Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Н! когда точки (5, т) пробегают множество, где сосредоточенно возмущение Т. В этом состоит принцип наложения волн (см. $ !1.3). Из принципа наложения волн следует, что возмущение и от источника Р, сосредоточенного в множестве Т (т. е. вирр г с: Т) может достичь лишь тех точек полу- пространства !) О, которые состоят из объединения носителей е„(х — $, ! — т), когда точка ($, т) пробегает множество Т. Полученное таким путем множество М (Т) называется областью влияния множество Т, М(Т)= !( (! зиррЖ„(х — $, т — т)=зпррЖ„+Т. нь т!Б т Ясно, что вне множества М(Т) будет покой, другими словами зпрр и с: М (Т), Х~ если зиррР~ Т. Конкретная реализация принципа суперпозиции ттлльй существенно зависит от структуры носителя фунь" даментального решения х Ж„(х, 1) и, стало быть, от числа и пространственных переменных (см.
з 12.1). Это, в свою очередь, опре- Ж делает особенности в характере распространения волн в пространстве, на плоскости и на прямой. 2. Распространение' волн в пространстве. Из выражения для фундаментального решения трехмерного волнового оператора ~~(х 1) = лл„! ! баь!(х) — = Рь б(о'(' — !х~'), х = (х„хм хь), вытекает„что возмущение Жь(х, 1) от точечного, мгновенно действующего источника б(х) б(1) к моменту времени 1)О будет сосредоточено на сфере радиуса а! с центром в точке х = О (рис. 46 н 44). Это значит, что такое возмущение распространяется в виде сферической волны ~х а1, движущейся со скоростью и, причем после прохожАения этой йз! РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН э !4! полны опять наступает покой, В этом случае говорят, что и пространстве имеет место принцип Гюйгенса.
Отсюда, в силу принципа наложения волн (см. з 14,1), вытекает, что возмущение и от произвольного источника с, сосредоточенного в Т, может достичь лишь тех точек, которые состоя! из объединения гранин а(! — т) = ,'х — Ц конусов будущего Г'Я, т), когда их вершины ($, т) пробегают множество Т (рис. 47), так что М(Т)= О грГ'(й, т). й, пс т При этом возмущение и(х, !) (запаздывзющий потенциал) при !)О полностью определяется значениями источника / 7 I Т ! ! а ! Т Рис 47.
Рис 48. г" ($, т) на боковой поверхности В(х, !) конуса Гэ(х, 1) (см. $ 12.3, замечание и рис. 45). В этом состоит маптематпическал формулироека принципа Г юйгенса. В частности, если возмущение г" сводится к начальному возмущению вида с (х, !)=и,(х) б'(()+и,(х).б((), (1) то и(х, () при ! О полностью определяется значениями и,($) и и,($) на сфере 5(х, а!), т.
е. в точках границы основания конуса Ге(х, !). Пусть теперь возмущение (1) сосредоточено в компакте К плоскости ( О, т. е. зцрриэс: К, зпрри, с: К. В силу сказанного в точку хЯК возмущение приде! в момент и времени !э= и будет де!!с!вовать в этой точке в течение и 232 агндлмвнтлльное гешвнии и злдлчл коши [гл. гм 0 — л времени, где й и лл — минимальное и максимальное расстояния от точки х до точек множества К (рис. 48). 0 При г ~ — = Г, в точке х снова наступает покой. Таким образом, в момент времени (, через точку х проходит передний франт волны, а в момент времени ~, через эту точку проходит задний фронт волна.
При этом в момент времени 1 передний фронт будет внешней огибающей сфер 5 Я; а(), когда $ пробегает К, а задний фронт — внутренней огил бающей этих сфер (рис. 49). Другими словами, к дб,~~ моменту времени () 0 возмущение распространяется на область, заключенную между пе~Ьюа редним и задним длай фронтами. Рассматривая эту картину при всех ( ~ О, заключаем, что в пространстве )тл переменных (х, () это возмуРис. 49. щение буде1 сосредоточено на объединении границ ~ х — $ ( = а~ конусов будущего Г" (с, О), когда их вершины (9, 0) пробегают компакт К (в плоскости т=О), т.
е. на М(К). 3. Распространение волн на плоскости. Из формулы для фундаментального решения двумерного волнового оператора 6 (аà — ! х 1) ох(х, Г) = х=(хм х,), 2иа Р аис — )х 1и вытекает, что возмущение 6,(х, () от точечного, мгновенно действующего источника б (х) б (() к моменту времени ()О будет сосредоточено в замкнутом круге радиуса аг с центром в точке х=О (рис.
50). Таким образом, наблюдается передний фронт волны (х~=и(, движущийся на плоскости со скоростью а. Однако в отличие от простран. ственного случая за передним фрон~ом возмущение на. блюдается во все последующие моменты времени, так что РАСПРостглнеиие волн х нй задний фронт волны отсутствует. В этом случае говорят, что иа плоскости имеет место ди4)фузил волн. При этом принцип Гюйгенса, очевидно, нарущается. Чтобы понять, почему происходит диффузия волн, на плоскости, заметим, что фундаментальное решение Жс (х, г), рассматриваемое как функция четырех переменных »»» Рис. ЗО.
Рис. 51. (х, х„(), представляет собой возмущение от мгновенного источника 6 (х). 1 (х,) 6 ((), сосредоточенного на оси х (см. в 11.7), Ж,(х, () =Же»[6(х) 1(х,) 6(()1. От такого источника в й' возмущение распространяется в виде цилиндрической аолны (х~(а1, передний фронт которой (х(=а( движется со скоростью а перпендикулярно оси х» (рис. 51). После прохождения переднего фронта возмущение сохраняется бесконечно долго.
Действительно, в силу принципа Гюйгенса (см. З 14.2) в данную точку (хс, 0) еи Я' в момент времени 1)0 возмущение от источника 6(х) 1(х»).6(() будет приходить из тех точек сферы ~х — х,(с+х,' а'1", которые лежат на оси х„т. е. из точек (рис. 51) ~-А„=[0, + Уа'(э — (х — хс('~, Отсюда следует, что при 1( — '=(, в точке (хм 0) ! хо! будет покой: в момент времени (с через эту точку пройдет передний фронт волны (возмущенне придет из точки х=О); во все последующие моменты времени ()(р в зту 234 фтидкмвнтллы!ог гашение и злдкчк коши [гл.
Нг точку буду1 приходить одинаковые возмущения из точек .+ А„, и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны отсутствует). Из наличия диффузии волн на плоскости в случае точечного начального возмущения 6(х) 6(1) следует, что диффузия волн наблюдается и для произвольного возмущения Р(х, Г), г =О, 1(0. Лействительно, в силу принципа наложения волн $14,1), возмущение и от источника Р, сосредоточенного Рис. 52. в Т может достичь лишь тех точек, которые состоят из обьединеиия замыканий конусов будущего Г+($, т), когда их вершины Я, т) пробегают множество Т (рис.
52), так что М(Т)= Ц Г~(й, т). еь нет При этом и(х, 1) при М)0 полностью определяется значениями источника г" ($, т) на замыкании конуса Г„(х, 1) (см. рис. 45). (В этом состоит математическое содержание лонягпия «диффузия волна). В частности, если г' — начальное возмущение вида (1), то и(х, 1) при 1)0 полностью определяется значениями иа(еь) и игй) в круге () (х; а(), т, е.
на основании конуса Г; (х, 1). Поэтому если начальное возмущение сосредоточено на К, то к моменту времени Г) 0 возмущение и(х, 1) 234 ФУндяментлльиог Ре!пение и зкдкчк коши 1гл. пг точку буду1 приходить одинаковые возмущения из точек .+. А„, и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны отсутствует). Из наличия диффузии волн на плоскости в случае точечного начального возмущения 6 (х) 6 (е) следует, что диффузия волн наблюдается и для произвольного возмущения г (х, (), г О, (~0. Действительно, в силу принципа наложения волн (~ 14,1), возмущение и от источника г, сосредоточенного Рис. 52. в Т может достичь лишь тех точек, которые состоят из объединения замыканий конусов будущего Г+($, т), когда их вершины ($, т) пробегают множество Т (рис.
52), так что М(Т)= 0 ГГ+($, т). пь нет При этом и(х, () при 1)0 полностью определяется значениями источника с'(3, т) на замыкании конуса Г„(х, () (см. рис. 45). (В этом состоит математическое содержание понятия едиффузия волн»). В частности, если г — начальное возмущение вида (1), то и(х, 1) при ()О полностью определяется значениями и»(с) и и, Д) в круге 0 (х; а(), т.
е. на основании конуса Г; (х, (). Поэтому если начальное возмущение сосредоточено на К, то к моменту времени ()0 возмущение и(х, 1) 226 ФундАментАльнОе Решение и зхдАИА кОши 1гл, н! скости х=О. Отметим, что в этом случае передний фронт состоит из двух плоскостей х= а1 и х = — а(, движущихся со скоростью а направо и налево соответственно относительно плоскости хя!хРд дахад х=О (рис. 54). После хс С прохождения переднего д фронта волны возмуще-аг, х, Ф! ' ние сохранится беско! печно долго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
