Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ХХ м А. 'г!. Колмогоров и С. В. Фомин 1!1, гл. Ч!1!. «*) С точностью до значений иа множестве меры нуль. тн ОСНОВНЫЕ Н ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦНИ 97 кой локально интегрируемой функцией. Простейшим примером сингулярной обобщенной функции является 6-функция Дирака (см. 9 5.1) (6, ф) = ф (0), «р е= Яг. Очевидно, 6 ы Я', 6 (х) = О, х ~ О, так что зцрр 6 = (0». Докажем, что 6 (х) — сингулярная обобщенная функция. Пусть, напротив, существует локально интегрируемая в Йа функция ~(х) такая, что для любой функции ф ~ «Р )г'(х) ф(х)с(х=ф(0). (12) Так как х,ф(х)ялР, если фа.ма, то из (12) вытекает ') 7(х) х,ф(х) с(х=к,ф(х)» «О (х~, ф) при всех ф ~ Ю; здесь х, — первая координата х.
Таким образом, локально интегрируемая в )«а функция х,)(х) равна нулю в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-реймона, х,г" (х)=0 почти везде, и, стало быть, ((х) =0 почти везде. Но зто противоречит равенству (12). Полученное противоречие и доказывает сиигулярность б-функции. Пусть о»а(х) — «шапочка» (см. $5.2). Докажем, что м, (х) — 6 (х), е- + 0 в М'.
(13) Действительно, по определению сходимости в .'У' соотношение (13) эквивалентно равенству Дт ~ о»а (х) ф (х) «(х = ф (0), ф ~ Я'. а +« По непрерывности функции ф(х) для любого») >О сушествует такое В,~О, что ~ ф(х) — ф(0) ~ ~»), коль скоро )х! В». Отсюда, пользуясь свойствами «шапочки» о»а(х), при всех е(г» получаем ~') «В,(х) ф(х) «(х — ф(0) ~( ~ ма(х)» ф (х) — ф(0) («(к~») ~ а«(х) с(х») что и утверждалось. Исходя из вида приближающей последовательности ы,(х), е- +О (рис.
15), обобщеннуюфункцию 6(х) удобно изображать графически, как это показано на рис. 19. 4 В. С. Ваа«амира» 98 !Гл, н ОБОБЩЕННЫЕ ИУНКИНИ Обобщением 6-функции является простой слой на поверхности, Пусть 5 — кусочно-гладкая поверхность и )с (х) — непрерывная функция, заданная на 5. Введем обобщенную функцию )ьбз, действующую по правилу жи/ ()збз, ср) = ~ )т(х) !р(х)с(5, 3 !р ее У. Рис. 19. Очевидно, р бз ~ .У'1 )тбз(х)=0, хй5, так что Бцрр)тбз с: 5. Обобщенная функция )збу называется проснзыд! слоем на поверхности 5 с плотностью )ь. 3 а меча вне.
Локально интегрируемые функции и 6-функции описывают распределения (плотности) масс, зарядов, снл и т, д. (см. б Б.!). Поэтому обабшенные функции называются также распределениями (б!з!г!Ьн!!опз, см. Л. Шварц (1, 2)). Если, например, обобшенная функция ! есть плотность масс нли зарядов, то выражение (6 1) есть полная масса нли заряд соответственно (если ! имеет смысл на функции, тождественно равной 1; эта функция не принад.
лежит Я!); в частности, (6, 1)= 1; (й 1)=) ! (х) с)х, если !' — (абсолютно) интегрируемая функция на й». 8. Формулы Сокоцкого. Введем линейный функционал бт —, действующий по формуле к' / -е оь) СО е ср ен .йр (Р'). Докажем непрерывность этого функционала на Пусть гре-ьО, й- со в Ы, т. е. гр„(х)=0, )х);ьР и ()"тра(х)- О, )г- со. Тогда )(б -', фь~)=~(УР~'— "(") (х)= Чр ~'"'' „'"' ' (х ~ /<ре'(х'),!с(хс 2Р !пах !!ра(х)!-ьО, й-э-сх» и !к1:жа ! Таким образом, ег' ее Я'.
3 61 основйыв и ововщенные Функции 99 Соотношение (14) означает, что сушествует предел по- следовательности —., е- +0 в 2.", который мы обо- х+Ге ' 1 1 значим —., и этот предел равен — (пб(х)+У вЂ”. Итак, х+ го' х' х+ „= — (пб(х)+ б' —. 1 1 (15) Аналогично, — го ь !л б (х) + ~ х 1 1 (15*) Формулы (15) и (15') называются форхгулами Сохоцкого (111, 1873 г.). Они широко используются в квантовой физике. 9.
Линейная замена переменных в обобщенных функцияк. Пусть )(х) — локально интегрируемая в Р" функция и х= Ау+9, де! А ФО, — неособенное линейное преобразование пространства Я" на себя. Тогда для любой Обобщенная функция У вЂ” совпадает (в смысле 9 5.6) 1 с функцией — при х ~ О. Оиа называется конечной частью 1 х 1 (раг!!е Дп!е) или главным значеииехг ингггеграла от —. х Установим теперь равенство !!1гп 1 ~ . г(х= — йцр(0)+Ъ'р 1 ~ — г(х, фен М. (14) .! е,1 «+ ге х Действительно, если гр(х) =0 при )х!) Й, то 1!гп 1 —.' г(х= 1!гп 1,,гр(х)г(х= е +а ! Х+1Е е ее )(Х+Е Я и =гр (0) 1!гп ~ -",, г(х+ 11гп ~ — ". ",(г((х) — гр(0))пх е +е ' " +ее е-ее а "+ее -л я = — 2(гр(0) !ип агс!й — + ~ "(х) гГ! ~г(х= е -1-0 Г ч рб = — (пгг (0) + Ч р ) — "— г(х. х 100 ововщенныв Функции 1гл.
ц ф ен Я' получим (1(Ау+Ь), ф) ° ~ ~ (Ау+ Ь) ф (у) о(у ~ 7(х) ф 1А-' (х — Ь)]ах - „,„, (т'. ф(А-'( — Ь)]) Это равенство мы и примем за определение обобщенной функции )". (Ау+ Ь) для любой ((х) ~.У'. ()(Ау+ Ь), ф) = (~, в 1 о, ), ф о=.'У. (16) Так как операция ф(х)-о-ф[А-'(х — Ь)] линейна и непрерывна из Ю в оу (см. й 5.2), то функционал ((Ау+Ь), определяемый правой частью равенства (16), принадлежит,У'. В частности, если А — вращение, т.
е. А' — А-о и Ь=О, Д(Ау), ф) (1, ф(А'х)); если А — подобие (с отражением при с~ О), А =сl, с~О, и Ь=О, то (1 (сУ), ф) — „(~, ф( — )); если А=1, то Д(у+Ь), ф) Д, ф(х — Ь)). Обобщенная функция ((х+Ь) называется сдвигом обобщенной функции )(х) на вектор Ь. Например, 6(х — х,)— сдвиг 6(х) на вектор — хо — действует по формуле (6(х — хо), ф) (6, ф(х+хо)) = ф (хо) Изложенное позволяет определить сферически-симметричные, центрально-симметричные, однородные, периодические, лоренцеинвариантные и т. д. обобщенные функции. Например, обобщенная функция 1 называется инвариантной отнасипоельно еруппы Лоренца (лоренцеинвариантной), если г(Ах) =7(х) для всех преобразований А из группы Лоренца (т.
е. для всех линейных преобразований А в )о", сохраняющих квадратичную форму х,'— — хо —... — х,'). Ф а! ОснОВный и .Ововщвнныв Ф!«нкции 1О! Непосредственно из определения (16) вытекает, что операция линейной замены переменных линейно и непрерывна из У' в Я'. (Ц+ («й) (Ау+ Ь) Х/(Ау+ Ь) + ру(Ау+ Ь), 7, й ~.'У', 7»(Ау+Ь)- О, й-~со в У', если 7»- О, й-».со в .У'. 10.
Умножение обобщенных функций. Пусть 7 (х)— локально интегрируемая в )с" функция и а(х) ~С Я"). Тогда для любой «реп Я справедливо равенство (а), «р) =~а(х) 7(х) «р(х) «(к=К о«р). Это равенство мы и примем за определение произведения а7 обобщенной функции 7ед У' с бесконечно дифференцируемой функцией а: (а), «р)=(7, а«р), «р~.У. (17) Так как операция умножения иа функцию аевС ()т") линейна и непрерывна из У в .У (см. 5 5.2), то функционал 4, определяемый правой частью равенства (17), принадлежит М'. Из определения (17) вытекает, что операция ул«ножения на функцию а~С ()с") линейно и непрерывнаизЯ' в .У': а ()«!'+ («у) = Х (а!)+ )«(ай), !', у ен.'У', 4»-» О, й-»со в Я', если 7»- О, й-» оо в,У'„ Если /' ев Ы', то справедливо равенство ) =ц7, (18) еде ц — любая функция класса С (Р'), равная 1 в окрест- ности носил«еля 7, Действительно, для любой «р е= М носители 7 и (1 — ц) «р не имеют общих точек, а потому, в силу (10), Ч-Ч1, р)=А (1 — Ч)р)=0.
Примеры: а) а(х) б(х) =а(0) 6(х), так как при всех «рея Я (аб, «р)=(б, а«р)=а(0) «р(0) =(а(0)6, р). Ь) ха~ —,=1, ! !02 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [Гл. н так как при всех <р ев ле ()с!) (ху —, тр =(уз —, хф)='ттр ~ ~ с(х= ~ ф(х)с(х=(1, !р).
Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых обобщенных функций так, чтобы это произведение опять было обобщенной функцией? Для локально интег- рируемых функций их произведение не обязано быть та! та ковым (например, ((х) а) =(х(-! в )т!), Подобное имеет место и для обобщенных функций: Л.
Шварцем показано, что такое произведение, которое было бы ассоциативно и коммутативно, определить нельзя. Действительно, если бы оно существовало, то, пользуясь примерами а) и Ь), мы имели бы противоречивую цепочку равенств: 0 = Обт — = (х6 (х)) У вЂ” = (6 (х) х) У вЂ” = 6 (х) (хУ вЂ” ~ = 6 (х). ! ! 1 1т Х х х х Чтобы определить однозначно произведение обобщенных функций 1 и я, достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами: насколько) «нерегулярна» в окрестности (произ- вольной) точки, настолько я должна быть «регулярной» в этой окрестности, и наоборот. Например, естественно считать 6(х — а)6(х — 6)=0, если ачьб; а(х)6(х) = =- а(0) 6(х), если функция а(х) непрерывна в окрестности точки О.
11. Упражнения. а) !»оказать, что функции 1 — „—, 1, х 1 е е, х — е "', — яп --, - —, — з!пав 2У'ла ' лх е ' л ха+ее' лхз е стремятся к б(х) при е- +О. Ь) доказать предельные соотношения при ! -1-со! е!х! е-ех! — -ь 2л!б (х), —. -ь О, х — Ю х — !О е(х! е-!х! — -ьО, —.-ь — 2п(б(х), !ме'"'-ьО, т-" О, к+!О х+Ю (Е (!) е'х! гб (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
