Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Не. линейные волновы~ уравнения (245). Метод Римана . 1. Решение зядпчп Гурсв (217> 2. Формула Грина (252). 3. Функции 1'пм,цщ (152> 4. 3 дача к~ шн (2ы). Задача Коши для уравнснии теплопроводности...... 1. топловод оотенцнзл (260). 2. поверхностный гепловоп петен. циал (263). 3. Постановка обобщенноа задачи Коши для уравнения теплопроаодности (205). 4 Решение задачи Коши (2ьь). 5. Уп. ражнения (767), Метод последовательных приближений........... 1. Интегральные уравнения с непрерынныч ндром (270. 2 Повторные ядра Реэольвента (>Пб). 3. Интегральные уравнении Вольтерра О73).
4 Интегральные уравнения с паляримм ядром (вйп 5. упражнения (255). Теорсл>ы Фрсдгольма . 1. интегральные уравнении с ямрожаенным ядром (2яг>. 2. тео. ремы Фрелгольма для интегральных уравнений с яыражденным «дроп (24"). 3 Теоремы Фредгольм. для инте~ральпых упаэнеииб с непрерывным ядром (293ь 4. Следстаня из теорем Фредгольма (29ь> 5. теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярник ядром (29)) 6. Упражнении (ЗОП. Интегральные уравнения с врмитовыч ядром...,...
П. Интегральные операторы с эрмитовыч непрерыоныч ндром (302>. 2. Лемма Арчела — Асколи (303) 3. Интегральные уоавнеиия с врмитовым непрерывным ядрам (ЗШ> 4 Интегрзльяые уравнения с зрмитовым полярным ядром (%7) Теорема Гильберта †Шмид и ее следствия ......, 1 Теорема Гильберта †Шмид для эрмитооа непрерывнага ядра ыоч> 2. Бнлинеаное разложение повторных ндер (712).
3 Ьилиневное разложение зрмитовв непрерь аного ядра (ШЗ). 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитозым непрерыяным ядром (316> Б. Положительно определенные ядра (317). 6. Распространение теории Гильбертз — Шмидта на интегральные уравнения с эрмнтавым палнрным ядром (.(М). 7. Теорема Ентча (Шо). 3 Метод Келлога (327> 9 Теорема Мерсера (ЗЗЫ, Задача на собственные значения .............. 1. Постановка задачи на собственные значения(3271. 2. Формулы Грина (729).
3 свойства оператора с (32аь 4. свойства собственных значеннб и собственных функцнб оператора С (110 5. Фи° нческнб смысл собственных эначенив и собственных функВиб (зпэ). ОГЛАПЛРППБ Задача !!!турмл — Ли]ни.щн, ..,.....,....... 1. Фунхцн: (пнн 4хе] ! [» ивине зилги п] тгм: -,[и>вилли к ннтегрильпому у[»~ ! .. и,, [мн), 3, [ шш, и.,г бгпн н ~ чня ченнй и сабе!агиных ]у шнп> Ш4!). 4.
Пях жцение спогт г ных значений н гобс ! шипы +ункшю [ 143) 336 $23. Функции !хссселя 345 1. Определени и простеишн, свойстве ~]уикцип Бессели 1345). 2. Свойство ортогпинльинсти 1447), ] Рснуррент ые сош пения ДЛЯ ФУНКпнй ГегсгЛ» [>[Ч>. 4 К рни 4Уняш и Бегсспи Ы5П) Ь Краевая задаче и:«пбсп«пны знхченн ал~ уравнени Бессели (352). 6. Иеоднороцнач краевен задача дли уравнении Бесселя (ЗЫЬ 7. Полнота функций Бесселя (355], 5..[ругне цилиндрические функнин 135>ь 9, \'прчжнгния 1358]. 4 24.
Гарыояпческие функции . 1. Формула Грина (ЭЮ>. 2. Распространение формул Грина ()62>. 3. Теорема о среднем арифметическом (364>. 4 Принцип максимума 13%). ь. следстоня из прннцнпа максимума (Зьт). ч. Бги ранце особенностей гармонической фун«цин [3681. 7. Обобщенногврмоническне функции (збч) 8 дальнейшие свойства гармоннчеснмх функций (37н) 9. Аналог теоремы Лиувилля (47П. Ю. По. ведение гармоничссной функции на бесконечности [3725 П. Упражнения (374]. й 25. Сферические функции 374 1. Определение сферических функций (374]. 2.
Дифференциааьиос уравнение для сферических Ьункпий [176> 3. Полино ы Лежандра (ЗТ7). 4. Производящая функция !479> Ь Присоединенные функ. цяи Лежандре [352). 6. Сферические функции [зхЗ) 7 Формула Лапласа (38з] 5. Шаровые функции [ЗЯ] 9 Упражнения ЯЯ]. !. Общая схема метода Фурье (388) 2. примеры (395). й 27. Ньютонов потенциал 1. Обьемный потенциал (395) 2. Потенцяалы простого и двойного слоя (3961 3.
Физи вский смысл ньятоноаых потея~[нилин (399). 4. Поверхности Лнпунова [4цп>. 5 Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности Ь (495>, 6. Разрыв потенциала двойного слоя (407>. 7. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя (409). Ь Упражнении (4П). 4 28. Краевые задачи для уравнений Лапласа ц Пуассона в про- 412 странстве . 1. Постановка основных «рясных задач [П2>.
2 Теоремы елин. ственнпсти решения ираевык задач (413). 3. Сведение краевжк задач к интегральным уравнениям ([Щ). 4. Исследование интегральных уравнений 1418). 5. Решение чапа Лнрихле и Неймана алв шара (422). 4 29. Функция Грина задачи Лярихле ........ 1 Определение н свойства функции Грина [423]. 2. Примеры построения функции Грина (метод отражений)(426). 3. Решение краевой звдвчн с помощью функции Грина 1429). 4.
Формула Пуассона (430). 5. Сведение краевой зада~и к интегральному уравнению (431)[ 6. Свойства собственных значений и сабствен. нмх функций (434). 7 Уцражиения [436>. $30. Уравнения Гельмгольца . 438 1. Условии излучения Зомиерфельда (438), 2 Однородное урввнеине Гельмгольца (439), 3. Потенциалы (441) 4. Принцип предельного поглощении (465). ь.
принцип предельной амплитуды [444). б. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца (44Ь). 7. Внешние краевые эаднчи длн шара (4(7). Б Унражненнн (4)5). 4 26. Метод Фурье для задачи яа собственные значения.... 388 ОГЛАВЛЕНИЕ 4 31. Краевые задачи для уравнения Лапласа иа плоскости 1 Постановке н едннственность решсняя основных краевых чздзч П19>. 2. Логзрявмнчсскна потенннвл (450).
3. Рвзрешммость краевых задач (154> 4 Рчшеняе крвееых вадзч дл» круга (457). 5 Функция Грняв задачи Днрнхле (159) б Рензенне звпечн Днрнкле для односвязноа области Нь1>. 7. упрзжяенмя (452>. Глава >71 Смешанная задача....... 4 32. Метод Фурье 1 Однорпдпое гнп рбптн » ос урзпнсчне ((К5) 2. Неоднородное гннерб,лнчссквс ур нпн. и ПЬ>>, 3. Пчрзболвческое урвененне (4 4) 4 урв~ неннс шг'днпгере 117н) 5.
элляптпческос урввненнс (4)ц ь прим оы (пл, 7. упрвжненнв (4гп). 9 ЗЗ Смешанная задача алн >равнения гиперболического типа Клзсснческос решение. Интеграл энергии (479>. 2. Едянствея. ность н непрерывнзя зввнгямость «лзгспчеснаго решеня» (1421. ) Функннн, нелперыпныс в Х, (О) (чкз). 4 Обобщенное решенне (шз). 5. Удннственность н нгпрерывнва звеясемость обобщенного рсшення ( ЧП. б Существовзнне обобщекнога решеннн (492>.
. Существонзнне клвсснческогп пешенян (495). 4 3-1 Смешанная задача для уравнения параболического типа Клзсснческпе решение. Прннпнп мзкснмумв (499>. 2. Едннстпенность я непрерывпня зленснмость клзсснческого решения (шв). 3. Обобщенное решение (тд) 4 Существование обобщенного решепян (Ь и 5 Сущгствовьнме классического решения рчп(). Л>псратура . 11рсдчстнь)н >коза>ель 464 464 479 497 505 509 )Н 1 1(В Н гН(11 1 '11 111! 1'11)МЧ !!.')ДАНИЮ Лпг Имение и исследование математических моделей физических лазский составляет предмет матемптической физики. Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно развитию физики и математики. В конце ХНН в.
было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформу. лнрованы основные законы классической механики н закон всемирного тяготения (И. Ньютон). В ХЧН) в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн и стержней, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. )халамбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, П. Лаплас).
В Х1Х в. идеи ма. тематической физики получилн новое развитие в связи с задачами теплопронодности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т. дй создаются теория потенциала и теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, К. Гаусс, О. Коши, М. В Остроградский, П. Лирихле, Б. Риман, С.В.
Коваяевская, Л.Станс, А. Пуанкаре. А.М. Ляпунов, В.А.Стеклов, Д. Гильберт). В ХХ в в з~атсматическую физику включаются задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые проблемы газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы. Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам дхя дифференциальных (интегро.дифференциальных) уравнений — уравнений математической физики. Основными математическими средствами исследования этих задач служат теория дифференциальных уравнений (включая родственные области: интегральные уравнения н варнационное исчисление), теория функций, функциональный анализ, теория вероятностей, приближенные методы и вычислительная математика. Изучение математических моделей квантовой физики потребовало привлечения новых областей математики, таких как теории обобщенных функций, теории функций многих комплексных переменных, топологических и алгебраических методов.
С появлением ЭВМ существенно расширился нласс математи. ческих моделей, допускающих детальный анализ; появилась реаль. ная возможность ставить вычислительные эксперименты. В этом интенсивном взаимодействии теоретической физики н современной математики создаются качественно новые классы моделей современной математической физики. Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач, т, е, задач, для которых решение существует, единственно н непрерывно зависит от данных задачи, Хотя этн требования на первый взгляд кажутся совершенно естесу- првдисловив к чвтвцртоыч изданию веннычп, их тем пе менее необходимо доказывать в ромках принятой зчотелптической модели. Доказательство корректности — это первая апробация математической модели: модель непротиворсчиаа (решсние сушествует), модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно), модель мало чувствительна к по.
грешпостяи измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задачи). В этой книге изучаются в основном корректно поставленные краевые задачи для дифференциальных уравнений классической ма. тематической физики. Однако в отличие от традипионных способов изложения уравнений в книге широко используется концепция обобщенного решения. Обог>шсппыс решения возникают при изучении интегральных соотношспнй типа локального баланса, и учет этих решений приволнт к обобщенным постановкам кроееыт зпдоч ма. тематической физини. Точное определение обобшенного решения опирается на понятяе обобщенной пропзеодной и вообще, обобщенной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
