Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В частности, равенство 7(х) 1(у) =1(у) 7(х), где 7ы ен еУ' ()с"), означает, что (~, ~ ф (х, у) йу) = ~ (7. <р (х, у)) ду, ~р ея еу~ ()т"' ), (15) Наконец, прямое произведение 7(х).й(у) обобщенных функций т я вт ' ()с") и д ен еУ' ()с'") линейно и непрерывно т з! ововшениыа ьгнкции медленного гостя !57 относительно 7 (из е9 (Й") в е9'()7"'"')) и относитель. но д (из ь9" (Р") в е9" (Я™~)).
Доказательство аналогично соответствующему доказа- тельству для пространства Я' (см. $ 7.3, а)). 6. Свертка обобщенных функций медленного роста. Пусть Г" ~ ь9" и 'д — финитная обобщенная функция. Тогда свертка /ьа существует в Я' (см. ~ 7.5). Докажем, что гэд принадлежит е9" и представляется в виде ().ьй М=(7(х) У(У) Ч(У)'Р(х+у)), Ч ~.9', (16) где») — любая функция из Ю, равная 1 в окрестности носипмлй д. Действительно, по теореме з 7.6 формула (16) спра- ведлива на основных функциях ~р из .'йГ. Докажем, что правая часть равенства (16) определяет линейный непре- рывный функционал на ег .
Пусть <р ~ ь9'()»"). Тогда, в силу фииитности функции ть г)(у)у(х+у) еиь9'(Я'"), и так как ) (х).д(у) — линейный функционал на о9 ()г'"), то правая часть (16) — линейный функционал на о9'()г"). Докажем его непрерывность. Пусть щ-ьО, А-ьоэ в ь9'. Тогда при любых а, (), у имя", ьмя" х'*УЗ0» (») (у) (рь (х+у)) ~ О, й-~со, и потому »!(у)<рь(х+у) О, й-ь.оо в У'()г'"), Поскольку г'(х) ° я(у) ен о9" ()1'") (см. з 8.5), то отсюда следует непрерывность правой части (16) на ь9'()г"): (7 (х) д (у), »! (У) <рь (х+ У)) — О, й — со, Итак, ) ь д еи ь9". Обозначим е9'+ = Ю+ П ь9", где еР.'ь — сверточная алгебра, определенная в з 7.7. Докажем, что если ) и де=ь9'.'ь, то ~эде= ь9'+ и представляется в виде Ч а. т)= = (7 (г! ° У(т), ти(1)»)ь(т) <Р (1+ т)), ~Р ен о9' ()Г'), (17) где цъ и»1, — любые функции класса С ф'), равные 1 в окрестности 10, со) и О при больших отрицательных С Действительно, по теореме ~ 7.7 формула (17) спра- ведлива на основных функциях ~р из вр()»'), докажем, ггл.
!! ОБОБШЕННЫЕ ФУНКЦИИ что правая часть равенства (17) определяет линейный непрерывный функционал на ь1г ()1!). Пусть !р еи ег'()7!). тогда, в силУ свойств фУнкций ти(1) и «(ь(т), «1«(1) «)«(т)х х«р(1+т) евер'()7«) и правая часть (17) — линейный функционал на ег" (й!). Докажем его непрерывность. Пусть !р„-«-0, й- со в ег'(Р!). Тогда, как и выше, «1! (1) «1«(т) «рь (1+т)-~0, й-«.оо в еР'(й«). Поскольку )(1) д(т) енот" ()7«) (см. 5 8.5), то отсюда следует непрерывность правой части (1?) на ь5' ()7!). Итак, !«Фдая ФР ' ()««!). Мы видим, таким образом, что совокупность обоби(енных функций 9'+ образует сеерточную алгебру — подалгебру алгебры е«+ (см. З 7.7).
й 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста Замечательное свойство класса обобщенных функций медленного роста состоит в том, что операция преобразования Фурье не выводит за пределы этого класса. 1. Преобразование Фурье основных функций из ьр'. Поскольку основные функции из ФУ абсолютно интегрируемы на Й", то на них определена операция преобразования Фурье г": г" 1«р1($) =() р(х)е«!' "!«(х, реп х'.
При этом функция г" [!р)($) — преобразование Фурье функции !р (х) — ограничена и непрерывна в Й". Основная функция «р(х) убывает на бесконечности быстрее любой степени ~х!-'. Поэтому ее преобразование Фурье можно дифференцировать под знаком интеграла любое число раз: О«Р (,р1(й) = ( (1х).,р (х) е Ь, л! б = Р 1(1х)и р)(~), (1) откуда ясно, что г" 1<р)ееС (Й"). Далее, такими жесвойствами обладает каждая производная О"«р, а потому г Р"!р) Я) =~ 0'«р(х)е«!ь "«с(х ( — Ф'ГЫ 6) (2) Наконец, из формул (1) и (2) получаем рр() г у(р)='Я((1х)иц!1(р)=1Ф!+!р Р(Ю(х р)1(ц. (8) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Из равенства (3) вытекает, что при всех а и [) вели- чины $Ю"Р[ф]($) равномерно ограничены по $ ен )ткг [ЗВ0«Р[ф](й) [.- [[ОБ(» ф) [г[х Это значит, что Р[ф]ень9" (смр $ 8.1). Итак, преобразо- вание Фурье переводит прострайство я9' в себя. Отметим, что пространство основных функций рР пре- образование Фурье в себя не переводит, поскольку пре- образование Фурье финитной функции есть аналитическая функция и, стало быть, либо не фииитна, либо нуль.
Так как преобразование Фурье Р[ф] функции ф из Я9' гсгь интегрируемая и непрерывно диффереицируемая функция на [тк, то, как это следует из обшей теории пре- образования Фурье* ), функция ф(х) выражается через ее преобразование Фурье Р[ф]($) с помогцыо операции об. ратного преобразования Фурье Р-'г гр(х) = Р-~[Р[фп-Р [Р-~[ф]], (6) где Р '[ф](х) = —,„„~ гр(в)е-г <я 'гг[$= — „Р[ф]( — х) = г ! 1 г ~)е" '"'г[Р =[зп) Р[г[г( Р)].
г Из формул (5) и (6) следует, что всякая функция ф из Я9' есть преобразование Фурье функции ф=Р-'[гр] из ь9', гр Р[ф], и если Р[ф]=О, то и ф=О. Это зна- чит, что преобразование Фурье Р преобразует я9' на е9' и ргрипголг взаимно однозначно. Л е м м а. Операция преобразования Фурье Р непрерывна из я9' в Я9Р. ДОКаЗатЕЛЬСтВО.
ПуетЬ ф„-р.О, й- СО ВЯ9'. ТОГда, применяя (4) к функциям ф», при всех а и р получим [ $Б0"'Р [фя] ($) [ ~ ~ [ Еи' (»" фя) [ г[х «.а ~ ° р ~ьрг ~р,гагр.р~ р" [ каяь откуда следует, что ггл [йзО.Р [ф,] [:-- О, т. е. Р[фк]- О, й — р-Оо в ь9' (см. Зч 8.1).
Лемма доказана. ') Си., яяярямер, Л. Д. Кудрявцев [Ц, гл. У[[. !60 ггл. и ововшвнныв екнкции Аналогичными свойствами обладает и операция обратного преобразования Фурье Р-'. 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из У". Пусть сперва ) (х) — (абсолютно) интегрируемая функция на И". Тогда ее преобразование Фурье Р[7]я) =]7(х) еыт "'г(х, (г'[)]($) ( ~ ~ (~(х) !»(хаасс, является непрерывной, ограниченной в )с» функцией и, следовательно, определяет обобшенную функцию из »9". (р'[Л, р) = ] р'[)'] й) р 6) й$, Пользуясь теоремой Фубини (см. ~ 1.4, )!) о перемене по- рядка интегрирования, преобразуем последний интеграл: ~ г' Я Й)»р ($)»(с = ~ ![1 !" (х) е' '~ "' »(х ~ гр ($)»($ = = ~ )' (х) ~ и (5) е' 'Ь "' »($»(х = ~ ) (х) г [гр] (х) дх, т.
е. (РИ, р)=(). ~[р]), рен 9' Это равенство мы и примем за определение преобразования Фурье Р[)] любой обобщенной функции медлен- ного роста (: (р'[Л, т)=К Р[»р]), ~ен 9", »реп 9'. (7) Проверим, что правая часть этого равенства опреде- ляет линейный непрерывный функционал на У, т. е. что г[ДенУ". Действительно, так как Е[~р]ене9' при всех »реп~9' (см. З 9.1), то (), Р[гр]) есть функционал (очевидно, линейный) на е9'.
Пусть»р»- О, и- сс в 5, По лемме 2' 9.1 г'[»р»]- О, й- 'сс в а9", и потому, в силу Ген »У", (), г [»р»])- О, й-».со, так что функционал (!', Р[<р]) — непрерывный на е9'. Таким образом, операция преобразования Фурье Р переводит пространство е9" в е9", Более того, г' — яинейнал и непрерывная операция из е9' в е9 '. Линейность Р очевидна.
Докажем ее непрерывность. Пусть )»- О, й-».сс в е9". Тогда, в силу (7), при всех ~р ен е9' получим (г[!»] 'р)=((» Е[р])-~О, й- сс, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЪЕ Это и означает, что Р" Щ-Р О, й-Р со в В9", т. е. операция Р непрерывна из в9" в РУ".
Введем в Р9" еще одну операцию преобразования Фурье, которую обозначим через Р-': Г- [Л = —,„',. Ри( — )], ~ ~. (8) Докажем, что операция Р-' является обратной к операции преобразования Фурье г, т. е. Р 'ГУ]]=[, РГ 'У]]=), ~ее 9" (О) Действительно, из (5) — (8) при всех гвен В9' получаем равенства (2 )" ( (2В)" ( [)] ( к)' [Ч ] (2В)" ( =(РИ, Р '[<У])=()', Р[Р '[Ч!]) =(Р, Ч)= =К р'[рЫ])=(р'И Чч])=(р[р'И] ч), откуда и вытекают формулы (9), Из формул (9) следует, что всякая обобщенная функция ( из е9" есть преобразование Фурье обобщенной функции д=г'-'[)] из В9", ) =г'[д], и если г Я=О, то и ~=0. Таким образом, мы доказали, что преобразования Фурье г" и х-' преобразуют е9" на е9" взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Пусть /' (х, у) ее о9" (йлли), где х я Йл, у ен )си. Введем преобразование Фурье г'„[)] по переменным х = = (хп хп ... х„), положив для любой <р (ьь, у) к= о9 (йл ) (р И, ~р)=()* рт[р]). (10) Как и в лемме 5 9.1, устанавливается, что [Ч ] (х у) ~ гк Я у) е3 ць к) Д л= е9' (Ялл-и) И ОПЕрацИя уз[ар] НЕПрЕрЫВиа ИЗ В9'()Сл+ ) В е9'()Сл+ ), так что формула (10) действительно определяет обобщенную функцию Рк[)']($, у) из Р9" (Я ' ). П р и м е р.
Покажем, что г" [б(х — хь)]=е'~ь кл), (11) В В. С. Вллллмлрлл !62 ОБОБШЕННЫЕ ФУНКПИИ [гл. и Действительно, (Г[6(х — хо)], ор) =(6(х — хо), Г[ор]) =Г[Ф](хо) = =~ Ф(3)е'й, о ~б~=(еоб «), ср), Полагая в (11) хо=0, получим Г[6]=1, (12) откуда 6=Г [1]= — „„Г[1], 1 так что Г [1] = (2л)" 6 ф, (13) 3. Свойства преобразования Фурье. а) Дифференцирование преобразования Ф у р ь е.
Если г" ен о9", то 0 Г [ ) ] Г [ ( 1 «) о Д (14) Действительно, пользуясь (2), при всех Ф ен оУ получим (0 ГИ, р)=( — 1)' (ГИ, 0'р)=( — 1) (), Г[0%])= ( 1)1о~() ( — (хУ" Г[<р])-(((х)"), Г[юр]) =(Г[((х)о)], ор), откуда и следует формула (14). В частности, полагая в (14) )'=1 и пользуясь формулой (13), имеем Г[х ]=( — 1)им0"Г[1]=(2л)о( — ()1'*~0"6(Ц). (15) Ь) Преобразования Фурье производной. Если )'ы ФУ', то Г [Оог] ( о)а Г [)] В самом деле, пользуясь формулой (1), при всех ~р ы о9' получим (Г [0о[] Ф) = (0о[ Г [<Р]) ( 1)ио (о 0аГ [с ]) =( — 1)' '() Г[Л)" р])=( — 1)'"'(Г[)] ((й) р)= = (( — (я)" Г [г'], ор). откуда и следует формула (16).
В частности, полагая в (1б).)'=6 и пользуясь формулой (12), имеем Г [06] = ( — Ц)" Г [6] = ( — (а)". (17) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1аз с) Преобразование Фурье сдвига, Если (~ Еа«"е ТО Г[1( — х )]=е'"' "ГИ (18) Действительно, при всех ф ен 99' имеем (Г[( (Х вЂ” ХР)], ф) = (((Х вЂ” ХР), Г[ф]) = («'е Г[ф](Х+Х9)) = = (]„Г [фее '" м]) = (Г щ ееч «' мф) = (ем" В>Г [(] ф) откуда и следует формула (18).
д) Сдвиг п реобра зова пня Фурье. Если ~ен ен Рр", то Г И ($ -1- 99) = Г [е' 6 «)(] Щ. (19) В самом деле, пользуясь формулой (18), при всех «р ен РУ' получим (Г[Л($+$9), ф) (ГИ, ф($ — 39))=У, Г[ф(1 — Ь)])= = () ЕС Не. «)Г [ф]) — (Е«ие. «)/ Г [ф]) — (Г [Ее(9«. «)(] ф) откуда и следует формула (19). е) Преобразование Фу рье подобия (с отражением). Если г" е=еУ', то при всех вещественных счь О Г[7(сх)]($) = — „Г[(]( — ), (20) поскольку при всех фа=ФУ имеем (см.
9 5.9) (Г[Г(сх)], ф)=(Г" (сх), Г[р]) = — „((, Г[ф]( — ")) = ,㫠— ~ ф(й)е е«)д$)=(~ ~ ф(с~~)ее(«а)ще) = =(У Г[ф(4)]) =(Г[Л, ф(4)) = (,Г[Лй) ° ф). 1) Преобразован ие Фу рье п р ям о го и р оизв е д е н и я. Если ) ен РУ' ( Р ) и д ен ег"' (Р'"), то Гу(х) д(д)]=Г„у(х) Г[а](п)]= =ГР[ГЯ(Б) д(у)]=ГДЕ ° Г[д](т)). (21) 164 овоашйнные Функции <гл. н Замечая теперь, что Ч(х) (<х)" <р(й) е«! <о ев вр'()С!в) и пользуясь формулой (15) ~ 8.5: (1 (х), ~ Ч (х) (<х)" Ч< (В) е«! <и да<) = ~ (1, Ч (х) (<х)" е' <! ") ф ЯЩ, из предыдущих равенств выводим равенство (О"Е[Л, Ф) =) (~. Ч(х) (<х)" е«1 "') р(С) а%, из которого вытекает, что 0"Р[)1Я) =Д, Ч(х) ((х)'"е<п '). Отсюда при а=О следует формула (23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
