Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Исследуется также задача Коши для гиперболического уравнения с двумя переменными (метод Римана). й 1!. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов Для построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами применяется метод преобразования Фурье, Этим методом, естественно, могут быть получены только фундаментальные решения медленного роста. 1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений.
Пусть Я ц,(х)0 и=)(х), ген.'У', (1) ш! о — линейное дифференциальное уравнение порядка т с коэффициентами а„еи С ()т'). Вводя дифференциальный ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !9! А 1П ператор Е(х, О) = ~', а„(х)0", а! О перепишем это уравнение в виде Е.(х О) и=Е(х) (1') Обобщенным решением уравнения (1) в области 6 называется всякая обобщенная функция и ~ еР', удовле1воряющая этому уравнению в области 6 в обобщенном мысле, т. е. для любой 1р е= Ю(6) (см. 9 5.2) (Е. (х, О) и„19) = (Е, 19). (2) !'авенство (2) равносильно равенству (и, Е.* (х, О) ф) = (Е, 1р), ф ен У' (6), (2') 1ДЕ Е,' (х, О) 1р = ~Ч~ ( — 1)'" '0" (а„19). (3) ~а! =о Е(ействителш1о, (Е. (х, О) и ф) ~ ~~ аа0аи, ф ~' (аа0аи, ф) = Та! О 1 !а~=а ;5 (О и, аа1Р)= ~,' ( — П1а1(и 0 (а ф))— 1а! о 1'а~ О ш 'а Х ! — О' О"1~а1~ Ь,Г1*,О1а1. ~а.
=о Ясно, что всякое классическое решение является и обобщенным решением. Обратное утверждение сформу- лируем в виде следующей леммы. Лем м'а. Если ) ен С(6) и обоби(енное решение и(х) уравнения (1) в области 6 принадлежит классу С'"(6), ою оно является и классическим решением этого уравне- ния в обласп1и 6. Доказательство. Так как иее.У'!)С" (6), то классические и обобщенные производные функции и до порядка т включительно совпадают в области 6 (см, ьч 6.1).
Поскольку и — обобщенное решение уравнения (1) ~зз екндямвнтлльнов явшвнив и зхдхчл коши ~гл. гн в области С, то непрерывная в С функция Ь(х, О) и — г' обращается в нуль в области С в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Реймона (см. у 5,6) 7. (х, О) и(х) — 7(х) =О во всех точках области С, так что и удовлетворяет уравнению (1) в области С в классическом смысле. Лемма доказана. 2.
Фундаментальные решения. Пусть Š— дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, а (х) =ив: 1' (0) = ~ ааР ° Рч (О) = Р ( — О). (4) ~а~=а Фундаментальным решением (функцией влияния) оператора Ь (О) называется обобщенная функция Ж я .вгз', удовлетворяющая в )с" уравнению 1. (Р) Ж = 6 (х). (5) Фундаментальное решение Ж (х) оператора Р(0), вообще говоря, не единственно; оио определяется с точностью до слагаемого Жь(х), являющегося произвольным решением однородного уравнения 1.
(О) Ж,=О. Действительно, обобщенная функция в (х) 4-Ж, (х) также является фундаментальным решением оператора Е (О): Е(0)а+Ко)=Е (О) Ж+Е (О)Ко=5(х). Л ем ма. Для того чтобы обоби(енная функция е~ из вУ' была фундамент льным решением оператора 7. (0), необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье г 1в1 удовлетворяло уравнению О( — Ц)е 15'1=1, (б) 7, (а) ~ аДа пм а Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ж ~ вУ' — фундаментальное решение оператора Е(0). Применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства (5), получим Р~(. (Р) Ь~)= Г)б)= 1. (7) О!П линегн!ые диФФеренциАльные опеРАТОРы 1вг 11ринимая во внимание формулу (16) 9 9.3, имеем Р[(.(0)(([=Р~ 'У,' п.о.й~)= ~ о.РР.Ц- 1-а =О а!= О а,( — фаР[Я[=(.( (Р)РЯ; (8) !а =О ~тсюда и из (7) вытекает, что Р[а] удовлетворяет урав.
кению (6). Обратно, если о ен ОУ' удовлетворяет уравнению (6), ~о, в силу (8), о удовлетворяет уравнению (7), откуда следует, чОо Ф удовлетворяет уравнению (5), т. е. яв. ляется фундаментальным решением оператора I. (О) Лемма доказана. Доказанная лемма сводит задачу построения фунда ментальных решений медленного роста линейных диф ференциальных операторов с постоянными коэффицнен ~ами к решению в От" алгебраических уравнений вида Р(е)Х=1, (9) где Р— произвольный полином.
Как видно из уравнения (9), всякое его решение из У' (если таковое, существует) должно совпадать с функ. 1 пней — вне множества Мр нулей полинома Р($) Р (Е) )У,=[5: Ра =О[. Отсюда следует, что если Мр~ !7), то решение уравне ния (9) не единственно: разные решения отличаются друг от друга на обобщенную функцию с носителем в !Ур. Например, различными решениями уравнения $Х=1 являются обобщенные функции 1 ! ! — — и У вЂ”, $-)-!О' $ — Ю $ ' отличающиеся друг от друга на выражение вида сопз1 6($) (см. формулы Сохоцкого (15) и (15') З 5,8), ! Если функция — локально интегрируема в Я", то р ($) она (точнее, определяемый ею регулярный функционал) является решением в ОУ' уравнения (9). Если же функ- 1 ция — не является локально интегрируемой в )т'" то Р (1) Ф !Зя ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ !ГЛ НЬ возникает нетривиальная задача о построении в ор" решения уравнения (9). Л.
Хермандером [2[ доказано, что уравнение (9) всегда разрешимо в оУ", если Р($) ~иО, Обозначим через гея — какое-либо решение из ьУ ! Р (1) уравнения (9). Построение зтого решения существенно зависит от структуры множества ьУР и может быть проведено для каждого конкретного полииома Р. Таким образом, уравнение (6) всегда разрешимо в оу", Р [Ять = ге ь ! Следовательно, всякий линейнь!й дифференциальный оператор (. (О) с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение медленного роспьа, и ьто решение даеп!ся формулой Ж=Р-ь~гей (,.
)~ = —,Реггей —,. 1. (10) 3. Уравнения с правой частью. С помощью фундаментального решения о(х) оператора 0(0) можно построить решение уравнения 1. (О) и = ) (х) (11) с произвольной правой частью ). Точнее, справедлива следующа я Теорема. Пусть )еп ег" такова, что свертка ЖФГ' существует в йо'. Тогда решение уравнения (11) существует в .'Ег' и дается формулой (12) ,9то решение единственно в классе тех обобй(енных функций из ФР', для которых существует свертка с й'. Доказательство. Пользуясь формулой дифферен.
пирования свертки (см. (20) 5 7.5) и учитывая равенство (5), получим 1. (О) (о э!) = ~ч~ а„0" (й э)) = !а~=о о'и) ь=ььоьь ° ь ь*ь ь линвиные диэфсеанцихльныв опеглтогы !95 % !и 11оэтому формула и = Ж в/ действительно дает решение уравнения (11). Докажем единственность решения уравнения (11) в классе тех обобщенных функций из Я', для которых свертка с Ж существует в Ы'. Для этого достаточно установить, что соответствующее однородное уравнение Е(О) и=О имеет только нулевое решение в этом классе (см. э 1.1!).
Но это действительно так в силу и=изб=ивЬ(О) 6'=Е(О) и*К=О. Теорема доказана. Следствие. Если иенЫ' и свертка ива существует в Ю', пю справедливо равенство и=Ь(О) и*6. (13) Физический смысл р е ш е н и я и = бт в). Представим источник )(х) в виде «суммы» точечных источников ) (в) 6(х — $) (см. замечание в конце й 7,4): )(х) =6в~=~~(Ц6(х — $)~$. В силу (5) каждый точечный источник )(4) 6(х — $) определяет влияние ) ($) Ж(х — 5).
Поэтому решение и (х) = Ж *1 = ~ ~ (в) Ж (х — $) йь есть наложение (суперпозиция) юлих влияний, 4. Метод спуска. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве К"«! переменных (х, ()=(х„х„..., х„, 1) Ь~О,,— ) и=)(х) 6(1), г е= У" ()с")» (14) где д!) л~» в!« и Е (О) — дифференциальные операторы по переменным х. !)усть обобщенная функция и из .У'(Я"«!) допускает продолжение на функции вида «р(х) 1(1), где ц! я.М ()с'), т« (96 егндхмвнтлльнов евшвиие и задлчл коши ~гл. гн в следующем смысле; какова бы ни была последовательность основных функций п„(Е), и= 1, 2, ..., из 'Ф (Ет'), сходящаяся к 1 в У (см 4 7.4), существует предел 1пп (и, ср (х) п„(Е)) =- (и, Чс (х) 1 (Е)) (15) и этот предел не зависит от последовательности (~)„).
Обозначим функционал (15) через ио, (по, ср) =(и, чс(х)1(Е)) = ! и (и, ср(х)г)о(Е)), чсев да()г"), (16) ио(х)= ~ и(х, Е)г(Е. (17) Действительно, в этом случае функция и(х, Е) локально интегрируема в Ро" и, в силу теорем Х!ебега и Фубини (см. ~ 1,4), предел (15) 1пп (и, г(с(х) т)а(Е)) = 1пп $ и(х, Е) ср(х) т)к(Е)пхпЕ = с со с со = ~ и (х, Е) <р (х) йх г(Е = ~ чс (х) ~ и (х; Е) е(Е е(х — со прн всех гр~.6Р()г") существует и н: зависит от последовательности (т)„), Отсюда, в силу (16), и вытекает формула (17). 6) Пусть и=/(х) 6(Е), где ) енЫ'(Ет").
Тогда и,=) в силу (по, ср)=!пп (и, ф(х) Ча(Е))= !(гп ()(х) 6(Е), ср(х)11,(Е)) = Е со О со = !ип ()(х), <р(х) ~(„(0)) =(Е, 4), ~рен й (Есс). Очевидно, при всяком й функционал (и, ср(х) гм(Е)) линейный и непрерывный на сг" я'), т. е. принадлежит ''о' (Ег"). Поэтому, по теореме о полноте пространства Ю'(Етс) (см, ф 5.4), и предельный функционал ио ~:— Ы' (Его). Приведем два примера на нос~роение продолжения ио. а) Пусть и(х, Е) — функция такая, что функция $! и(х, Е) !пЕ локально интегрируема в Его. Тогда ио(х)— локально интегрируемая функция в Его и представляется интегралом о ит ЛИКЕПНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !97 Т е о р е м а.
Если решение и ен .У ' (Я""т) уравнения (14! допускает продолжение (16), то обобитенная функт(ия ио из бт' (Ст") удовлетворяет уравнению С (Р) ио-С(х) (18) Доказательство. Пусть т!А(С), Ст=1, 2, ..., последовательность функций из .'у()тт), сходящаяся к 1 в )тт. Тогда при д=1, 2, ... последовательности функций т)о(С)+т)1ю(С), Се=1, 2, ..., также сходятся к 1 в )тт и, следовательно, при всех ф из З'()т") (ср.
$ 7.5, с)) ! ип (и, ф (х) т)<~' (С)) = 1ип (и, ф (х) ! т! (С) + т)о> (С) ))— о со — 1ип (и, ф(х) т!А(С)) =(ио~ ф) — (ио, тр) =О. (19) Учитывая (19), проверим, что обобщенная функция и, удовлетворяет уравнению (18): (1о(Р) ио, ф) = (и„Ео( — Р) тр) = 1ип (и, Ео( — Р) ф(х) т)о(С))= =!'ип (и, Е,( — Р) ф(х) т)о(С)+ + Х ( — 1) о С. ( — Р) ф (х) т)67) (С)) о-1 = 1ип (и, Е( — Р, — — ) ф(х) т!А(С)) = = !ип (Е (Р, — и, ф(х)т)о(С)) = Иш (С (х) 6(С), ф(х)т!о(С))= = 1ип (С(х), ф(х)т)о(0))=(7, ф). Теорема доказана. Изложенный метод получения решения ио(х) уравнения (18) с и переменными через решение и(х, С) уравнения (14) с и+1 переменными называется методом спуска по переменной С. Метод спуска особенно удобно использовать для построения фундамЕнтальных решений. Действительно, применяя доказанную теорему при 7=6(х), получаем: если дт Ж(х, С) — фундаментальное решение оператора Е(Р, — !— ' дт, допускает продолжение Жо вида (18), то обобщенная функция (Жо~ 'р) =(Ж, ф(х) 1(С)), тр ы Ю (ет") (20) Ша ьтндлывнтлльное ьвшспие и злдьчь коши ~гл гн есть фундаментальное решение оператора (.ь(0); в част- новти, если й(х, () такова, что функция $~Ж(х, ()(е(Е локально интегрируема в )(", то Жь(х) = ~ Ж(х, 0д(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
