Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1. Пространство основных функций еУ'. Отнесем к множеству основных функций еУ' = еУ (Р«) все фцнкции класса С' (/лг"), убывающие при ~ х)-ьсо вместе со всеми производнылщ быстрее любой степени )х(-г, Сходнмость в У определим следующим образом: последовательность функций ср„ср„... из еУ' сходная к функции срене9', ср»-ьср, /т оо в ех', если для всех а и р л кщи хр/:г'ср» (х) „хЮ ср(х), й-ь со.
(1) Очевидно, е9' — линейное пространство. Кроме того, Я с: еУ и из сходимости в Ю следует сходимость в е9'. Действительно, если ср, ср, й- ссз в Ы, то, поскольку носители ср» ограничены независимо от й, справедливо предельное соотношение (1) при всех сх и р, которое и означает, что ср„- ср, й- со в ал. Однако У' не совпадает с ЯУ; например, функция е — "* принадлежит еУ, но не принадлежит Я.
Тем не менее бу плотно в 9', т. е, для любой фыел' существует последовательность ср» ~,йг, у=1, 2, ..., такая, что цг»-ыср, й-ьссз в еУ'. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 11 Действительно, последовательность функций из .'У' <р» (х) = Ч1(х) т! (-» ), й = 1, 2, ..., где 1)я.У и т)(х) =1, (х(<1, сходится к ср в ФУ". Операции дифференцирования Рзср (х) и неособенной линейной замены переменных 1р(Ау+у) непрерывны из ех в ех', Это вытекает непосредственно из определения сходимости в пространстве »9'.
С другой стороны, умножение на бесконечно дифференцируемую функцию может вывести за пределы множества»х', например: е — '""егли=! йех. Пусть функция а ее С (й1") растет на бесконечности вместе со всеми производными не быстрее полинома: ) Рва(х) ) ~С, (1+~ х!)Фю (2) Множество таких функций обозначим через Вм. Операция умножения на функцию а ее вм непрерывна из»у' в »9'.
Действительно, из неравенства (2) вытекает: если <р ЕНУ', то аф ев Фх, и если 1р»- О, й-+Оо в ех', то при всех а и р лл х~Р' (а1р,) ~' О, т. е. а1р»-л-О, й- со в »9'. 2. Пространство обобщенных функций медленного роста ех". Обобщенной функцией медленного росою называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций »9'. Обозначим через ех"' = 4" ()сл) множество всех обобщенных функций медленного роста. Очевидно, »9" — линейное множество (ср. 5.3), Сходимость в ех" определим как слабую сходимость последцвательности функционалов: последовательность обобщенных функций ~„)'„... из ех" сходится к обобщенной функции ~всех', ~» — лГ, и со в вх', если для любой 1р ен»9'(~», ~р)-».Д, 1р), й-л-со. Линейное множество ех' с введенной в нем сходимостью называется пространством обобщенных функций медленного роста ФУ".
Из этих определений непосредственно вытекает, что »9" с: Я' и из сходимости в »У'" следует сходимость в Ы', » н ововщанныв фтикции»недлеииого пост» 15! Действительно, если Г' ен еУ', то г' ~ 'Р', так как й'с: »9' и из сходимости в Ф' вы~екает сходимость в Ф" (см. 3 8.1). Далее, если Г»«0, й- оо в»У', то (Г», ~р)- О, А- со, при всех ~р из Я с:»У и, стало быть, )»-«О, я совЫ'. Тео ре м а (Л. Шварц). Для того чтобы линейный функционал г' на еу' принадлежал »У' (т. е. был непрерывным на еУ), необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа С)0 и р~О, р — целое, что для любой ~р ы »У» справедливо неравенство ~Ч, И-С~ф1,, (3) (ар ) = зцр (1 + ! х ~)» ! 0"ср (х) (. :а~~», »~я» Доказательство.
Достаточность. Пусть линейный функционал г' на»У удовлетворяет неравенству (3) при некоторых С= 0 и р~О. Докажем„что )".~ »У'. Пусть ~р»- О, й- оо в»У'. Тогда 1»р»1 — О, й- ос, а потому )(7, ч») ~ ==-С1ср»)р- О, и- со. Это значит, что ~ — непрерывный фупкциойал на «У'.
Необходимость, Пусть ) ~ »У' Докажем, что существуют числа С)0 и р - 0 такие, что для любой ~ре= У' справедливо неравенство (3). Пусть, напротив, указанных чисел С и р не существует. Тогда найдется последовательность функций <р», я=1, 2, ..., из»У' таких, что ! (), ч~»)1» й14'» 1» (4) Последовательность функций ф,,(х) = ~», й=!, 2, ..., 'г' а ир» стремится к 0 в »У', ибо при А~)а~ и й~(Р ! р А (~р» "» р' » Отсюда и из непрерывности функционала ~ на»У следует, что (г, ф»)- О, й- со.
С другой стороны, неравенство (4) дает ! Ч, Ф») 1 = . †, » „ (~Р, р») 1 ~ Л*. Полученное противоречие и доказывает теорему. оновщгнные Функции )ГЛ И Смысл доказанной теоремы состоит в том, что всякая обобщенная функция медленного роста является непрерывным функционалом относительно некоторой нормы 1 1р (как говорят, имеет конечный порядок), 3. Примеры обобщенных функций медленного роста. а) Если ) (х) — локально интегрируемая функция медленного роста на бесконечности, т. е. при некотором щ~О ~ ! ~ (х) ! (1+ ! х ! )- с(х ( со, то она определяет регулярный функционал ~ иэ еУ' по формуле (11) у 5.6, д, ср) = ~ у (х) ср (х) с!х, ср ен ер' (5) Однако не всякая локально интегрируемая функция определяет обобщенную функцию медленного роста, например, е" й 9" (Й'). С другой стороны, не всякая локально интегрируемая функция, принадлежащая У', имеет медленный рост.
Например, функция (соз е )' = — е" з!и е" не является функцией медленного роста, но тем не менее она определяет обобщенную функцию из еУ' по формуле ((соз е')' ср) = — ~ сов е" гр' (х) йх, <р ен етл. 3 а м е ч а н и е. Пользуясь теоремой Л. Шварца (см, 1 а,й) можно доказать '), что всякая обобщенная функция из оУ' является производной от непрерывной функции медленного роста. Этим объясняется название оу" — пространство обобщенных функций медленного роста. Ь) Если ) — финитная обобщеннаи функция из .У', гпо она единственным образом продолжается на Р' как элемент из У" по формуле (), р)=Ч, чр), (6) где д) ~.йт и т)= 1 в окрестности носителя )', Действительно, линейный функционал (1, т)ср), стоящий в правой части равенства (6), непрерывен на ет': если тра-+ О, й-+со в еУ, то тррь-+.О, й- оо в Ы, и потому (1, тура)- О, й- оо.
ь) См. Л. Шварц 121, гл. ЧП. Ф В! Ововщенныв Функции мадлвнного гостя !53 Единственность продолжения функционала Г" на вг' следует из плотности ~м в чУ (см. $ 8.1). В частности, продолжение (6) не зависит от вспомогательной функции т!. с) Если Г" енч9", то и каждая производная г)") енУ". Действительно, поскольку операция дифференцирования 0'<р непрерывна нз чУ 'в 7' (см, 8 8.1), то правая часть равенства (1)а! <р) ( 1)'«(г !)аф) есть линейный непрерывный функционал на ер' (ср. З 6.1). б) Если !" ычр" и бе!А~0, то Г(Ау+Ь) ~Ф".
В самом деле, поскольку операция преобразования <р!А '(х — Ь)) непрерывна из чУ в ч9' (см. ~ 8.1), то правая часть равенства +!) ) (~ ф[А <(х — ь)1) есть линейный непрерывный функционал на е9' (ср. З 5.9). е) Если Г'ен У" и а ы Вм, то аГ' <нег'". Действительно, поскольку операция умножения на функцию а из ам непрерывна из Ф' в ч7' (см. й 8.1), то правая часть равенства (а(, <р) = (), а<р) есть линейный непрерывный функционал на чУ' (ср. ~ 5.10). 4. Структура обобщенных функций с точечным носителем.
'Теорема. Если носитель обоб<ценной функции )' есть точка (0), то она единственным способом представляется в виде ~(х) = '5, 'С,0"б(х). (<) «<~=0 Доказательство. Так как обобщенная функция г имеет носитель (0), то г'енФ" (см. ~ 8.3) и, в силу (!8) р 5.!О, при всех й)0 )' = т!(йх))', (а) где <)(х) — основная функция, равная 1 в окрестности точки 0 и равная 0 при )х))1.
Далее, по теореме 154 овоБщенные Функции 1Гл. н О. а=!~!, ~)-О а!=(!,««- ~ ":,'"**и!*)~- !а !=О т а =д, ф,)+,'~„'— '„,"'д, "0())=,'у с.(в 8, р), ~а! О !а~ =О где обозначено 11 а Ч,х ). Л. Шварца (см. 5 8.2) справедливо неравенство )(г, ч))~С~!ч!)„, <реп Ы, (9) при некоторых !НБНО и С)0, не зависящих от !р, Пусть Ч! — произвольная функция из Ю. Положим Ф,(Х) = Р (Х) Ч (ХХ), Р (Х) = О (Х) — ~~ ~,( Ха.
(10) !а;=О Применяя неравенство (9) к функции фа и пользуясь тем, что В«<р (х)=0(',х!"'+' — «'), х-~0 (!у(==т), ДО«)(йх)=0(йб~), й-. со, получим 1(1' "РО)!~С)фО) = =С Бцр (1+)х!а)!0Б1!р (х)«1()гх)1,!аз,< . !у!к„- ! !Р! ~С~ гпах, у, '(0«ср (х)()ВЗ-«П()Ох)(~ ~а!~а 1, ~ ',«1=О !В! °:=С~ гпак ~ й- -!+!«!АБ «1= — '- О, д со, с ' !в!- 1г !«1=О Но, в силу (8), (Д, ф„) не зависит от й. Следовательно, по доказанному (Г, Чь) = 1цп (Г", фа) = О.
Отсюда, пользуясь (8) и (10) при !1=1, получаем пред- ставление (7)! З 8! ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА !55 Докажем единственность представления (?), Пусть /'(х) = ~ Са0аб (х) а~ а †друг представление ?, так что (Са — Са) 0 6 (х) = О ,аа=о Применяя это равенство к моиому ха, !р!(т, получаем О = ~ (С, — С„') (0"6, |а, о ( — 1)'"' (С, — С„') (6, 0аХВ) =( — 1)!Б' р)(СБ — СБ), ~сс~ О т. е.
СВ =Си. Теорема доказана. 5. Прямое произведение обобщенных функций мед- ленного роста. Пусть ?(х! айаг '()г") и д(у) енег' ()г'"). Поскольку,У' с- сг~', то прямое произведение ) (х) д(у) еп ~ ~Ф' (сг"' ) (см. 5 7.1). Докажем, что ?(х) д(у) =аг'" ()г"'"'). По определению функционала ?(х) д(у) (см.
Э 7.1) ()(х) д(у), ср)=(?(х), (д(у), ср(х, у))). (11) Докажем„что правая часть равенства (11) есть линейный непрерывный функционал на са'()г"" ). Для этого установим следующую лемму, аналогичную лемме э 7,1. Лемма. Для любых да У" ()? ) и ср ен аг" ()сс"' ) функция ср (х) =-(д (у), ср (х„ у)) еп аг'(г(") и справедливо равенство 0аср(х) =(д(у), 0„ср(х, у)), (12) Крохе того, если срл-+.О, й- ОО в ау'()г"+'"), то фл(х) =(а(у), срл(х, у))-+ О, я- со в аг"'(Р'). (13) До к а з а те л ь ст в о. Как и при доказательстве леммы у 7.1, устанавливаются справедливость равенства (12) ововщанныв етнкции 1гл.
и при всех а и непрерывность его правой части. Следова- тельно, фыС (Р'). Докажем, что фен Ф'Я"). Так как й(у) енеУ'()т ) и при каждом хан)т" я (х, у) енеу'()с'"), то, по теореме Л. Шварца (см. й 8.2), найдутся такие числа С) О и р ) О, что для любых Ч~ ы еУ Я"" ), и и х ев Я" справедливо неравенство !(д(у), О,"ср(х, у))!(С ьир (1+<у~)в(0~0„ср(х, у)!. чей~. ~т1~ р Отсюда, в силу (12), при всех хе-=' й" получаем нера- венство 1ха0 Ф(х)! (С вцР (1+~УР') ~ха0~0,<р(х, у) !. (14) вмя~,;т,<я Так как ср ы еУ()г"' ), то из неравенства (14) вытекает, что ф ен еУ'(Й"), Докажем теперь предельное соотношение (13).
Пусть срл — О, А' со в У()7"' ). Отсюда, применяя неравен- ство (14) к последовательности гв„, й- оо, получаем ) ха0 'фл ) ( сея «С ацр (1+~у!)в!ха0'„0"„~р,~ ~ О, й — со, еия"'.,~ ~<я т. е. ф„-+-О, й-+ос в еУ(й"). Лемма доказана, Из доказанной леммы вытекает, что правая часть ра- венства (11), равная (~, чд, где ф(х)=(к(у). ~р(х, у)), есть линейный и непрерывный функционал на Ф'()с" ), так что 7(х).д(у) ен~'()т" ) (ср. з 7.1).
Прямое произведение обобщенных функций медленного роста коммутативно и ассоциативно в еУ'. 7(х).д(у)=у(у) 7(х), 7(х) (й(у) Ь(г))=(7(х) й(у)) И(г), Эти утверждения вытекают из соответствующих свойств прямого произведения в,У' (см. з 7.2 и й 7.3, Ь)) и из того факта, что вд плотно в 9' (см. З 8.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
