1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 6

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.14 / 22Принцип виртуальных перемещений (принцип Лагранжа)Для того, чтобы механическая система, подчиненная идеальнымсвязям, находилась в равновесии, необходимо и достаточно,чтобы в этом состоянии сумма работ всех активных сил,приложенных к точкам системы, на любых виртуальныхперемещениях точек, равнялась нулю.NXF̄ ν δr̄ ν = 0илиν=1NXδA(F̄ ν ) = 0ν=1Зачастую принцип виртуальных перемещений применяют пристационарных связях.

Для таких склерономных систем, как известно,виртуальные перемещения системы совпадают с возможными,поэтому в такой ситуации этот принцип называют«принцип возможных перемещений».Обычно принцип виртуальных перемещений в данном видеприменяется для исследования равновесия голономных систем.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.15 / 22Традиционно принцип виртуальных перемещений применяется дляисследования частного состояния равновесия системы –положения покоя, когдаr̄ ν (t) ≡ r̄ 0ν−→v̄ ν = r̄˙ ν ≡ 0(ν = 1, . . . , N )Если связи стационарны, то термин «подчиненная идеальным связям»означает, что положение системы удовлетворяет геометрическимсвязям.

Кинематические же связи удовлетворяются тождественно.Если связи нестационарные, то предполагается, что принципвиртуальных перемещений имеет место при любом t, если положитьвсе r̄ µ = r̄ 0µ , v̄ µ = 0 в выражении силы F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ).Принцип виртуальных перемещений является самым общимпринципом аналитической статики.

Из него можно получить условияравновесия любой механической системы.Отметим, что общее уравнение статики из принципа виртуальныхперемещений, представляет собой систему – из n уравнений – почислу независимых вариаций координат. И в каждом этом уравнениипо прежнему – отсутствуют реакции идеальных связей!Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.16 / 22Пример: «Правило рычага» — «Золотое правило механики»выигрыш в силе компенсируется проигрышем в перемещенииdr2 Стержень – невесомый,опирается на неподвижный упор.djF2 F̄ 1 , F̄ 2 – силы, перпендикулярныеâîçìîæíûé ïîâîðîò,dr1стержню, приложены в разных концах.äîïóñêàåìûé ñâÿçüþδr̄ 1 , δr̄ 2 – возможные перемещениясоответствующих концов, направленные перпендикулярно стержню (покасательной к связям, являющихся окружностями радиусов l1 и l2 ).Модули возможных перемещений: δr1 = l1 δϕ, δr2 = l2 δϕ,где δϕ – возможный поворот вокруг упора.Связь – стационарная, значит виртуальные и возможные перемещениясовпадают. Согласно принципу возможных перемещений:F1δr2l2 δϕl2F̄ 1 δr̄ 1 + F̄ 2 δr̄ 2 = 0 ⇒ F1 δr1 − F2 δr2 = 0 ⇒===F2δr1l1 δϕl1l2F1=⇒F2l1F1l1Батяев Е.

А. (НГУ)l2ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.17 / 22Работа сил инерции твёрдого телапри стационарных связяхБудем представлять себе твёрдое тело как неизменяемую систему (взаимныерасстояния между точками которой не изменяются) из N отдельных точек.Пусть J̄ ν – сила инерции точки Pν тела, обладающей массой mν идвигающейся с ускорением āν , т.е.J̄ ν = −mν āν(ν = 1, . .

. , N )Скорости и ускорения точек твёрдого тела выражаются формулами ораспределении соответствующих величин из кинематических теоремv̄ ν = v̄ C + ω̄ × ρ̄ν ,āν = āC + ε̄ × ρ̄ν + ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν )где v̄ C , āC – скорость и ускорение полюса тела, выбранного в центре масстела C, ω̄, ε̄ – угловая скорость и угловое ускорение тела, ρ̄ν – вектормежду центром масс C и рассматриваемой точкой Pν тела.Ранее было показано, виртуальные и возможные перемещения точексистемы при стационарных связях совпадают, и, для тела, имеют вид:δr̄ ν = ∆r̄ ν = δr̄ C + (ω̄ × ρ̄ν )∆tгде δr̄ C – возможное перемещение центра масс тела, а ∆t – бесконечномалый промежуток времени.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.18 / 22Определим работу сил инерции точек тела на их возможных (виртуальных)перемещениях:NXδA(J̄ ν ) =ν=1NXJ̄ ν · δr̄ ν =ν=1NX−mν āν · (δr̄ C + (ω̄ × ρ̄ν )∆t) =ν=1=−NXmν āν · δr̄ C −ν=1NXmν āν · (ω̄ × ρ̄ν )∆tν=1Первое слагаемое из определения центра масс системы точек принимает вид:ÃN!Xmν āν · δr̄ C = M āC · δr̄ Cν=1где M – масса тела, āC – ускорение центра масс тела.Сумма из второго слагаемого распадается на три суммы:NXmν āν · (ω̄ × ρ̄ν ) =ν=1=NXNXmν (āC + ε̄ × ρ̄ν + ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν )) · (ω̄ × ρ̄ν ) =ν=1mν āC ·(ω̄×ρ̄ν )+ν=1Батяев Е.

А. (НГУ)NXmν (ε̄×ρ̄ν )·(ω̄×ρ̄ν )+ν=1NXmν [ω̄×(ω̄×ρ̄ν )]·(ω̄×ρ̄ν )ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.19 / 22В этом выражении первая и последняя суммы равны нулю:Ã!NNXXmν āC ·(ω̄×ρ̄ν ) = āC · ω̄ ×mν ρ̄ν = āC ·(ω̄ × M ρ̄C ) = 0ν=1(т.к. ρ̄C = 0)ν=1NXmν [ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν )] · (ω̄ × ρ̄ν ) = 0(т.к. ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν ) ⊥ ω̄ × ρ̄ν )ν=1А вторая сумма по правилу циклической перестановки векторов всмешанном произведении приводится к виду:"N#NNXXXmν (ε̄×ρ̄ν )·(ω̄×ρ̄ν ) =mν ε̄·(ρ̄ν ×(ω̄×ρ̄ν )) = ε̄·mν (ρ̄ν × (ω̄ × ρ̄ν ))ν=1ν=1ν=1Учитывая, что скалярное произведение векторов не зависит от координатнойформы записи векторов — в кёниговых осях (или аналогично в абсолютнойнеподвижной системе координат) Cx1 x2 x3 или в сопутствующей системекоординат (жёстко связанной с телом) Cξ1 ξ2 ξ3 , выражения которых связаныс помощью ортогональной матрицы поворота A выражением c̄ = Aec—имеем: "#"N#NXXe ×ρeν )) ∆tε̄ ·mν (ρ̄ν × (ω̄ × ρ̄ν )) ∆t = eε·mν (eρν × (ων=1Батяев Е.

А. (НГУ)ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.20 / 22Выражение в квадратных скобках является кинетическим моментом телаотносительно центра масс, который определяется также и с помощьюоператора инерции: NXe C = JC ωe ×ρeν )) = Lemν (eρν × (ων=1Тогда работа сил инерции точек тела на их возможных перемещениях имеетвид:NXδA(J̄ ν ) = −M āC · δr̄ C − L̄C · ε̄ ∆tν=1Для плоского движения тела, при выборе оси Cx3 = Cξ3 перпендикулярнойплоскости движения, вокруг которой возможно вращение тела, определяемоеe = ωeуглом поворота ϕ, имеем: ω̄ = ωe3 , ε̄ = eε = εee3 , (ω = ϕ̇, ε = ϕ̈), тогдаeC · ee ·eL̄C · ε̄ = Lε = (JC ω)ε = (JC e3 ) · e3 · ω ε = J3C ω εгде J3C – осевой момент инерции тела относительно оси перпендикулярнойплоскости движения, проходящей через центр масс Cx3 .

Отсюда получимNXδA(J̄ ν ) = −M āC · δr̄ C − J3C ε · δϕν=1где δϕ = ω∆t – возможное угловое перемещение тела вокруг оси Cx3 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.21 / 22В литературе вводятся обозначения (для плоского движения тела):−M āC = V̄(J)(J)−J3C ε = mC− главный вектор сил инерции приложенный в центре масс− главный момент сил инерции относительно оси Cx3с учетом которых, работу сил инерции тела при плоском движении можнопредставить в виде:NXδA(J̄ ν ) = V̄(J)(J)· δr̄ C + mC · δϕν=1Для сравнения, приведём полученное ранее выражение для элементарнойработы сил, приложенных к телу в плоском случае:δA = F̄ · δr̄ O + MO · δϕгде F̄ – главный вектор сил, MO – главный момент сил относительно оси,перпендикулярной плоскости движения и проходящей через полюс O (O необязательно является центром масс тела).Ещё раз отметим, что все возможные перемещения точек тела (δr̄ C , δr̄ O ) ивозможные повороты тела (δϕ), допускаемые связями, определяются длярассматриваемого положения тела в данный фиксированный момент времени.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.22 / 22ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫУРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫВ ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.1 / 16Как мы убедились раньше основную задачу динамики несвободнойсистемы точек удобно решать, разделив на 2 более простые задачи:1. задача определения только движения при заданных силах и связях(из принципа Даламбера-Лагранжа при идеальных связях):NX¢¡F̄ ν − mν āν · δr̄ ν = 0ν=12.

задача нахождения неизвестных реакций связей (идеальных) по уженайденному движению:R̄ν = mν āν − F̄ ν(ν = 1, . . . , N )Однако общее уравнение динамики несвободной системы обладаетрядом существенных недостатков (зависит от числа точек системы,количества связей . . .

). Оказывается можно построить уравнениядвижения, также не содержащие реакций, и свободные от указанныхнедостатков на основе введения так называемых обобщённых координат.Далее будем рассматривать простейший тип систем – голономных,т.е. только с геометрическими связями на положения системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.2 / 16Итак, рассмотрим движение голономной системы N материальных точек Pνс радиус-векторами r̄ ν = (xν , yν , zν ) относительно некоторой инерциальнойсистемы отсчёта, при наличии g (g < 3N ) геометрических связей:fα (t, x1 , y1 , z1 , .

. . , xN , yN , zN ) = 0(α = 1, . . . , g)(1)Функции fα (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N ) предполагаются достаточно гладкими инезависимыми так что функциональная матрица J 0 , составленная изчастных производных от этих функций по координатам, имеет ранг g:0BBJ =B@0∂f1∂x1...∂fg∂x1∂f1∂y1...∂fg∂y1∂f1∂z1...∂fg∂z1∂f1∂xN... ...∂fg...∂xN...∂f1∂yN...∂fg∂yN∂f1∂zN...∂fg∂zN1C ∂fαC,C=∂xiνArangJ 0 = g(2)Из-за наличия геометрических связей координаты точек системы связаныg соотношениями (1), поэтому среди 3N координат только (3N − g) будетнезависимыми. Это число независимых координат для голономной системысовпадает с её числом степеней свободы n = 3N − g .Уравнения связей в (2) позволяют выразить зависимые координаты через nнезависимых координат и время t так, что эти независимые координатыопределяют положение механической системы в каждый момент времени.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.3 / 16Однако положение системы не обязательно определять независимымидекартовыми координатами. Для этой цели можно, а иногда и удобнее,использовать n других независимых параметров — {q1 , . . . , qn },в каждый момент связанных взаимно однозначно с независимымидекартовыми координатами.Тогда функциями этих параметров и времени t будут и зависимыедекартовы координаты, а значит и все 3N координат точек:xν = xν (t, q1 , .

. . , qn ),yν = yν (t, q1 , . . . , qn ),zν = zν (t, q1 , . . . , qn )Эти равенства эквивалентны соответствующим векторным равенствам:r̄ ν = r̄ ν (t, q1 , . . . , qn )(ν = 1, . . . , N )(3)Скалярные функции xν , yν , zν , а следовательно и векторныефункции, предполагаются достаточно гладкими по qσ (триждынепрерывно-дифференцируемые)Итак, в каждый момент t времени, n независимых величин{q1 , . . . , qn } определяют декартовы координаты всех точек и темсамым определяют положение системы. Поэтому эти величиныназываются — обобщённые координаты системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2018 г.4 / 16Обобщённые координаты могут быть величинами различной природы:расстояниями (длинами), углами, площадями и т.д.

Важно толькособлюдать главное требование: они должны быть независимыми друготносительно друга и находиться во взаимно-однозначном соответствии снезависимыми декартовыми координатами.Последнее условие означает, что ранг матрицы составленной из частныхпроизводных от декартовых координат по обобщённым координатам равенчислу степеней свободы системы n (т.е. количеству обобщённых координат):0BBBrang BB@∂x1 /∂q1∂y1 /∂q1∂z1 /∂q1...∂zN /∂q1...............∂x1 /∂qn∂y1 /∂qn∂z1 /∂qn...∂zN /∂qn1CCCC=nCAБудем предполагать, что обобщённые координаты {q1 , . . .