Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Сделаем это, например, для о „,. Из рекуррентных соотношений (8) и из неравенств (9) имеем !пр„!(1(,'а((о )+,Ь,!Гэр!+!с)!и !)(х, у)ду'~ о а — ' (х+у')р(!а~+(Ь,'+/с!)(х, у')ду'~ : мя ' ((х+у) "-х")=аМК "("+"1'", (р+ 1)! (р+!1! * что и утверждалось. Из оценок (9) следует регулярная (см. 6 1.3) сходимость рядов и, о у'1 ор, и1= ~~~ шр, (10) р-о р о р=о которые мажорируются равномерно сходящимся на П рядом Оу М 111 Кр ( +у) — Мен(у+у1 р! (11) р 1 Построенные функции и, о и Гэ непрерывны на П. Докажем, что они удовлетворяют системе (6).
Установим это, например, для первого из уравнений (б). Суммируя первое из рекурреитных соотношений (8) по р от 0 до 1У и пользуясь (7), получим л у 1Ч-1 У', ир(х, у) =1р, (х)+') ~Ч', Гар(х, у') о(у', йГ=1, 2, ... р-о о р-о Переходя в этом равенстве к пределу при йГ-~-Оо н пользуясь равномерной сходимостью рядов (10), получим первое из уравнений (6). Докажем единственность решения системы уравнений (6) в классе С (П). Для этого достаточно доказать, что соответствующая однородная система (6) имеет только нулевое решение (см. й 1.!1). Пусть и', о" и ио — решение однородной системы (6), !и'1~М, !о'(~М и МЕТОД РИ22АНА 2 М! ,и>* !:а:М.
Так как фУнкции ир= и*, ор — †и 2ир †вЂ' удовлетворяют рекуррентным соотношениям (8), то, по доказанному, для них справедливы оценки типа (9): ! ир (х, у) ~ ( М Кр ~', ..., р = 1, 2, Переходя к пределу при р-о-оо, получаем ио = оо = = в*=О, что и требовалось. Дока>кем непрерывную зависимость решения от данных р", 2Р> и 2Р2. Пусть 1, ф, и ф,— другие данные, причем ! 1 — 1 ) ( е, ( кр> — ф, ( == е„( кр( '— ф,' ! ( е,', 1~Р2 2Р2! ~е2 ! 2Р2 кро~ ~ео (12) Обозначим через и и й соответствующие решения задачи Гурса. Тогда найдется такая постоянная С, что ~ и — й ~ ( С (е + е, + е', + е, + ео), ~ и„— й„~ ( С (е+ е, + е,'+ е, + е,'), ~ и„— йр ~ ( С (е+ е, + е, '+ е, + е,'), ! 脄— йкр ~ ~ С (е+ е>+ е;+ ео+ ео).
(13) Действительно, функция и — й есть решение задачи Гурса с данными ) — 1, кр> — ф, и ф2 — фо. По доказанному функции и — й, о — й и и> — й>, определяемые соответствующими рядами (10), мажорируются на П величиной (1!), гпах(гнал ~по — йо~, гпах) оо — йо!, гпах) и>о — йо))ек! +2>, т. е., в силу (7) и (12), величиной м( 1к — Ф ! !к! — к!>!о — ьо, коки'( о к - К-к!К!!>-О!*, РК*/~."". о ~ С (е + е, + е, '+ е, + е,').
Отсюда, а также из соотношений (3) и из уравнения (1) следуют оценки (13). Резюмируем полученные результаты в виде следующей теоремы. 2о2 Фундлментлльное Решение и элдлчл коши 1гл П1 Теорема. Если функции а, Ь, с, [ непрерывны на П, Ф, я С'([О, ха)), Фа ЕЕ С'([О, у,)), Фт(0) =~ре(0), лю реше- ние задачи Гурса (1) — (2) в классе С' (П) существует, единственно и непрерывно зависит от данных г', Фы щ в смысле (12) — (13). 2. Формула Грина.
Г!усть функции а, Ь, а„н Ь„не- прерывны на замкнутой ограниченной области ст с ку- сочно-гладкой границей 5 н п — внешняя нормаль к 5. Тогда для любых функций и н о класса С'(П) и таких, что и „н о„„непрерывны на ст, справедлнво равенство (формула Грина) ГГ/и ди и ди (иЬи — иЬ'о) Нхду = ~~ — — — — — + аии) соэ(лк)+ =~ ['12 ду 2 ду /иди иди + ( — д — — — + Ь ) (пу)1 г(о, (14) где Ь* — днфференцнальный оператор, формально сопря- женный с оператором Ь (см.
(3) 2 11.1), деи д (ии) д (ии) Ьао им — — —— + со. дх ду дх ду Формула (14) получается интегрированием по обла- стн б тождества иЬи — ийао = д!иди иди ~д/иди иди = — ~ — — — — — — +аио)+ — [ — — — — — + Ьио) дх 1 2 ду 2 ду ) ду 1 2 дх 2 дх н применением к интегралу в правой части формулы Гаусса — Остроградского *). 3. Функция Римана. Функцией Римана оператора Ь называется функция еЯ' (х, у; $, т)), удовлетворяющая условиям: 1) функцнн етг, ой', отти н отг„и непрерывны по совокупностн переменных (х, у; $, т)) на П х П; 2) прн каждой ($, т)) ен П функция отх удовлетворяет уравнению Ц"„а>М(х, у; $, т))=0, (х, у) ~П, ') Для областей на плоскости эта Фоумула часто иазыааетса Формулой Грина.
метод РимАнА и условиям на характеристиках «=$ и у=<1 (рис. 65) ь 1 ЬМ',Ю ЛМ < л<Ь Ьо ЛЬ' еяу ~ = ее 'ЕЯ' )„» = ея ° (15) Из условий (15) выводим: Я'($ Ч' $ Ч)=1. (16) РЖ '<Р я=Ь(х, Ч)еЯ'~„„, еФ„~ А=а(3, у)ЕУР) ~. (17) В соответствии с зтим определением функция Римана ,Я"" (х, д; е, <)) оператора Еь непрерывна на П х П вместе Р 5< е те РИС. 65. с производными сй„*, еЯ„* и РЯ„"„, удовлетворяет уравнению Е„„,РЯ'*=О на П и условиям на характеристиках х $ и у=<) -< ь<х',ч>ем -(а<с,ь'] ем е<т* 1„я--*е а ~ РЯ ь!» 1=е ч э (15ь) так что еЯ'ь Д, <1; я, т<)=1, (16 ) а„'1Р„= — Ь(х, Ч)УУ'~ „, Я'*„~„,= — (5, у) йу'~,, (17ь) Те о рема.
Если функции а, Ь, с, а„и Ь„непрерывны на П, то функция Римана еЯ' су<црствует, единственна и ра4 оьндлмкнтлльнок ггансник и злдлчл коши !гл. гп справедливо равенства взг" (х, у; $, т))=айе($, т!', х, у), (18) еде е'ге — функция Римана оператора 1.*. До к а з а т е л ь с т в о. Так как характеристические данные (15) принадлежат классам С'(!О, хе!) и С'((О, уа!) соответственно, то по теореме ~ 15.1 при каждой Я, т)) ен ее П существуют н единственны решения четырех задач Гурса в прямоугольниках П,, П„Па и Па*) (рис. 65) для уравнения ь "и = 0 с данными (15). Это решение обозначим через оМ(х, у' ь", т!) По построению функция еггнепрерывна по (х, у) на П, функции еЯ'„, от„и Яаи непрерывны по (х, у) на П» ! = =1, 2, 3, 4 (теорема ~ 15.!).
Докажем, что оЯа непрерывна по (х, у) на П. Для этого рассмотрим задачу Гурса в прямоугольнике Пео П, для уравнения Т.ео .0 с данными на характеристиках х= й н у = 0: ! а нь ач еа' оь„-4 =еч, о',в а=оп (х, 0; $, т!). (19) Так как данные (!9) принадлежат классу С', то по теореме 3 15.1 существует единственное решение о ~ ыС'(П,ОП,). Поэтому о=отг' на П, и, следовательно, о отг на П,. Таким образом, оЯ'енСг(Пе()Па). Аналогично доказывается, что отг а=С'(П,() П,). Но на линии х=$, в силу второй из формул (17), функция етгв непрерывна.
Поэтому етга непрерывна по (х, у) на П. Аналогично доказывается, что и отг„непрерывна по (х, у) на П. Но тогда из равенства 1.,"„арЯ =О, (х, у) ~ П» г = = 1, 2, 3, 4, вытекает, что отг„а непрерывна по (х, у) на П и удовлетворяет уравнению ~<",, „ьчК=О на П. Непрерывность функций етг; етг, еЯв и етт,а по совокупности переменных (х, у; $, т!) на П х П следует из непрерывности этих функций по (х, у) на П и из непрерывной зависимости решения задачи Гурса от данных (!5) в смысле (12) — (13). ') Если точка Я, Ч) лежит на границе П, то соответствуюнгив прямоугольники П; вырождаются.
А М! метод РимАнА Локажем равенство (18). Пусть точки (А, г!) ен П и (5н «1,) ~ П. Считаем для определенности К, ( $ и Ч,~Ч. Применяя формулу Грина (!4) к функциям и= .=а«г* (х, у; $н Чг) и п=еЯ'(х, у; $, Ч) и к области О= =((х, р): $«(х =$, Ч,(у «..Ч! (рис. 65) и пользуясь равенствами Е*еЯ' = О, 1.еЯ* =О, (15) — (17) н (15А)— (!7к), получим соотношение (18): ! ! е«к««деЯ~ е)7* деЯ О = д! ~ — — — — — +ааЯа«г') !(х+ 2 дх 2 дх Ь у=я к $ +д(2 д 2 д + ) ъ «=!, $ ! =2~як(ЯЯ ! +21 (к(.-ЯЯ ) + е~ ы-ч Е У=% Р ч + -, ~ 8Р(.Я.Я*) + -, ~ 8Р(~."Я') «ь *-! ч «=ы ! ! — Я, Ч' $. Ч)еЯ" (~, Ч' ~ы Ч!) — — еЯ'(3ы Ч; $, Ч)х хетг*бы !!' $ы Ч1)+ ! еяг 6, Чб $, Ч)ет2*($, Чг 5м Ч1)— — 2 юЯ(~м Ч«', 5«Ч) Ю'(,'„««Ч«! 7««11!)+ — еЯ($«Ч 1«Ч)Х Х«к" (ь«Ч! ьь Ч«) — 2 6Я (к г!1' ь, Ч) е" (ь«Ч!! ы«ЧА)+ 2 --2'Ю(5.
Ч $, !) -Я'(5Н Ч'!, Ч«)= = Я"*6, Ч' Ь. Ч) — Я'($ Ч ' $, Ч) если $, $ и Ч, ( гь Аналогично рассматриваются и остальные случаи. По непрерывности равенство (18) остается справедливым на П х П. Теорема доказана. П р и м е р. Функция Римана для уравнения и„„+си = О, с — постоянная, имеет вид :«~ . «; 6, ц-«1$'~ й:67~:«)!. !де lе-фУнкциа БесселЯ (см. ниже, 2 23). т66 ФундАментАльное Решение и зАдАчА кОши шл.!!! Физический смысл функции Римана. Пользуясь формулой Грина (14), можно показать (ср. $ 6,5, я)), что функция Ж (х, у; $, т)) = 6 (х- 3) 6 (у — т!) з)т (х, у; $, т)) удовлетворяет уравнению 1.<*,, „>Ж (х, у; $, т)) = 6 (х — $) . б (у — т!).
Поэтому функцию Ж можно истолковать как возмущение в точке (х, у), порожденное точечным источником интенсивности 1 в точке ($, т)). Таким образом, функция Ж является естественным обобщением фундаментального решения (см. $ П.2) иа уравнения с переменными коэффициентами гиперболического типа.
р ~г Ркс. 66, 4. Задача Коши. Пусть б обозначает треугольную область„ограниченную характеристиками 6 х, и т! У, и отрезком гладкой кривой Х =*(т) =о(6)), Для определенности считаем, что кривая 2 проходит через точки (хт, 0) и (О, ут) (рис. 66). Предполагаем, что кривая Х нигде не касается характеристик, т. е. о'($) ..О, 0~ К $~ХФ Поставим следующую задачу Коши для уравнения (1) в области б (см. 5 4.2). Найти функцию и (х, у), иыСТ(6), и,тыС(б), удовлетворяющую уравнению (1) в С н данным Коши иа 1:: (20) их ио, 257 и! МЕТОД РИМАНА Как показано в 5 4.3, задание и и — на Х эквивади дл лснтно заданию и, и„(или и„.) на Х, в силу соотношений соз(пх)= —, соз(иу)=- — —, Л=)~1+(о')з) (2!) е' 1 Р и (х+ие!Ео =ив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
