1!к, О««-'; « + ~ 1) Ь (х, у) уМ (кз, д, х, у) + — (кз, д, х, у) 1) (кз, у) Ыкз + ~ = «1 - ~ ~п(х, д).-~" (х, у . Ч)+ 'д ' (., д; х, Ч) ~) (х, Ч) бЧ+ у1 + ~ ~Ь (х, у) еМ * (х, у1 з, у) +, „(х, у; $, у) ] х х)$, у) а~+~=~. оу вкндаминтальнов рлшвиив и задача коши (гл. гп Теорема доказана. Отметим некоторые качественные следетвия, вытекающие из формулы Римана (23).
Из этой формулы видно, что решение задачи Коши в точке (х, у) полностью определяется значениями данных 1, )зе и и, в замкнутой треугольной области (т,з — области зависимости точки (х, у) (ср. 4 14.4). Поэтому, если эти данные изменять вне фиксированной области (г„„* (с соблюдением надлежащих свойств гладкости), то и решение будет меняться лишь вне этой области. Таким образом, мы приходим к следующему выводу: к данному решению задачи Коша, зафиксированному в области ст„.а., можно присоединить вдоль характеристик с =х* и т! =у*, вообще говоря, различные реизех ния, являюи!иеся ега продолжением, 3 а м е ч а н и е. Существование классического решения задачи Коши для уравнения колебаний струны установлено при всех )тп шС'П)0) (см 1!ЗА).
Здесь мы доказали существование решения задачи Коши для уравнения (О при всех /шС(б), Ослабление требований на 1 связано с тем что решение уравнения (1) ищется в более широком классе функоий извС'(д), и шС(б) (в атом случае и„„=л„зм С(С)). й 16. Задача Коши для уравнения теплопроводности Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности стрбится методом, аналогичным методу, изложенному в у !3 для решения этой задачи для волнового уравнения. 1. Тепловой потенциал. В у 1!.6 было показано, что функция !ки е(т) Ж(х, 1)= „е является фундаментальным решением оператора теплопроводности.
Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при 1(0, бесконечно дифференцируема при (х, 1) чь(0, О) и локально интегрируема в )та+а. Более того (см. $ 6.5, 1)), ) Ж(х, 1) дх = 1, 1) 0; (1) Ж (х, 1) Ь (х), 1-з + 0 в йу' ()1"). (2) График функции Ж(х, 1) при различных 1)0 (1,( (1з(1а) построен на рис. 67. ~щ .злдлчл коши для' телвнвния ткплопеоводностн 26! Фундаментальное решение Ж(х,!) дает распределение и мпературы от точечного мгновенного источника 6 (х) 6 (1). ! !оскольку 6(х, !) )О при всех 1)0 и лен Р', то, стало ~ ыть, тепло распространяется с бесконечной скоростью.
! !о зто противоречит опыту. Следовательно, уравнение тсплопроводности недостаточно точно качественнб описывает механизм передачи тепла. Тем не менее зто уравнение Рис. 67. лает хорошее количественное согласие с опытом (например, при больших х и малых ! величиной Ж(х, !) с большой ~очностью можно пренебречь).
Более точное описание процессов переноса (тепла, частиц) дается уравнениями переноса (см. $ 2.4). Пусть обобщенная функция Ген.й" (сс"'з) обращается в нуль при !.(О. Обобщенная функция У = 6 а!', где 6 — фундаментальное решение оператора -теплопроводности, называется тепловым потенциалом с плотносгпью ). Если тепловой потенциал )г .
существует в ~ы' я"~'), ю, в силу теоремы й 11.3, он удовлетворяет уравнению теплопроводности сч +)( ' (3) Из теоремы у 7.6 следует, что если Г' — финитная обобщенная функция и обращается в нуль прн ((О, то тепловой потенциал заведомо существует в Ы'ф""); 2б2 фондьмвсотлльное вешания и зьдьчь коши ~гл, ги Выделим еще один класс плотностей ), для которых тепловой потенциал существует. Пусть М вЂ” класс функций, обращающихся в нуль при ((О и ограниченных в каждой полосе 0~( —.. Т. Теорем а.
Если ) ен М, то тепловой потенциал )с с плотносспью ) существует в 'классе М и выражается формулой с ~к — о ' )с(х, ()= о о ~(-' ) „е "*с' — ис(бс(т. (4) д д (2а)сп(С вЂ” т)]" Лопсенциал )с удовлетворяет оценке ()с(х, ~)/~( ьнр /~(Е, т)/, (>О, (5) о<с:сс о и начальному условию с ми 'ос (х, () †-ь О, ( -~ + О. (6) Если к тому же функция ) он Со(с ол 0) и все ее производные до второго порядка включительно ограничены в каждой полосе, то )с ен Со(()0) ПС' И)0). Ло к а з а тел ьс та о. Так как функции 8 и ) локально интегрируемы в Йаос; то их свертка о оС'=~ ~ ('(б, т) о (х — $, ( — т) й',Ит о ва существует и является локально интегрируемой функцией в йс"", если функция .с й (х, () = ~ ~ ) ( (2, т) ~ Ж (х — $, ( — т) й', йт о яа локально интегрнруема в )та"с (см.
2 7.4). Проверим, что это условие выполнено. Так как )с=О нрн с~О, то достаточно установить, что функция )с удовлетворяет оценке (6) при (- О. Это следует из равенства (1) в силу теоремы Фубини: "(х~ ()~ знр ~)(б т)~~с)Ж(х — й, ( — т)дйт= о<с~с о знр (~($, т)1, ()О. (7) о<с<с т о !о! ВАдАЯА коши для уРАВнения теплОПРОВОдности хаз Таким образом, тепловой потенциал 1/ =Во( представляется формулой (4).
Так как ~ У ~ ~п, то этот потенциал обращается в нуль при ! -'0 и, в силу (7), удовлетворяет оценке (5). Это значит, что У он ог. Из оценки (5) следует, что У удовлетворяет начальному условию (6). Совершая в формуле (4) замену переменных интегрирования $=х — 2а)/ву, т=( — в, представим ее в виде У(х, ()= — „, ) ~ г(х — 2а)/в у, г — з)е-!о 'ауйз. (4') о яо Пусть функция ) ен Со(! ~ 0) и все се производные до второго порядка включительно содержатся в классе М.
Тогда, пользуясь теоремами о непрерывности и днфференцируемости интегралов, зависящих от параметра (см. $1.5), из формулы (4') н из равенства дг(х, !) ! 1 (' д( д! оопп ! ! д! = — о ( — (х — 2а )/ в у, г — в) е- ! о Р о(у йз + йо ~ )'(х — 2а)/'(у, + 0)в-!Вийу выводим, что функции У, Уор Уп У р Уо! непрерывны при (=л:О, а Уи непрерывна при ()О. Теорема доказана. 2. Поверхностный тепловой поФеициал, Тепловой потенциал Унч с плотностью (= и,(х) 5(!) называется поверхностным тепловым потенциалом (простого слоя с плотностью ио), У <о! = Ж о (ио (х) б (()1 = Ж (х, () о ио (х).
Если и, финитна в )г", то поверхностный, тепловой потенциал У!о! заведомо существует в .О!' ()со ') (см. З 7.6). Следующая теорема дает еще один признан существования поверхностного теплового потенциала и его свойства. Теорема. Если и,(х) — ограниченная функция в )то, пю поверхностный тепловой потенциал У!'! существует Ш ФундлментАлъное Решение и ЗАДАЧА коши !Гл, и! в но, принадлежит классу С (1) 0), представляется интегралом Пуассона л — ЕИ У!о!(. !) (!) 1 и (оь) ол! дь (8) -(,а, д)!-)л,', ,"л и удовлетворяет неравенству ~ У!'> (х, 1) ) ( епр / и, ($) /; 1) О. (9) Если к тому же функция и,(х) непрерывна в )сл, то по!пенциал У'о' е= С (! ~ 0) и удовлетворяет начальному условию У"" !! о = и, (х).
(10) Доказательство. Так как функцио( й(х, 1) =~ ~ио($),'Ф (х — $, 1)до обращается в нуль при 1(0, а при 1)0, в силу (1), удовлетворяет оценке (9): й(х, !) (вирил ио(е) ~ $ о(х — е, 1) да=вор / ио(5) !, е $ то эта функция локально интегрируема в Пл'. Следовательно, поверхностный тепловой потенциал У!о! = = Ж (х, !) о и,(х) представляется формулой (8) (см. 9 7.4): У,о!(х 1) =~ ил($) Ж(х-$, 1) де, (8') обращается в нуль при 1(0 и, в силу неравенства ! У!'! ~ (!о, удовлетворяет оценке (9).
Это значит, что у!о> ен Далее из формулы (8) следует; что У!'>~С (1)0) (см. 9 1.5). Пусть теперь и,— непрерывная ограниченная функция в )тл. Докажем, что потенциал Унп ~ С(1 =- 0) и удовлетворяет условию (10). Пусть (х, 1)-~(х„О), 1)0 и е)0 — произвольное число. В силу непрерывности и, (х) существует такое число 6)0, что !ио(з) — ио(хо)!(е при )5 — хо((26 Поэтому, если (х — хо((6, то (х — у — х,)(26, если пч задача коши для трлвнвния твплопроводиости 265 ,у,'(6, и в силу (1) и (8') при 1)0 имеем ~)г~о~(х, 1) — ио(х) !«=.$ !ио(Е) — ио(хо)/К(х — 5,.1)с($ ( ио (х — у) — ио (х,) ! ем (у, 1) ду + !у~~о + ~ ! ио(х-у) — ио(хо)~Ж(у, 1)(у~ 1о~>о (е+ — „„„зпр!и,(й)! ~ е — )тийй. т о ци > = га т'~ (11) Второе слагаемое в (11) также можно сделать (е за счет 1- О, так что при некотором б, ( 6 )'тчо)(х, 1) — ио(хо)~(2в, (х — хо~(бт, )1(<бт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
