Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Число и пространственных переменных»„»„..., »„ в этом уравнении может быть любым. Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры и в среде Э И основнык тилвнвния млтемхтическои ензикн 49 (начальное условие) н режим на границе этой среды (граничное условие).
Примеры граничных условий. а) Если на границе Я поддерживается заданное распределение температуры ио. то и(з=ио (14) Ь) Если на Я поддерживается заданный поток тепла и,, тв — й — ~ =ио ди дп (15) с) Если на Я происходит теплообмен согласно закону Ньютона, то й ~„+й(и — и,) ~ =О, (16) где й — коэффициент теплообмена и ио — температура окружающей среды. Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц. При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться законом Нэрнста для потока частиц через элемент поверхности АЯ ди за единицу времени: АЯ= — 0 — АЯ, где 0(х) — коэффидп циент диффузии и и(х, Г) — плотность частиц в точке х в момент времени 1.
Уравнение для плотности и будет иметь вид (11), где р обозначает коэффициент пористости, р=О и а характеризует поглощение среды. 3. Стационарное уравнение. Лля стационарных процессов Р(х, Г) =Р(х), и(х, Г) =и(х) уравнения колебания (2) и диффузии (11) принимают вид — б(ч (р ига 8 и) + аи = г (х). (17) При р=сопз( и а=О уравнение (1?) называется уравнением Пуассона: Аи= — ?, (18) при ('=О уравнение (18) называется уравнением Лапласа: Ли =О. (19) Для полного описания стационарного процесса необходимо еще задать режим на границе — одно из граничных условий (14) — (1б). во постлиовкл кьлввык злялч игл ~ Если искать периодические возмущения и(х, () с той же частотой и неизвестной амплитудой и(х), и(х, () =и(х)е'"", то для функции и(х) получим стационарное уравнение Ли+Ми= — )(х) й = ~ ° (Ф (20) называемое уравнением Гельмгольца.
К краевым задачам для уравнения Гельмгольца приводят задачи на рассеяние (дифракцию). Например, пусть задана приходящая (из оГх)~ бесконечности) плоская волна ем~'", ~а~=1, й) О, которая подвергается изменению из-за наличия некоторого препятствия на границе 5 ограниченной области б (рис. 4). Препятствие можно задаРис. 4. вать, например, с помощью условия и!э=-0 или ди ~ — ! =О. Зто препятствие порождает рассеянную волну дл ~з о(х). Зта волна вдали от рассеивающих центров будет близка к расходящейся сферической волне о(х) =) ( — ) .
+о(~ х~-'). Поэтому при (х/- оо волна о(х) должна удовлетворять условиям вида (21) о(х)=0(~х~-'), "" — йо(х)=о(~х~-'), (22) называемым условиями излучения Зоммерфельда. СуммарИОЕ жЕ ВОЗМущЕНИЕ и(Х) ВВЕ ОбЛаСтИ Гл СКЛадЫВаЕтСя нз плоской и рассеянной волн: и(х) =е"м ">+о(х).
(23) Пусть в волновом уравнении (10) внешнее возмущение ~(х, 1) периодическое с частотой ы и амплитудой ас)(х), )(х, 1)=аЧ(х)е'"- 4 т! ОснОВные уРАВнения мАтемАтическОЙ Физики 51 Отметим попутно, что функция /(з), з= —, фигури= !х!' рующая в (21), называется амплитудой рассеяния; она зависит, кроме того, от падающего импульса Ла. 4. Уравнение переноса. Если длина свободного пробега частиц значительно больше их размеров, то для описании процесса распросгранения частиц вместо уравнения диффузии используется более точное уравнение, так называемое уривнвни переноси (хинвншчвснов уривнение).
Выпишем уравнение переноса при следующих предположениях: 1) Скорости всех частиц одинаковы н равны и. 2) Столкновения частиц между собой пренебрежимо редки. 3) Частицы сталкиваются с неподвижными ядрами среды; 1(х) — их средняя длина свободного пробега в точке х. 4) При столкновении частицы с неподвижным ядром в точке х происходит одно из следующих трех случайных событий: а) с вероятностью р, (х) частица рассеивается на ядре, отскакивая от него, как упругий шарик; Ь) с вероятностью р,(х) частица захватывается ядром; с) с вероятностью рз=! — р,— р, частица делит ядро, в результате чего появляется т (х) св! таких же частиц (при этом считается, что частица, разделившая ядро, исчезает).
5) Распределение частиц по направлениям как после рассея. ния, так и после деления равномерное (нзотропнсе). Обозначим через п(х, з, 1) плотность гастиц в точке х, летящих в направлении з=(зм за, з,), ! з ! = 1, в момент времени 1 и через р(х, з, 1) — плотность источников. Тогда функция ф=гп — поток частиц — удовлетворяет следующему интсгро-дифференциальному уравнению: ! дф — й +(з, йгабф)+иф= — ~ ф(х, з', 1) (з'+р, (24) ОЛ Г 1 где и= †, Л=р,+тра. Это есть односкоростное уравнение переноса для яропессов с изотропным рассеянием.
Вывод более общих уравнений переноса и их исследование см. Г. И.Марчук (!) и В. С. Владимиров (1). Если процесс переноса стационарный, Р(х, з, 1) /(х, з), ф(х, а, 1)=ф(х, з), то уравнение переноса (24) принимает вид (з, йгаб ф)+иф= — ! ф(х, з') бз'+/. аЛ (25) Для полного описания процесса переноса частиц необходимо задать начальное распределение потока частиц ф в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие). Например, если область й, где происходит процесс переноса, выпуклая, то граничное условие вида ф(х, з, 1)=0, хш5, (з, п„)СО, (26) 52 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ггд.
! (27) — +(У, йгад) У-(- — асад р=Е. дУ ! дГ (28) Уравнения (27) и (28) называются соответственно уравнением неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо еще задать связь между давлением и плотностью: Ф(р, р) =О, (29) так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнение состояния имеет вид р=сопз!. а для адиабатнческого движения газа ср рр-я=сопз(, н е„' где с н с„— удельные теплоемкостн газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно.
В частности, если жидность несжимаема (р=сопП) н ее движение потенциально (У = — йгаб и), то из уравнения неразрывности (27) следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона (!8). 6. аеравнення Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется переменное электромагнитное поле. Обозначим: Е(х, !)=(Е„Ез Еэ)— напряженность электрического поля, Н(х, г)=(НН )(а, )гз) — напряженность магнитного поля, р(х) — плотность зарядов, е — диэлектричесная постоянная среды, р — коэффициент магнитной проницаемости среды, 1(х, !)=-(7,, ),, (з) — ток проводнпости.
Тогда эти величины удовлетворяют слсдующен (линейной) системе днф(сренннальных выражает отсутствие падающего потока частиц на область б извне (рис. 5). Наконец, отметим, что уравнение переноса описывает процессы переноса нейтронов в ядерном реакторе, переноса лучистой энергии, прохождения Т.кван;ов через вещество, движения газов и другие. 5. Уравнения газо-гндродинамнки. Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа). т. е.
д жидкости, в которой отсутст.уез «8 вуют силы вязкости. Пусть !'о', езл) У(х, !)=(оп о,, о,)-вектор скорости движения жидкости, и р(х, !) — ее плотность, р(х, Г) — давление, )(х, !) — ннтенсиврв ность источников и Е(х, !)= = (Ем Ем Гз) — интенсивность Рис.
5. массовых сил. Тогда эти вели- чины удовлетворяют следующей нелинейной) системе уравнений, называемых уравнениями еидрадинамики (газовой динамики): др -+д(ч (рУ)-), д! уз) ОснОВные урАВнении мАтемАтическои Физики б3 уравнений, называемых уравнениями Маягвввга. д!ч(еЕ)=4пр, йч(НН)=0, го1 Е= — — —, ! д(рН) г д( (30) (3 !) го1 Н= — + — Е 1 д(еЕ) 4п с дг с (32) ! Н вЂ” го1 гр р При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удовлетворять волновым уравнениям 4 паз (.)вгрг — г р (.)а'Р и условию Лоренца — — — й р=О. ре дуг с дг с) Если процесс стационарный, то уравнения Максвелла превращаются в уравнения злгктрагтатияи йч (вЕ)=4пр, го1 Е=О (3» и в уравнения магиитостатияи йч (рН) = О, 4гт с (33) При е=сопз( электростатический потенциал Фг удовлетворяет, 4п в силу (35), уравнению Пуассона (!8) прн (= — — р. е При преобразовании уравнений Максвелла иы пользовались сле- дующими фориулами векторного анализа: йчдгад=й, го1го1=2гадйч — А), го1 угад =0, йч гог =О.
где г=З !Огг сигсек — скорость света в пустоте. Уравнение (3!> выражает закон Фарадея, а уравнение (32) — закон Ампера. Отметим частные слу ~аи уравнения Максвелла. а) р=О, в=сапы, р=.сопМ и )=ХЕ (закон Оиа), Х=сопз1. Применяя к уравнениям (31) н (32) оператор гог и пользуясь уравнениями (ЗО), для компонент векторов Е и Н получим так называемое тгмграфиог уравнение: 4лй ди с Пан+ — =О, а (33) в д1 угвр Ь) /=О, в=сопй, р=сопй.
Вводя четырехкоипонентный гвгктромагиитнггй аотгнчиав ррг, гр), =(грн ~рз, г(ч), представим решение уравнений Мансвелла в виде Е угад грр — — —, ! дф д! ' (34) ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАЛАЧ ггл. г 7. Уравнение Шредингера. Пусть квантовая частица массы то движется во внешнем силовом поле с потенциалом т'(х). Обозначим через ф(х, !) волновую функцию этой частицы, так что ~ ф (х, Г) !о Ьх есть вероятность того, что частица будет находиться в онрестностн и(х) точки х в момент времени О здесь Лх — объем и (х). Тогда функция ф удовлетворяет уравнению Шредингера од — — — Ьф-1- Уф, дф до (39) дг 2%о — ег ф(х, Г) а " ф(х), где волновая функция ф(х), в силу (39), удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера йо — — Аф+ )гф = ЕФ (40) 2лоо При У = 0 (свободная частица) уравнение Шредингера (40) превращается в однородное уравнение Гельмгольца (20).
Как и для уравнения Гельмгольца, в задачах на рассеяние на потенциале )г необходимо требовать выполнения условий излучения ЗоммеРфельда (22) иа бесконечности (пРи А=У 2шоЕ Д-', Е он 0) *). 8. Уравнение Клдйна — Гордона — Фока и уравнение Дирака. ВолноввЯ фУнкциа цо(х„ х), хо с(, х=(хо хо, хо), где с — скоРость света, описывающая свободную релятивистскую (псевдо)скалярную частицу массы то, удовлетворяет уравнению Клейка — Гордона — Фока (()+ш!) р О. (4!) Для описания свободной релятивистсной частицы массы «оо со спином 112 (электрон. протон, нейгрон, нейтрино и др.) служит четырехкомпонентная волновая функция (спинор) ор (хо х) (фг фо 'ра фо).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
