1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 5

Это можно сделать и притом единственнымобразом, ибо дело сводится к определению множителей из системылинейных алгебраических уравнений, определитель которой,¾½ как легко∂fα σ,lвидеть, совпадает с функциональным определителем J =∂xσν βν(из первой лекции), который не равен нулю.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.4 / 22После этого в равенстве (6) останутся только члены с независимымивариациями. Но тогда коэффициенты при этих независимыхвариациях тоже должны равняться нулю – для выполнения равенства.Таким образом, путём надлежащего подбора множителей λα и µβ ,можно обратить в ноль все скалярные коэффициенты при вариациях вравенстве (6), и, следовательно, все векторные коэффициенты вравенстве (5).

Из этих последних условий устанавливаем, что должнобыть:gkX∂fα XR̄ν =λα+µβ l̄βν(ν = 1, . . . , N )(7)∂r̄ να=1β=1Эти формулы определяют общий вид реакций идеальных связей.Теперь подставляя выражения для R̄ν в уравнения движения системыполучим так называемые — уравнения Лагранжа первого родаmν āν = F̄ ν +gXα=1Батяев Е. А. (НГУ)kλα∂fα X+µβ l̄βν∂r̄ ν β=1ЛЕКЦИЯ 3(ν = 1, . .

. , N )Новосибирск, 2018 г.(8)5 / 22К этим уравнениям надо ещё добавить уравнения связей:fα (t, r̄ ν ) = 0 (α = 1, . . . , g)NX(9)l̄βν v̄ ν + Dβ = 0 (β = 1, . . . , k)(10)ν=1Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными аналогами,получаем замкнутую систему: она содержит 3N + (g + k) уравнений,для нахождения такого же числа искомых величин: 3N координатточек xσν (ν = 1, . . . , N, σ = 1, 2, 3) и (g + k) множителей связи λα , µβ .Система (8)-(10) определяет математическую модель«несвободная система с идеальными связями».Для решения основной задачи динамики несвободной системы врамках данной модели, к уравнениям (8)-(9) следует присоединитьсовместимые со связями начальные условия для функций xσν , которыевходят в уравнения дифференциальным образом:xσν |t=0 = xσν0 ,σẋσν |t=0 = vν0Интегрируя эту систему, получим уравнения движения xσν = xσν (t) имножители Лагранжа, а потом из (7) найдём реакции связей R̄ν .Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.6 / 22Особенности лагранжевых уравненийс неопределёнными множителями⊕ позволяет полностью решать основную задачу динамики системы,т.е. определять и движение системы и реакции связей;⊕ служит исходным соотношением для получения других, болееудобных уравнений, не содержащих реакций;ª громоздкость системы (система зависит от числа точек N и быстрорастёт с ростом N );ª с ростом числа связей движение системы упрощается, а находитьего приходится, наоборот, из более сложной системы уравнений.Поэтому уравнения Лагранжа первого рода очень редко применяются.Далее мы получим уравнения Лагранжа второго рода для голономныхсистем, в которых количество уравнений – равно числу степенейсвободы системы, т.е.

количеству неизвестных независимых вариаций.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.7 / 22Принцип Даламбера-Лагранжа.Общее уравнение динамики.Обратимся к исходным уравнениям движения несвободной системыmν āν = F̄ ν + R̄ν(ν = 1, . . . , N )(1)и к требованию идеальности связей:NXR̄ν · δr̄ ν = 0(2)ν=1Здесь āν = ¨r̄ ν – ускорение точки Pν в инерциальной системе отсчёта,F̄ ν , R̄ν – равнодействующие активных сил и реакций связей,приложенных к ν-ой точке системы, δr̄ ν – её виртуальное перемещение.Выразим из уравнений движения реакции:−R̄ν = F̄ ν − mν āνУмножая скалярно обе части этого равенства на δr̄ ν и суммируя поν = 1, . . .

, N , с учётом уравнения идеальности связи получим:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.8 / 22NX¡¢F̄ ν − mν āν · δr̄ ν = 0(11)ν=1Данное соотношение является необходимым и достаточным условиемдля того, чтобы движение, совместимое с идеальными связями,отвечало данной системе активных сил F̄ ν (т.е.

являлось истинным).Необходимость: условия (11) мы только что показали.Достаточность: предположим, что задано некоторое движениемехнической системы, совместимое с идеальными связями, длякоторого выполняется условие (11) для любых δr̄ ν . Тогда, еслиположить реакции этих связей в виде: R̄ν = mν āν − F̄ ν (ν = 1, . . . , N ),то получим, что удовлетворяются равенство (2) для идеальных связейи дифференциальные уравнения движения (1), полученные напрямуюиз законов Ньютона. Таким образом, в любой момент времени можноподобрать такие реакции R̄ν , которые в силу равенства (2) являютсядопустимыми для данных связей и при которых имеют местоуравнения движения (1).Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.9 / 22Соотношение (11) характеризует движение всякой системы точек сидеальными удерживающими связями по отношению к активнымсилам F̄ ν и соответствующим (для данного момента времени)виртуальным перемещениям δr̄ ν . Оно получило названиеОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИСтоящие в (11) выражения −mν āν = J̄ ν называются – силы инерцииА выраженияF̄ ν · δr̄ ν = δA(F̄ ν ),J̄ ν · δr̄ ν = δA(J̄ ν )определяют – элементарную работу активных сил и сил инерцииν-ой точки системы на её виртуальном перемещении. Применяяэту терминологию, можно сказать:общее уравнение динамики показывает, что: в любой фиксированныймомент времени сумма элементарных работ активных сил и силинерции на любых виртуальных перемещениях системы равна нулю.NXν=1Батяев Е.

А. (НГУ)δA(F̄ ν ) +NXδA(J̄ ν ) = 0ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.10 / 22Общее уравнение динамики получено нами в предположении обидеальности связей (2). Если же связи таковы, что все или частьреакций Ḡν не удовлетворяют условию (2), то, как и говорилосьранее, общее уравнение динамики можно использовать всё равно, ноформально добавив к системе активных сил F̄ ν эти неизвестные«неидеальные» реакции Ḡν , тогда уравнение (11) примет вид:NX¡¢F̄ ν + Ḡν − mν āν · δr̄ ν = 0ν=1Возникающая при этом неопределённость системы уравнений должнакомпенсироваться дополнительными данными (соотношениями) офизических свойствах и характере связей, порождающих Ḡν .Важным свойством общего уравнения динамики является то, что ононе содержит реакций идеальных связей.Если необходимо знать реакции, то их можно определить из уравненийR̄ν = mν āν − F̄ ν(ν = 1, .

. . , N )после определения уравнений движения точек системы r̄ ν (t) (āν = ¨r̄ ν ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.11 / 22Соотношение (11) на самом деле является не одним уравнением,а содержащим в себе – n количество уравнений — равное числустепеней свободы системы, которое определяется количествомнезависимых вариаций из δx1 , δy1 , δz1 , .

. . δxN , δyN , δzN .Проще всего эти уравнения получить делая одну вариациюненулевой и фиксируя (зануляя) остальные перемещения.Отметим ещё раз, в каждом из полученных n уравнений –отсутствуют реакции идеальных связей.Общее уравнение динамики (11) содержит всю информациюо движении данной механической системы с идеальнымиудерживающими связями под действием заданных активных сил.Действительное движение системы полностью определяетсяобщим уравнением динамики.Далее оно будет положено в основу получения всех основныхдифференциальных уравнений движения механических систем.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.12 / 22Общее уравнение динамики (11) называют такжедифференциальным вариационным принципомДаламбера-Лагранжа. Вариационным он называется, потомучто туда входят вариации – виртуальные перемещения.А дифференциальным называется потому что в нём сравниваетсяданное положение системы с её варьированным положением вданный фиксированный, хотя и произвольный, момент времени.Принцип Даламбера-ЛагранжаИстинное (действительное) движение механической системыс идеальными связями выделяется из всех кинематическивозможных (допускаемых связями) тем, что только для негов данный момент времени, сумма работ активных сил и силинерции на любых виртуальных перемещениях системы равна нулюNXν=1Батяев Е.

А. (НГУ)δA(F̄ ν ) +NXδA(J̄ ν ) = 0ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.13 / 22Принцип виртуальных перемещенийМеханическая система находится в состоянии равновесия, еслиравнодействуюшие активных сил и реакций, приложенных к каждойточке системы, равны нулю:F̄ ν + R̄ν ≡ 0(ν = 1, . . . , N )Из дифференциальных уравнений движения несвободной системы,находящейся в равновесии, следует что тогда все ускорения точекравны нулю:F̄ ν + R̄νāν =≡0(ν = 1, . . . , N )mνТаким образом, при равновесии, точки системы могут либо двигатьсяс постоянными по модулю и направлению скоростями (не обязательноодинаковыми), относительно какой-либо инерциальной системы отсчета,либо покоиться, если их начальные скорости равны нулю.Общее уравнение динамики при равновесии системы принимает вид:NXF̄ ν δr̄ ν = 0илиν=1NXδA(F̄ ν ) = 0ν=1Это равенство выражает собой:Батяев Е.