Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 5
Текст из файла (страница 5)
а) Если / ев Ж, [ ! / (х) ' с(х = О, то / (х) = О почти везде, и обратно. вп некотОРые пОнятия и пРГдлОже!!ия 2! Ь) Если !'я,л, то )7! е= Х; е!ли ! измерима и !Д! я Х, пю !" ~ Ж. При атом справедливо неравенство )))'(х) йх( =~ (~(х) ! с!х. с) Если уенХ, !' измерима и (!'(х)!(й(х) почти везде, то !'Ен й, и справедливо неравенство ) )((х) ! йхч- ~д(х) йх. Отсюда следует, что всякая ограниченная (измеримая) функция интегрируема по Лебегу на любом ограниченном (измеримом) множестве. В частности, если А — ограниченное (измеримое) множество, то интеграл Лебега ~ йх = ~ )(л (х) йх существует; он называется мерой Лебега множества А.
Ясно, что мера Лебега ограниченной области с кусочно- гладкой границей совпадает с ее объемом. д) Интеграл Лебега линеен (аддитивен) относительно подынтегральной функции: если !'~Х, йен Ж и Х и р— комплексные числа, то Х!'+рве=Я и справедливо равенство ~[Ц(х)+рй(х)) дх=Х~((х) йх+р (й(х) йх. е) Абсолютная непрерывность интеграла Лебега: если )'~,2'(С), то для любого е)0 существует такая С'Е==.С (рис. 2), что !1(х) !йхс е.
с,о 1) О переходе к пределу под зиа ком интег р ала Лебега. Теорема Ле бега. Лусть последовав!ельнос»пь (измеримых) функций !»(х), й= 1, 2, ., сходится почти везде к функции 1(х). Если сущесп!вует функция д вне такая, чл!о ! 1» (х) ! ~ й (х) почти везде, й = 1, 2, ..., то 1 ~ Х и !!щ ~1»(х) дх=) ! (х) йх.
Т е о р е м а Б. Л е в и. Если неубывающая (почти везде) последовательность )» (х), й= 1, 2, ... функций из Х ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Сгл, ~ сходится почти везде к функции )''(х) и последовательность интегралов )(А(х)дх, (г=1, 2, ... ограничена, то ('ев Х„и 1нп ~ 1, (.Т) дх = ~ )' (х) дх. у) Замена переменных в интеграле Лебега. Пусть преобразование х=х(у) класса С'(6), т. е. хл — — хА(уь у, ..., у„), А.=1, 2, ..., и, х„в=С'(6), взаимно-однозначно отображает область 6 на область 6,, / К '1 и О(- ~ — якобиан этого преобразования.
Для того чтобы (" (х) ~ Х (6), н~ обходимо и достаточно, чтобы )'[х(у)10( — 1 в=Х(6,). При зпом сприсед- ~У! ливо равенство ~ ('(х)дх= ~ /(х(у)][0( )~ду. 'о о, Ь) Теорема Фубини (о перемене порядка ннтегри рован и я в интеграле Лебега). Если фвнкция ) (х, у), заданная на Р"'", х е:- Р, ь ер Р", измерима и суи(ествует повторный интеграл Лебега функции 11(х, у) ~ ~(1) (х, у) ~ дх) ду(со, то г'ен Х.
Обратно, если )'я Х, то интегралы Лебега ')((х, у) дх, )((х, у) дд существуют почти везде, интегрирдемы по Лебегу, и справедливы равенства ~ [ 1) (х, у) Ну~ дх = ) ) (х, у) дх ду = ~ [1( (х, у) дх1 с(у. Отметим, что если функция ) (х, у) неинтегрнруема, то повторные интегралы мокнут и не сугцествовать или не 4 Н некОтОРые понятия н предложения быть равными, например: с(' ! (л'+ уе)е Ь Ь ! 1 ! (хе+ ух)е с(х ду= — -". 4' 3 а м е ч а н н е Интеграл Лепета по кусочно-гладкой поверхности о стронтся аналогнчно.
Прн атом для функций /(х, у), заданных на )хчк5, сохраняется соответствующая теорема Фубнни. — г) /(х, () с(х= г) — —,' с(х. (' г д/ (х, с) вс д =,) дс Доказательство. По предыдущему утверждению функция )/,(х, т)с(х непрерывна по т в (а, Ь). Далее, пользуясь теоремой Фубини (см. у 1.4, 1!)), При всех 5. Интегралы Лебега, зависящие от параметра. Условия, прн которых имеет место непрерывность по параметру и возможно дифференцирование под знаком интеграла, для интеграла Лебега менее ограничительны, чем дчя интеграла Римана.
Из теоремы Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла Лебега (см. р 1.4, ()) непосредственно вытекает следующее утверждение, Пусть функция /(х. у), заданная на )с" хА, А с: Р", непрерывна по и нп множеспсве А при почти всех х ен )т" и существует интегрируемая функция д(х) псакая, что при каждом уен А 1/(х, у) !.=д(х) почти везде.
Тогда интеграл )/(х, у) дх есть непрерывная функция на А. Справедлива следующая Теорема (о дифференцировании под знаком интеграла Лебега). Пусть функция /(х, С), заданная на /сеу((а, Ь), имеет непрерывную по ( в (а, Ь) производную /,(х, () при почти всех хее гсч и существует интегрируемая функция у(х) такая, что при каждол! С~(а, Ь) )/с(х, С)(~д(х) почти везде; пусть, далее, при некопсоРом (е ен (а, Ь) сУЩествУет интегРол ~/(х, Са) с(х. Тогда функция )/(х, () дхен С'(а, Ь) и справедливо равенство Сгл, ю постлновкл келевых злдлч ! я (а, Ь) имеем =)/(х, 1) йх — ~~(х, гл) с(х, откуда, дифференцируя по ~, получаем равенство (5! и остальные утверждения теоремы.
6. Интегралы типа потенциала. Пусть функция р(у) (абсолютно) интегрируема на ограниченной области Ос: )с" и обращается в нуль вне 6. Интеграл 1(х)= з у(у) у, 0<а<а, у~а 1 называется интегралом типа потенциала. Такие инте- гралы часто встречаются в математической физике. Докажем сначала справедливость оценки «С)сл, хаву. Ыу (6) Действительно, если ~х~=:2Й, то )х — у~~(х!— — ~ у ~) )с при всех ~ у ~ ()с, и поэтому ву 1 Г л ял-а.
!х — у~а йа ~ а если же ~х~(2)с, то )х — у~(!х~+ ~у~ 3)с и 1 л (3)у)л а Ву Г ЛЗ Г Лс Ел ~х — у~" = 3 ~В~а ~ ~я|а = и-а я ибя1 и зя Здесь ол — площадь поверхности единичной сферы в )сл. Оценка (6) доказана. Из (6) вытекает, что прн всех й) 0 существует повторный интеграл !р(у)~ "' „йу С.К -" ~р(у),Ду. А тогда, по теореме Фубинн (см. з 1.4, й)), интеграл ! (х) существует почти всюду и представляет собой локально интегрируемую функцию в )сл (см. $ 1 4). $ н некОтОРые пОнятия и паедложения за Вне области 6 интеграл 7 (х), в силу результатов $ 1.5, есть бесконечно дифференцируемая функция и все ее производные получаются дифференцированием под знаком интеграла (лзУ (х) = р (у) лз," ~ ду, х ен Я"',б.
,х — В,а Докажем, что при всех () 0а)(х)=0(~х(- — з'), )х; — ОО. (7) Действительно, пусть 6 с: Уп и ,' х ~ ) )с; тогда ) х — у ) ~ ~ х ) — ) у ( ) ) х ! — й и ри всех у ее 6. Отсюда, принимая во внимание оценку у,а ~ ~х В а+~В~ ' при (х! ) й получим г ~о(у) ~вв ка а)а+~ В ~ откуда и следует (7) (см. р 1.3). Теорема. Пусть функция р ограничена, ~р(у))(М почти везде в 6.
Тогда интеграл УенС'()к"), где р— наибольшее целое число такое, что и+р(п. Соответспмующие производные функции 7(х) получаются дифференцировпнием под знаком интегрпла. Доказательство. Докажем, что 7(х) — непрерывная функция в )с". Фиксируем х, ее )с" и возьмем произвольное е)0, Тогда ~«а-ич~~~мм(„, ',. —, ' .(аа име ю +М ! ! ! ~х,— у)а )х — у~а! l' — Й. ох (ки ю Первое слагаемое справа, в силу оценки (6), не превос ходит 2МСац'- н потому может быть сделано ~ при постАноакА кРАеВых зАдАч В силу оценки ~ х — у,"+е ( ~ х — д,'!к~! рассуждение, полностью аналогичное тому, которое мы только что проделали для интеграла /(х), показывает, что функции /!(х) непрерывны в //к. Докажем, что /„(х) = /! (х), !' = 1, ..., и.
(8) Для этого применим то же рассуждение, что и при дока- зательстве теоремы 2 1.5. Имеем ,1 д 1 дх; (х — д!" — !(х! к; р (у) =1(х„..., х; „$!, ..., х„) — 1(х„..., х! „х,', ..., х„), откуда, дифференцируя по е!, получим рав'нство (8). Законность перемены порядка интегрирования в предц- достаточно малом !). Во втором слагаемом подынтегральная функция равномерно непрерывна по (х, у) в области )х — хе~~ —, (у — хе~от), уя б и обращается в нуль ч при х = х,; поэтому этот интеграл может быть сделан е ( — при всех к ~ (/(х„; 6), если 6 достаточно мало, 2 6 == ч .
Итак, нашлось такое число 6, что ! 1 (хе) — 1 (х) (( < — + — = е при всех ~ х — х, ! 6. Это и значит, что функ- 2 2 ция 1 (х) непрерывна в (произвольной) точке хе ен Як, т. е. / ~С(//к). Пусть я+1(п. Продифференцируем подынтегральное выражение в / (х) по хо ( = 1, ..., л, и рассмотрим функции ! <*) = ( е (е! ~ †„ „,. ! = ~ дх!, х — у !а некоторые пОнятия и предложения дугцих равенствах вытекает из существования повторного интеграла в силу теоремы Фубини (см. ~ 1.4, Ц).
Здесь мы воспользовались оценкой (6), предполагая, что б с:. Уе. Таким образом, мы доказали, что 1енСз()7а) и допустимо дифференцирование один раз под знаком интеграла 1(х), Если же а) 2 < л, то, применяя предыдущие рассуждения к функциям 1;(х), установим, что /ее ее Се(17") и допустимо дифференцирование два раза под знаком интеграла 1(х); и т. д. Теорема доказана.
Пусть функции еЯ' (х, И), еУУ'з(х, у) и ут'т(х, у) непрерывны на бхб, Аналогично предыдущему устанавливается, что интегралы е х (х, у) с" е т ,(х, у') ехг з(у', у) ~х и~щи и непрерывны на б и бхб, если а<л и а,+авил соответственно. 3 а меч ан не. Все сказанное об интеграле 1(х) без существенных изменений переносится и иа интеграл типа потенциала вида — по, 0<а<и — К р рй )х-у (о где 5 †ограниченн кусочно-гладкая поверхность и р -ограниченная функция на 5. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
