Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Снабдим класс С(Т) нормой, положив 1) (с — зцр )) (х) ), ( ~ С(Т). (1) «аг Норма (1) обладает следующими тремя характерными для нормы свойствами: а) !!!с~О; !) (с=О тогда и только тогда, когда ("=О; Ы 1Ч)!с = ~ ) ! ! ~ 1с, где ) — любое комплексное число; с) ~)+й(с~!!Йс+!дй (неравенство треугольника). Вообще всякое линейное множество, снабженное нормой. обладающей свойствами а) — с), называется линейным нормированным про-транством. Таким образом, С(Т) — линейное нормированное пространство.
Последовательность функций )», й=1, 2, ..., из С(Т) называется сходящейся к функции ) е= С(Т) в просгпранстве С(Т), !» — /, й .- а С(Т), если 1/, — )', — О, й- ОО. Очевидно, сходимость !»- ), Ф- со в С(Т) эквивалентна равномерной сходимости последовательности функций (»(х), й=1, 2, ..., к функции ((х) на множестве Т: «аг !»(х) — ) (х), й- со. Последовательность функций (», й=1, 2, ..., из С(Т), называется сходящейся в себе в С(Т), если 11» — 1»1с- О. й -«- ., Р -+ со.
Следующее предложение выражает свойство полноты пространства С (Т) (теорема Коши), Для того чтобы последовательность функций из С(Т) сходилагь в С(Т), необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе в С(Т), Справедливы следующие полезные предложения. Теорема Вейерщтр асса. Гели 6 — ограниченная область и (ЕНСЕ(6), то для любого е>О существует полинам Р такой. что )О'") — 0"Р!с(е при всех )и) р. постановка кваевых задач 1гл. г Л е м м а 71 и н и*).
Если монотонная последовательность непрерывных ф9икг(ий на компакте К сходится в каждой точке к йгпрерьмной функиии на К, гпо она сходится равномерна на К. Ряд, составленный из функций и„ев С(Т), называется регулярно сходггщимся на Т, если ряд из абсолютных величин 'иь(х)) сходится в С(Т), т. е. сходится равномерно иа Т. Множество нгг' с: С (Т) называется раьностепснио-нечрерывнылг на Т, если для любого е О существует такое число б„что при всех 7я "Ф имеет место н.равенство ~)'(х,) — )(х,)~<е, как только (х,— х,,'<Ь„х„х,яТ, Функция 7 е= С (Т) называется непрерывной по Гель- деру на Т, если существуют такие числа С)О и сг, О < <а-.=1, что при всех х, ед Т и хае- :Т справедливо неравенство (Г (х,) — ) (хв) ~ = С ~ х, — х, !о; если а= 1, то функция гг (х) называется непрерывной по Липьииг(гг на Т, Пусть функции ) (х) и ьг (х) заданы в окрестности точки х„(конечной или бесконечно удаленной).
Будем писать: )'(х) = О (го (х)1 или /(х) =- о [го (х)], х- х,, если отношение — ограничено или стремится к О при / (х) гь (х) х — х, соответственно. 4. Интеграл Лебега. Говорят, что множество А ~ гг имеет меру нуль, если для любого е) О оио может быль покрыто шарами суммарного объема <в. Из этого определения вытекает, что всякое подмно- жество множества меры нуль имеет меру нуль и объеди- нение не более чем счетного числа множеств меры нуль также имеет меру нуль.
Например, гсякое счетное мно- жество и всякая кусочно-гладкая поверхность имеют меру нуль. Говорят, что некоторое свойство выполняется почти везде в обласпш б г: )7", если множество точек области 6, которые не обладают этим свойством, имеет меру нуль; е) См., например, В. И. Смирнов [2], гл. 1. % и НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ !т при этом вместо «почти везде в )г"» будем говорить просто «почти везде«п Считаем, что все функции заданы но всем пространстве Пл и почти везд ксисчиы.
Функция 1 называется чзш римой, если она совпадает почти везде с пределом почти везде сходящейся последа. вательности кусочно-непрерывных функций. Из этого определения следует: если функции ) и о измеримы, то функции !' Рй«, /о, гпах(!', у), гп)п()', у), и 1,д, если д~-О, гакжс измеримы: всякая функция, совпадающая почти еездс' с пределом почти везде сходящейся псследовательнссти измеримых функций, измерима. Множество А ~ /лл называется измеримым, если его характеристическая функция )(,! (х) (см. 5 1.!)*) изме. рима.
Неизмеримые функции (и множества) устроены весьма неправильно, и ни одна из них не построена в явном виде; можно только теоретически доказать их существование, используя так называемую аксиому выбора. Это говорит о том, что всг функции и множества, которые нам могут всгнрепи!тося, будут измеримы. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, не оговаривая э!лога каждый раз, чнга все рассматриваемые множества измеримы, а функции изнсримы и !!Очи!и везде конечны. Пусть ) (х) — кусочно-непрерывная финитная функция. Элемент обьема в )г" обозначим через г(х=дх,ах«...г(х„ так что л-кратный интеграл Римана функции ! по )«" сокращенно запишем в виде ) ) (х) дх = ~ ~...
) !' (хн х„..., х„) дх1 дх« .. дх„. ял Пусть (вещественная) функция )(х) совпадает почти везде с пределом неубывающей последовательности кусочно-непрерывных функций )»(х), й=-1, 2, ... с ограниченной последовательностью интегралов (Римана) (!«(х) дх, у=1, 2, ... Предел неубывающей ограниченной последовательности этих интегралов называется интеграла,н Лгбега функции !' и обозначается символом )!'(х) бх, «) Ссылка вида Э !.2 оэиь«аст пункт 2 $ 1.
пост»новк» келевьгх злдлч (гл, г так что ~/(х) дх=-1(гп~/»(х) г(х. Класс таких функций обозначим через У". Чтобы это определение было корректным, нужно до- казать, что ингпеграл Лсбега функции /~Х' не зависигп огп последовагпельноггпи (/»). Прежде всего докажем: если /евЖ', )(х) ==0 почгпи везде и (/») — по.мгдовпшелоност», опрсделяюсцая ингпсграл Лебега функции /, пю 1(гп ~ /» (х) г(х =- О.
(2) Для доказательства (2) возьмем произвольное е)О, Пусть числа М ) 0 и М ) 0 таковы, что /, (х) = О, 'х~)М и /,(х) -. — М, хан//и, так что и ~»(х) ~0, (х~ ) М, /»(х) тэ М, хе=(/п, /е = 1, 2, ... (3) Обозначим через А множество тех точек шара (/и, в ко- торых разрывна хотя бы одна из функций /»(х), у=1, 2, ... или /»(х) -» /(х), /г- оо. Множество А имеет меру нуль и, значит, его можно покрыть шарами (/(х,; г/), /=1, 2, ..., сумма объемов которых (е. Итак, на ком- пакте К=17п',()(/(х,; г/) функции /»(х) непрерывны н /»(х)- /(х) )О, /г- -.о, и потому для любой точки х из К найдется такой номер М„и такое число г„, что /н„(х') > — е, х' е- =(/(х; г„) Г) К.
Таким образом, ком- пакт К покрыт сисгемой открытых шаров (/(х; г ), х еп К. По лемме Гейне — Бореля из этого покрытия извлечем конечное покрытие, и пусть М, — наибольший из соотвег. ствующих номеров М„. Так как функции /»(х) не убы- вают, то, в силу выбора номера М,, /н, (х) З /н„(х) ге — е, х я К с Юн. Отсюда и из (3) при всех п~ М, имеем: )/'»(х) с(х~)/н.(х) с(х) ~ /н,(х) дх= ип =-: — е~ дх — М,У, ~ дх) — е/~ с(х-)-М1, ия / и(»/;,);ип еп НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ и ПРЕДЛОЧКЕННЯ !9 что ввиду произвольности е и влечет требуемое неравенство (2). Пусть теперь !йу) — другая последовательность, определяющая интеграч Лебега функции !'Ее Х", Тогда из неравенства !нп [)» (х) — дз (х)) = !с (х) — рд (х) ~ О (почти везде) следует, в силу (2), неравенство ! Пп ~ [/» (х) йсс' (х) ] йх = 1 пи ~ )» (х) ~ уз (х) йх ) О 1'=1, 2, ... и потомт 1(т [дг(х) йт = )йп ~!'»(х) йх.
г » сс Меняя ролями последовательности (Ц и (и;), получим обратное неравенство, и, следовательно, справедливо требуемое равспство (пп г))»(х) йх =11гп [д;(х) йх. » со /-СО. Вещественная функция !'(х) называется интегрируемой по Лебегу (суммируемой), если она представима в виде разности функций класса Ж', )(х)=),(х) — (»(х), ~у Я,У», 1=1, 2. (4) Число ~(, (х) с(х — ~(» (х) с!х = ~((х) ах называется интегралом Лсб»га функции !'. Класс функций, интегрируемых по Лебегу, обозначим через Х, Все функции класса Ж измеримы и почти везде конечны. Чтобы оправдать это опРеделение, нужно показать, что интеграл Лебега функции г* е= Ж не зависит огп представлении (4).
Действительно, если ! — Ь =1= и — а б ее ~', ву ен Ж', то г»+й»=к»+!». Отсюда и из свойства аддитивности интеграла Лебега для функций класса Х' вытекает требуемое равенство 1, г', (х) йх — [(» (х) йх = [ у, (х) с1х — [ у» (х) с(х. 20 постьновкь келевых зкдлч 1гл. 1 Комплексиозначная функция / (х) называется интегри. руемой по Лебегу /яХ, если йе/~Х и 1пз/аХ; число '1 Ке / (х) с(х + ( ~ 1т / (х) с(х = ~ / (х) дх называется интегралам Лебегп функции /. Будем говори1ь, чзо функция /'(х) инп1егрируел~а по Лебегу на измерил|ам множестве А, / ~ Ж (А), если /Хл еп Х; число ~/(х) ул (х) ах= ~/(х) дх л называется интегралом Лебгга функции / по множеству А, Функция /(х) называется локально инпгегрируемаи по Лебеги в области 6, / ~ Хь» (6), если / с= Х(6') для всех измеримых 6'е:: 6. Обозначаем: Хь,~ (й") =Х~ ь. В соотвечствии с эзими определениями всякая кусочно- непрерывная финитная функция иитегрируема по Лебегу, и ее интегралы Римана и Лебега совпадают.
С другой стороны, существуют функции, интегрируемые по Лебегу и неинтегрируемые по Риману, например функция Дирнхле: 1 О, х иррационально, [ 1, х рационально. Интеграл Лебега функции /,(х) равен О (/, ~,зу+), Можно показать, что если функции /'(х) и )/(х)! интегрируемы по Ри нану (вазмозено, в несобственном смысле), та они интегрируемы и по Лебегу, и их интегралы в обоих смыслах совпадают. Имея в виду этот факт, впредь мы будем называть интегрируемые по Лебсгу функции просто ингпегрируемыми функциями.
Интеграл Лебега обладает следующими основными свойствами (некоторые из них следуют непосредственно из определений, доказательства других можно найти, например, в книгах Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя [11, гл. !1 и А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [11, гл. Ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
