Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Интегральные уравнения Вольтерра первого рода дифференцированием сводятся к уравнениям второго рода х йь (х, х) гр (х) + ) — 3-г — гр (у) г(у = )' (х), о сч метод последовательных пеивлижвнии 279 (К[) (х) = ~ й (х, у) 7 (у) г(у о переводит С([0, а)) в С([0, а)), Как и для уравнения Фредгольма (см.
З17.1), определим последовательные приближения <рпи по формуле: Р сг'о~=( гр~ю= ~ч, 'УРКа~» ЛКюр~а и+~ р 1 2 (25) ь=о Итерации КР7 е= С([0, а)) и удовлетворяют оценке /(Кгг')(х))~)г')с —,, хы[0, а], р=О, 1,, (26) Докажем оценку (26) по индукции по р. Для р=О оценка (26) верна. Предполагая ее верной при р — 1, докажем ее для Лп Из оценки (26) вытекает, что ряд Неймана (10) мажррируется на [О, а) сходящимся числовыМ рядом [Пс ~~„~Л!" ' ц' -— У)се'~" ь=а (27) и потому сходится регулярно по х на [О, а) при любом Л, определяя непрерывную функцию р(х). Таким образом, в силу (25) последовательные приближения р'ю при р-~оо яи Ю(х, у) и Ю (х, у) непрерывны при О~у(х~а, «'(х, х)~0, хан[0, а), )енС'([О, а)) и 7(0)=0.
Инте- ~ ральные уравнения Вольтерра первого рода здесь расматриваться не будут. Предположим, что в интегральном уравнении (24) / ~С([0, а)) и ядро ЮГ(х, у) непрерывно в замкнутом греугольииие 0(у~хна (см. рис. 68). В таком случае ~М" (х, у) ~~М и интегральный оператор ево ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ !М равномерно стремятся к функции !Г: «о !О. а! <р!Р' (х) <р (х) = У', А" (К!«)) (х), р-и оо. (28) При этом, в силу (27), справедлива оценка ~ ч«)с==-1((се """ (29) Переходя к пределу при р- со в рекуррентном соотношении (25) и пользуясь равномерной сходимостью последовательности Ч 'Р! к !Р на [О, а1, заключаем, что построенная функция «р (х) удовлетворяет интегральному уравнению (24), Докажем единственность решения уравнения (24) в классе С([0, а)) при любом )..
Для этого достаточно показать, что соответствующее однородное уравнение имеет в этом классе только нулевре решение (см. ~ 1.1!). Действительно, если !рь — решение однородного уравнения (24), <р,= ХК«рь, то Трь=ХК(АК!рь) =)«ЕК'«рь= ... =),еКРсрь, р=1, 2, Применяя к этим равенствам оценку (26): !срь(х)!= )'К'фо~~~) !Р~Ч'о)с !, р=1, 2, ..., и устремляя р к о, получаем !рь(х)=0, хек[0, а1 что и утверждалось. Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы. Теорема. Всякое интегральное уравнение Вольтерра (24) с непрерывным ядром Ю(х, у) при любом )«имеет единственное решение «р в классе С([0, и)) для любого свободного членп [ен С([0, а[), Э!по решение представляептся регулярно сходя!цил!ся рядом Неймпна (28) и удовлетворяет оценке (29) Следста ие. Непрерывное ядро Вольтсррп не ил!ест характеристических чисел. 4.
Интегральные уравнения с полярным ядром. Ядро йь" (х, у)= 'еь, а -п, где а" (х, у) ~ С(6 м 6), иазь!ваетск полярным ядром; если и а -.. —, то Х(х, у) называется слабо полярным ядром. метод последовательных пеивлижвнип 2в1 $!п Для того чтобы ядро Ж(х, у) было полярным, необходимо и достаточно, чтобы гно было непрерывным при х ~ у, х я б, у я б и удовлетворяло оценке )Й" (х„у)(..с,, а<п, хе 6, ус=6. А Действительно, необходимость условия очевидна, а достаточность следует из представления Ю(х, у)= ',, ', 0(г(п — а, кч!'(к, у) х — у,'"'к где функция Л" (х, у) =ЯГ(х, у),'х — у,,к непрерывна на бхб, Л ем ма !.
Интегральный оператор К с полярным ядром кп (х, у) переводит С(6) в С(6) Ж(6) в Хч(6) и ограничен: 1 К~(са М1))с, ) ен С(б), (30) 1КР(ч- ркФйг" 111, 1 е= ск(6), (31) где К*.= п1ах ~ ~ Л'в (х у) )с(у кыс с Ф = тах ~ ! Х (х, у) ~ ~1у, кес с До к а за тел ьство. Пусть 1~ С(б). Тогда функция <коы-) к( , киыкк= ( ~ '* .'як| кк с 1 К! )с = гп ах ~ ~ Ю (х, у) ) (у) йу ~ =- касс — 1) ~с та х ~ ', Х (х, у) ~ г(у = Ж1 1 (с. непрерывна па б (см. ~ 1.б), так что оператор К переводит С(6) в С(6) и справедливо неравепс1во (30): интеГРАльные уРАВнения !ГЛ. 1Ч Пусть ! Ев.оз (б). Пользуясь неравенством Коши— Буняковского, получаем 1К("1'= ~ ~ К) !'с(х=~ ~ ~ йэ (х, у)7(у)ау~ ах« о о(о ~1'(! УТЯТ*, 4Н У~4х1*. 44 !П41!4ф*~ «~ ~ !ьу(х, у')!йу'~ )Ю(х, у))(~(у) йуйх~ оо а «Н ~ !1(У) !'~ (4а" (х, у),1йхйу~ о о - НН' г) ~1 (у) 7 йу = НН' М)А, откуда следует, что оператор К переводит с,(6) в Ж,(0) и справедливо неравенство (Э1).
Лемма доказана. Пользуясь доказанной леммон и повторяя рассуждения ф 17.1, заключаем, что теорема ф 17.1 остается справедливой и для интегрального уравнения (2) с полярным ядром М'(х, у) в ограниченной области б х б с заменой МУ на М: если , 'А!«, —, то в классе С(б) существует ! единственное решение для любой !' е:- С(б) и это решение представляется рядом Неймана регулярно сходящимся на б.
Лемма 2. Если Л'1(х, у) — полярные ядра, )Ю1(х, у)!« ' „, а4<п, 1=1, 2, )х — у! ' и область б ограничена, то ядро й'а(х, у) = ~ ЗГА(х, у')е4"1(у', у)с(у' — также полярное, причем (Л'х(х, у)!« ' „„, если а,+о, и, ~ ,а,+44з — 4' (32) 14а 4 (х, у) ! «А4,'1и ! х — у ~ !+ А;, если их+ а, = и; ) 44е,(х, у) непрепывно на бХб, если а,+а, и. Локазательство. Представляя полярные ядра ч'1(Х, У) В ВИДЕ Ю1(х, У)= ',, О«е(п — а1, аЗ 1(х, У! (х — у1 ' з !П МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯ евз где аг('; (х, у) — непрерывные функции на 6 хб, перепишем ядро !а"з(х, у) в виде Л' (х )=! е 'у 'у'у' !( ' а, + е ° !а, + е ! Если аз+аз(и, то при е~ — (и — аз — а ), е)0 ядро еа"з (х, у) непрерывно на 6х6 (см.
9 1.6). Если же а,+ +ае — п, то, рассуждая, как и в 9 1.6, заключаем, что ей"з(х, у) непрерывно при х~ у, х ее 6, Э у ~ 6. 9л Таким образом, для доказатель- у ства леммы осталось установить оценки (32! при а,+а,) и. Принимая во внимание оценки для ядер Ю;(х, у), имеем Рис. 69. )Кз(х, У))~АзАе 1 а а, к~6, Уев 6. а,! „ !а, ' Переходя в этом интеграле к новым переменным интегрированна т) =х — у' и заменяя полученную область интегрирования на большую — шар (УО, где 0 — диаметр области 6 (рис. 69), выводим оценку ! сл з (хе у) ( ~ АзАз а ! Ч,а' ! к — у — „,а' йр Обозначая (х — у(=г, — у=а, (а(=1 и совершая в последнем интеграле замену переменных интегрирования е) =гв, с(е) =гада, получаем ) аез(х; у)) == А,А,г" —" — ° ~ ас (Б! е)5 Е! ОЕ -е.е.'- ° — ( ! р Ь1'!з — В, ' Г (331 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1Ч ,- 2а, ) 2аЧГ ( рп 1-а~-аю1гр а !1 а,+а, р 1 1С1$ С— ! ! „+ „, если а, +а,)и; = 2" о л 1п —, если а,+а, = л.
(35) Из оценок (33) — (35) и вытекают оценки (32). Лемма доказана. Из доказанной леммы следует, что все повторные ядра Я'р(х, у) полярного ядра й"(х, у) — полярные и удовлетворяют оценкам А ~х — у~;-р"+1р-'!а, если рсс — (р — 1) л)0; Ар )! п ( х — у ) !+Вр, если ра — (р — 1) и=О. !Ю'(х, у)(а- (Зб) Начиная же с номера р,=[ — „~+! повторные ядра й" (х, у) непрерывны, (Здесь [1! обозначает целую часть числа ! ==О.) Отсюда, пользуясь леммой 1 3 17.4 и рассуждая, как в З 17.2, выводим, что резольвента полярного ядра Ю (х, у) Ф(х, у; )1)= ~ ),АЮАН(х, у)= А-0 =ест(х, у; Х)+еЯ'А(х, у; )!) (37) В силу !Е(=1 интеграл в первом слагаемом представляет собой равномерно ограниченную величину (34) 1ЕС1 Учитывая при ~ $!) 2 неравенство 1В-з! ~В1-1з~=!В~-1 —,' ~В1, оценим второй интеграл: 1$ ! 1 а1 Р 1 !а~ ес $!с— Г З !7) метод послвдовлтвльных привлнхсвнин 265 представляет собой сумму двух слагаемых: полярного слагаемого р,— 2 еугт(х, у; Л) = .У, Льига+т(х, у) з о н непрерывного слагаемого е)тз(х, У; Л) Ч~ ЛзЮз+г (х, У).
(38) ь яр — ! При этом ряд (38) сходится равномерно при х ен сг, у ~ тг, !Л! ж. у — е, при любом е)0, определяя непрерывную 1 функнню ейт(х, у; Л) при хен(), ф~(г', !Л~) —, и аналнтическую по Л в круге !Л1( —. и Из сказанного следует, что теорема 3 17.2 остается справедливой для интегрального уравнения (2) с полярным ядром ей(х, у) при условии, что !Л!( —. Далее, фор- 1 мулы (22), (23) н (21') для (Ю;)(х, у), еЯ' (х, у; Л) и.
1 (г'-ЛК')-з, очевидно, также сохраняются, если')Л)(— и !Л!( —,. 1 6. Упражненнж а) Доказать, что резольвенга ейр(х, у; Л) непрерывного ядра еь (х, у) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма при 1Л! МУ (1: е~ (х, Гп Л),Л ~ й (х, ус) еД (р', у; Х) Лу'+Ю (х, р). Ь) Пусть ядро ео (х, у) интегрального уравнения Фредгольма (2) принадлежит Хз(ОХС).
Пользуясь оненкой (28) й !.!О, доказать сходнмость в Хз (б) метода последовательныз приближений для любой ) гп Хз (б), если ~ Л ! С ( 1. с) доказать, что резольвента ядра Вольтерра аналитична во всей плоскости комплексного переменного А. (пелла функция).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
