Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Такие алгебры называются изолсорфиыми. 3 а м е ч а и и е. Пользуясь техникой обобшеииых функций, можно доказать *), что всякая фуикция зк из алгебры Н (о) удовлетворяет более сильному, чем (!8), ограничению роста: для любого оа)о существуют числа С(оа) >0 и М =М (оа).~0 такие, что ! Х (р)! «С (оа! (! + р !м ) о ) о 5. Примеры и применения. а) 5' '(1 — т) р е-'Р, р — любое, т.=»О, т = О, 1,, (25) Вытекает из формул (10) и (12). Вытекает из формул (3), (11) и (13).
с) Пусть у — функция из ~о+(а), 7БВС" (1)0) и ! )г, о ма. Тогда и — 1 (сзчз (!) ! р" У (р) —,У, 'сна! (+ 0) р"-*-', о) а. (27) а=о Действительно, пользуясь формулой (14) 2 6.4 и раз и учитывая при этом, что )(() =О, ! = О, получим л — з (гсь! (с)! 7!из ~ )заз (+ О) бса-а-тс (с) а=о откуда, в силу (12) и (25), следует формула (27). г)) Пусть 1 и д — локально интегрируемые функции из из+(а), у~С'(1==0) и ) .У', дг .Р, о)а.
Тогда с $) (т) (а' (1 — т)) с(т р У (р) Р'(р) — д(+0),У'(р), (28) о о->а. ") См. В. С. Владимиров !2), $26. гч ) Соотиошсиие О (с! — — часто записывают так; ! —, что ! 1 Р р яредставдяогси ие совсем удачиым. 1ат игл. и ОБОБШЕННЫЕ ФУНКЦИИ при всех Ь(а, о>аа>а и целых Й>т(оо)+1 справедливо представление а+»о 1 ~ в )» ~ ."а (р)еФ а — Юсо причем правая часть ! (19) нв зависит от Ь, ! в+у о йй.
в»+та Лок азательст ° во. Необходи- 1 мость. Пусть 1 Грт) ен Ы+(а). Тогда ее пре- образование Лапласа а в в а у (р) — аналитическая ! функция в полуплоско! сти а а (см. 5 10.2) и ! при любом оа)а в по- »~-ат луплоскости о» оа 4 тт имеет место представление (7). Применяя к атому представлению теорему Л. Шварца (см. $ 8.2), при любом Б~О и некоторых Са(аа)~0 и тао = т(о,) = 0 получим оценку (18) ).р (р)) (С(о ) знр ((т) (1) в-~р-а м)ью(а-= а~а<т сЭ вЂ” е (С, (аа) е" (1+1р!"'), о) ао так что х ~О(а).
»1оста точи ость. Пусть Х ~ Н (а), Нужно доказать, что функция У (р) есть преобразование Лапласа обобщенной функции )' из Ю+(а), представимой формулой (19). Рассмотрим сперва случай, когда функция. )У(р) при всех о) оа) а удовлетворяет оценке (20) Тогда интеграл а+»о Г(0 = » —. ~ Р'(р)е" др (о)а) (21) а — »о ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА е !е! сходится равномерно по ! на каждом конечном промежутке, определяя непрерывную функцию ~(0, — сю(( -ОО. Докажем, что Г(1) не зависит от о)а.
Пусть о, ) о,)а. По теореме Коши имеем ~,Р' (р) еле г(р=О, (22) г<ю где контур Г(д) изображен на рис. 38. Учитывая, что в силу (20), ! а,+и еФе)~ее~~ а,+м а, а, =. ~]Г(о+И)]е"е(о~С,(о,) г! ~ еа О, ,! 1(а — аР-1 Ее]а/е а, ,!", и переходя к пределу в равенс гас (22) при а(-~+со, получим а,+ла а,+! ,У' (р) еа'г(р = ~ У' (р) еа'г(р, а,— Аа что и требовалось установить.
Перепишем равенство 121) в эквивалентной форме: ) (() = — ~,У (о+ ееа) е!"' Ьа, о) а. (23) Пользуясь оценкой (20) и считая о)ое)а, оценимся((): ])'(1)] ( — „$ ]Х(о+ (еа)] е(а! ~ «а е( е) еа!е+о С'(О ) еа(ем! С (а) г и 2л 3 1(а — а)е ] и']а/' е е Пусть 1- — е. Устремляя в полученной оценке о к +со, выводим ]!(() =О. Отсюда, ввиду произвольности е)0, заключаем, что ~Я=0, ! ..О.
Из (23) следует также, что )(г)е-"енУ" и Х (р) = 2лР-! Ц (1) е ') (еа), о ) а. Итак, ) ~М+(а), )(() р (р), о)а. !88 ововшанныв оинкцин (гл. ц В силу (25) имеем д(!) Я(р) =р +аьр '+...+а (р Л) 1...(р Л„) л и поэтому, в силу е) (33) Ж(!) —, 0)а= шах КеЛ) ! Я (р)' 1 Н; ! К„л ! Разлагая — на простейшие дроби: 0 (р) л аМ т-'з, (( — Л !' + " '+ р — Л Д' и пользуясь (26), из (33) получаем )17-1 Ж(!)=8(!) ~~ ~с! е +".+бь11е~т'.
(34) 7 а. Упражнения. а) пусть )о (!), -со ( сс ( оо — обобщенная функция, введенная в $7.8. Доказать что 1 ! (!) — —, о)0, ра где за ро принимается та ее ветвь в полуплоскости о ) О, для которой р" ~0 прн положительных ри Ь) га (т) еьг —, о ) !(е Л! 1 (р Л)в 1 с) О(!) е11" —., В(!) и гьи —., о)0! 1 1 и — 1'ЬЗ ' р+!ьт' б) а(!) т- р, Е(!) з!пьн- ~, о~О. рз+ ьз" ре+ " е) Пусть !ае ! (с(!+й)ж, А=О, 1, .... Доказать, что аьб(! — й) ~ лье аа, о)0, а о «=о В силу единственности фундаментального решения оператора дв в алгебре 'Ф.'ь (см.
э ?.8), функция е(!) совпадает с фундаментальным решением, построенным в 8 6.4, () (в случае постоянных коэффициентов). 189 ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАП.ПАСА $101 1) Пусть /(!)-Перяодкческая функция с периодом Т (абсол1атно) яптегркруемая на пераоде (ркс. 40). /(оказать: Т в(!)/(!)- ~/(!)о-!" 1(1, о~о. 1 — е Рт д й) Проверить, что (!) 6 (!) = 6 (!) + е (!)! 2) !В!осе!) ем=61!) Ж(!)=6" (!)+26(!)+4З(!) зь !. 3) 8+2(есоз!) о — 6(!), Ж(!)=6(!) 24(!) г(1 4) Воя!+6 ои 6(!) 6 +6 " (')= — 6(ф — а(!)е', ио(!)-о(!)о, (1) Пользуясь формулой (27), показать, что 1) и'+пи=/(!), и(0)=ио ! и(!)=~/(т) о-а!1-т~ бт4 иое-о!1 2) и" +мои /(!), и(0)=им и'(0) из. ! ! р 5(п оя и(!) — /(т) з(п м (! — т) о(т+иосозм!+и, — ' пря атом предполагается, что / ш С(г)0)(),У( (и).
Ркс. 40. Пусть Жт — решеяяе уравненяя лоб!=0 в алгебре .912(а) п речем Ж1 ш С' (! Рв О). Пользуясь ннтегралом /(аамеля (28), показать, что решейяе в алгебре пуф(а) уравнения пои=/, где / — локально интегрируемая функцяя кз Я' (а), выражается формулой ! и (!) =мы (+Ю) /(!)+~/(т) (К (! — т)) ат.
1) /(оказать, что 4(0 /о(!) — —, о)0. 1 1+ро Й) Пользуясь 1), доказать равенство ! яшг=~,/о(! — т) У„(т) ит, 186 (гл. и ОБОБЩЕННЫЯ ФУНКЦИИ В самом деле, о =(й (г))+у(+О) б(г), ~Фйс+ УЗ, о'.>о, и поэтому ~Г'(т) (д'(1 — т)) г(т=Г" Ф(д') =(Ф'18' — о(+0)б]=* о = (" Ф о' — д (+ О) Г Ф 6 = (( Ф д) ' (() — о (+ О) 7 (1) рГ(р) у(р) — о(+О) Х (р), и'= а. Формула (28) нааывается интегралом Дюамеля. Она широко используется в теории электрических цепей. е) Уравнения в алгебре Я+(а) имеют вид йчи=~, (29) где о и г — известные и и — неизвестный элементы из Я+(а). Все сказанное в 5 7.8 относительно алгебры .91с.
остается справедливым и для алгебры Ю+ (а). В дополнение к й 7,8 отметим следующий результат: Для того ипобы оператор оь имел обратный д-'Ф ! е алгебре м=+(а), необходимо и достаточно, чтобы — еп У(Р) ен Н(а), где я(() 3(р), о)а; при етом й '(г) 1 У(Р)' а>а. Это утверждение непосредственно следует из эквивалентных, в силу (15), равенств дад '=б, 3(р)- — =1, У (Р) о а, и из установленного в основной теореме взаимно однозначного соответствия между элементами алгебр Ж+(а) и Н (а).
() Рассмотрим электричес кую г(е) г цепь, состояшую из сопротивления й, самоиндукции Ь, емкости С и источника э. д. с. е(1), включаемого в момент времени Рнс. 39 г = 0 (рис. 39). Тогда в соответ- ствии с законами Кирхгофа сила тока в цепи 1(() удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению / е,-+ +03 () -(). й . 1Г. з 182 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА % Ю1 илИ (30) й'е)=е, где К Я 6 Я + 6 ( ! ) + 1 8 Я т Ю ( 0 ) Найдем обратный оператор ае= ~се. Имеем ст(!) Ср+)т+ 1, о~о, и поэтому, в силу е) и Ь), ! Р ! +, + ! !.(Р— Р+)(Р— Р) СР ! г р, р 1 е(с) — — — — (р,ел ' — р ел ), !. (Р« — Р-) 1 Р— ЫР— Р ) 2!.саг а (!) ° Г! Р+ = — — + ССВ 26 Таким образом, то есть сес«с! „1 а лс«с-1! „1„1 а и э(с) — ц сг а(!) --е 2" !со соз са! — — з!псе!11 и решение уравнения (30' выражается формулой (см.
82,3) ((!) =аее= и 1 ~ — — сс-«) ~ сг — ~е ) "1созсе(! — т) — — з!Псе(! — т)~а(т)с(т. (31) 2!. о Формула (31» в явном виде выражает реакцию, или отклик, с(!) цепи на входной сигнал е(!). В теории электрических цепей а(!) называется импедансом (обобщенное сопротивление) цепи, а а(!) — адмитанеом (обобщенная проводимость). Нетрудно видеть, что ае8=) а(т)с(т есть о отклик цепи на «единичную ступеньку» 8 (функцию включения). й) Найдем обратный оператор Же к оператору с»е, где с»(!)=6с"'с(!)+асбс -1>(!)+...+а 6Щ, (32) ГЛАВА !!! ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ Б этой главе теория обобщенных функций применяется к построению фундаментальных решений и к решению задачи Коши для волново!о уравнения и для уравнения теплопроводности.
При этом задача Коши рассматривается в обобщенной постановке, что позволяет включить начальные условия в мгновенно действующие источники (типа простого и двойного слоя на поверхности 1=0). Таким путем задача Коши сводится к задаче о нахождении такого (обобщенного) решения данного уравнения (с измененной правой частью), которое обращается в нуль при 1(О. Последняя задача решается стандартным методом — методом суммирования возмущений, порождаемых каждой точкой источника, так что решение ее представляется в виде свертки фундаментального решения с правой частью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
