Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Э~о дает основание назвать задачу об отыскании (обобщенных) решений уравнения (13), обращающихся в нуль при ( О, обобщенной задачей Коши для волнового уравнения. Но в таком случае в уравнении (13) правую часть можно считать обобщен. ной функцией. Итак, введем следующее определение. Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником г ен ед'(Йч-'), назовем задачу о нахождении обобщенной функции и~ Ы'(Я"'), обращающейся в нуль при ((О и удовлетворяющей волновому уравнению Ы „и = Е (х, (). (14) Уравнение (14) эквивалентно следующему (см. й 11.1): для любой ср ен ~е ()св'') справедливо равенство (и, С).ч) = (Т, р) (14') Из уравнения (14) 'следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль с прн ((О.
Сейчас будет показано, что это условие является и достаточным. 3 ам сч а н не. При выводя уравнения (!3) мы фактически доказали равенство Пан= (Пан (к, Г)!+и (х, +О) 6'(О+ив (х, +О) ° 6 Я, (Гб) справедливое лля любой функции и я Ст(Ф > О) ОС' (М «О), обраьца- ющейсЯ в нУль пРи ! (О и такой, что Даи ~ С (т «О). 3. Решение обобщенной задачи Коши. Теорема. Пусто Г~,в'(й"!), причем с"=0 при О. Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует, единственно и представляется в виде волнового потенциала и = с„в г (!б) Это решение непрерывно зависит от Е в йв", » цч з»длчл коши для волнового чвлвнания 225 Доказательство. По условию правая часть г" уравнения (14) обрицается в нуль при ((О. Поэтому по теореме 5 12.2 свертка В с фундаментальным решением Ж„волнового оператора существует в Ю'()7»") и ~брашается в нуль при !(О.
По теореме 3 1!.3 решение уравнения (14) существует и единственно в классе бобшениых функций из Я'(Й»+'), обращающихся в нуль при ((О, причем это решение выражается сверткой (16). Докажем непрерывную зависимость построенного решения и от г в Ы'()7»"). Если г»=0, ((О и г»- Г, й со в Я'(Р""), то, в силу непрерывности свертки (см. теорему 3 12.2), из (16) получаем и»=8»» р»-~Ж„» у=и, й-~-оо в .у'(К»"'), Теорема доказана.
Следствие 1. Всякая функция и(х, !) класса С'((~0)()С'(!эаО), обращающаяся в 0 при !(О и такая, что Е) и ен С((= 0), представляется в виде и (х, () = У„(х, !) + У'„" (х, () + У„" (х, Г), (17) где ӄ— волновой потенциал с плотностью (С),и), У'„" и У'„о — поверхностные волновые потенциалы простого и двойного слоя с плотностями и,(х, 0) и и(х, 0) соответственно. Действительно, функция и (х, !) удовлетворяет уравнению (15) и, следовательно, по теореме З 13.3, представляется в виде суммы (17) трех волновых потенциалов с указанными плотностями. Следств ие 2.
При г =.и,(х) 6(!)+и,(х) 6'(!) ре»иение и (х, г) обобщенной задачи Коши принадлежит классу С по переменной ! в 10, со) и удовлетворяет начальным условиям (12) в смысле слабой сходимости: и(х, ()»-и»(х), "( ' ) -» и,(х), (- +О в Ы'(Я"). (18) Действительно, по лемме й 12.4 потенциалы У'," и У'„ь принадлежат классу С по ! в 10, со) и удовлетворяют начальным условиям (27) и (28) из 3 12.4. Следовательно, их сумма У'„'+ У„"', являюшаяся в силу (16) решением обобшенной задачи Коши при г"=и»(х) 6(Г)+и»(х) 6'(т)» в ь. с, вл»»»ы»р»»- кав ФундАментАльнОе Решение и зАдАИА коши !Гл.
1н принадлежит классу С по ( в 10, ОО) и удовлетворяет начальным условиям (18). П ример. Обобщенное решение задачи Коши ив=а'и,„+6 (х) 6'(() дается формулой 6Ж(х.б 1 1 и(х, С)= ' ' *6(х)= — а6(х — а()+ — 6(х+а(). 2 На этом примере видно, что разрывы у начальных данных (нли у их производных) распространяются вдоль характеристик. Это явление наблюдается у всех уравнений гиперболического типа (см., например, формулы (19) — (19") 6 13.4 и (23) $ 15.4). 4. Решение классической задачи Коши. Из теорем Я 123, 124 и 133 при г(х, ()=!(х, ()+и1(х) ° 6(()+ + и,(х) 6'(() вытекают следующие учверждения о разрешимости классической задачи Коши для волнового уравнения, Пусть (ЕЕСа((= О); и„е=Са(йа) и и, енСа()та) лри н=З, 2; )енС'(()О), ив аСа()г1) и и,енС'Я1) нРи л 1.
Тогда классическое решение задачи Коши (11) — (12) существует, единственно и выражается формулой Кирхгофа прн Л=З: )(6, -~ — ".' 1 О1М ап ! Г ,!У!!а ~ к, (Р ! а!Рак~; 1191 з(к; ап 51к; ап формулой Пуассона при а=2: ! 2ла, 4 )к аа!а — ( х — 6 !а с!к: а! ч ~з) зхдлчл коши для волнового уравнения 227 грорлгулой Даламбера ~ри п=1: Г к+аи — т1 к+аС и(х, С) = — 1 ~ У" (й, т) с[йс[т+ — ~ их(й)с[а+ о к — аа — т\ к-ас + 2 ~ио(х+а1)+ио(х — а(Я. (19") Это решение непрерывно зависит от данных ), и, и и, задачи Коши в следующем смысле: если зти данные изменяются так, что [1' — 1[ ( е, [ ио — йо[ ~ ео, 1 и, — йх) ( ех, [ йгас[(ио — йо)[ ~ ео (последнее неравенство нужно только при и =3 и 2), то соответствующие решения и и й в любой полосе 0==.1(Т удовлепморяют оценкам: [и(х, 1) — й(х, 1)[( — е+Те, +е,+аТео.
и=3, 2; Т' [ и (х, 1) — й (х, 1) [ ~ — е + Те, + е„ Тт п=1. Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для волнового уравнения поставлена корректно (см. 4 4.7), причем О (1 ) О) [) С' (1 ) О) — класс корректности классической задачи Коши и М' ()са") — класс корректности обобщенной задачи Коши (см. теорему 2 13.3). Замечание.
Изложенный метод решения задача Коши для волнового уравнения без сугцественных нзмененнй переносится на случай любого чнсла и пространственных переменных, а также на задача, у которых данные Коши заданы на произвольной пространственноподобной поверхности [см. 4 4.3). Более того, этот метод прнменйм к задаче Коши для произвольных уравнений гнперболнческого типа с постоянными коэффициентами. Такое уравненне характернзуется тем, что оно обладает фундаментальным решением с носителем, заключенным в выпуклом конусе, не содержащем целой прямой (см.
Л. Хермандер [11, гл. Ч). Впервые в явной форме этот метод был прнменен С. Л, Соболевым 12) [1936 г.) для решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка (см. также )К. Адамар [11). $. Упражненнн. а) Пользуясь фундаментальным решением оператора Лнрака [см, 4 11, 12, б)), показать, что решенне задачи Коши н* 228 фундллшнтлльноп рдшяник и злдлчл коши (гл. нс для уравнения Дирака (см. $ 2.8) < а сзр У е) д дха «-о '1 Сх,=о='(о(х) 'Ро=(фоы фоа' фаз' фос)' фо) си с~'(01) выражается формулой з сът д Ч'=С у уа — — Ссла( 0'(хе х) оуоЧ'е(х). дх» Свертка матрицы с вектором определяется по обычным правилам с заменой операции умиоскения иа операцию свертки о. Ь) Пользуясь фуидамситальиым решением оператора Клейна— Гордона — Фока (см.
$ 11, 12, Ь)), показать, что решение задачи Коши для уравнения Клейка — Гордона — Фока (см. 2 2.8) выражается формулой и 0'(хе* х)ои,(х)-с- — ' — 'оке(х). д0'(х,, х) дха с) Показать, что решеиия смешанных задач С)оп=О, и',с е — — ис'с е — — О, О(х, С(со, 1) и ~. -о=фа(0 2) их~ -а=фс(С), где фуикции фа и фс иепре- рывиы в [О, со) и обращаются в О при с ( О, задаются соответственно формулами 1) и (х, С) = — 2а' о фе (С) =фа С С вЂ” — ), , дЖс(х, С) I хт дх ) к с —— о 2) и(х,г)= — 2аебс(х, С)оф,(С)= — а ~ фс(т)с(т.
б) Пользуясь фуидамеитальиыми решениями (22) и (23) й 11.5, установить, что задачи Коши и'+пи= ри, и 'с-о= из р ш С(С го О); " +аз"=Р" и ~с-е=ио и сс-о ™с вквивалеитиы соответственно следующим интегральным уравнениям: с и (1) =~ е-"с-тр (т) и (т) дт-(-исд ас с 1 Г з(п аг и(С) = — дт з)п а (С вЂ” т) р (т) и (т) с(т+ па сев аг+ и, а~ а о е) Пусть обобшеииая фуикция Г фииитиа. Доказить, что решение «(х, с) соответствующей обобщеииой задачи Коши для волкового РдспРостРднение Волн н1 т равнения в Кз обладает свойством: дла шобой ограниченной области г'с язсуществует такое число Т Т(С~, что и(х, Г)=0, кшб, Г>Т. 1) Пусть )=О н функции ие ш Сз(Б~) я и, ш Сз())з) финнтны.
доказать, что соответствующее решение и (х, 1) задачи Коши для волнового уравнении в Йз обладает свойством: для любой ограниченной области 6 <= )ся существует постоянная К К (б) такая, что 1и(х, Г) ~~ —, хшо. Г)0. К и) Показать, что частные решения н-мерного волнового уравне- ('1 ння г1,и=О (см. $ 2.1) вида )( — ) определяются дифференциальным (,к!1 уравнением (йз+!) Г ($)+ (3 — и) Ц' ($) = О! 1е Ф 1. В часткостк: 1 — !к~1 п(х, 0 сг 1п ~ — 1+се, — чь -4-1, и 1; г+(х! / ' !к1 (11! Г 1 '! !П с,!п ( — + туг — -11+с„— ) 1, У ~.1* сз агсз|п — -(-с,, — ( 1, !х! ' !х1 и(х, 1) и(х, Г)=с„— +се, хФО, п=а. — 1 й 14.
Распространение волн порождаемых точечными источниками Г ($, т) 6 (х — й) 6 (1 — т), В этом параграфе будет дана физическая интерпретация решений волнового уравнения, полученных в $ 13. 1. Наложение волн и области влияния. Пусть задан источник г (х, 1), обращающийся в нуль при 1(0. Решение и (х, 1) обобщенной задачи Коши для волнового уравнения с источником г (х, 1) выражается согласно формуле (16) 1З,З волновым потенциалом с плотностью Р: и=6„ег. Физический смысл этой формулы (см. $11.3) состоит в том, что возмущение и(х, 1) в точке х в момент времени 1)0 представляет собой наложение (суперпозицию, сумму) элементарных возмущений г ($, т) Ж„(х — $, 1 — т), 2ЗО ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ !ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
