1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018))

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 1ВВЕДЕНИЕВ АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУВОЗМОЖНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, СКОРОСТИ,УСКОРЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕКСИСТЕМЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.1 / 18В литературе по механике нет единого общепринятого толкованиятермина «аналитическая механика». На наш взгляд, характерным длясистемы изложения аналитической механики является то, что в еёоснове лежат некоторые общие принципы, из которых аналитическимпутём получаются основные дифференциальные уравнения движения.Оказывается, что построение классической механики на базе законовНьютона – не является единственно возможным способом.В основу механики можно положить один из вариационных принципов.Принципами называют: во-первых, некоторые основные начала, накоторых может быть построена какая-либо теория, научная система ит.п., а во-вторых, законы, основные положения о чём-либо. Подпринципами часто понимают также точку зрения, убеждения и т.д.Принципы теоретической механики можно разделить на вариационныеи невариационные.К невариационным принципам относятся, например, аксиомыдинамики (т.е.

законы Ньютона), а также законы механики (например,закон сохранения энергии, закон всемирного тяготения).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.2 / 18Вариационные принципы механики представляютсобой выраженные языком математики условия, которыеотличают истинное (действительное) движение механическойсистемы от других кинематически возможных, т.е.

допускаемыхсвязями (ограничениями).Вариационные принципы делятся на:дифференциальные – дают критерий истинногодвижения для данного, фиксированного момента времени;интегральные – дают критерий истинного движения наконечном интервале времени.Мы будем рассматривать преимущественно дифференциальныепринципы, а интегральных принципов коснемся исключительно вобразовательных целях.Итак, изложение общих принципов механики, вывод из нихосновных дифференциальных уравнений движения, исследованиесамих уравнений и методов интегрирования – всё это составляетосновное содержание аналитической механики.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.3 / 18Свободные и несвободные системы.Связи и их классификация.Рассмотрим движение механической системы материальных точек Pν(ν = 1, . . . , N ) относительно некоторой неподвижной (инерциальной)прямоугольной декартовой системы координат Oa xα .P1x3PnvnP2P3rnOax1x2Состояние системы – задаётсярадиус-векторами r̄ ν (t) и скоростями v̄ ν (t) её точек.Часто при движении системы положения искорости её точек не могут быть произвольными.Ограничения, накладываемые на r̄ ν (t) и v̄ ν (t),которые выполняются всегда, при любых силах,действующих на систему, называются – связи.Если на систему не наложены связи, то она называется – свободная.При наличии хотя бы одной связи система называется – несвободная.Примеры: 1. движение точки по плоскости, по сфере, связана нитью,в первом октанте; 2.

движение конька по льду – скорость задней точкинаправлена вдоль конька. 3. задача преследования.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.4 / 18В общем случае, связь задаётся уравнением:f (t, r̄ ν , r̄˙ ν ) = 0(1)где в левую часть входят: t – время, r̄ ν – радиус-векторы и r̄˙ ν – скоростивсех точек Pν системы (ν = 1, . . . , N ). Обозначением f (t, r̄ ν , r̄˙ ν ) пользуютсядля краткой записи выраженияf (t, r̄ 1 , . . .

, r̄ N , r̄˙ 1 , . . . , r̄˙ N ) = 0Функция f имеет в общем случае (6N + 1) аргументов: 3N декартовыхкоординат – xν , yν , zν точек, 3N проекций скоростей – ẋν , ẏν , żν и время - t.Функцию f предполагаем дважды непрерывно дифференцируемой.Связь представленная в виде уравнения (не неравенства) называется— удерживающая (двусторонняя, неосвобождающая).Если же связь имеет вид неравенства: f (t, r̄ ν , r̄˙ ν ) > 0, причём, реализуетсякак знак равенства, так и знак строго неравенства, то связь называется— неудерживающая (односторонняя, освобождающая).

Если достигаетсяравенство в неудерживающей связи, то говорят, что связь – напряжена.Примеры: 1. движение точки по плоскости параллельной Oa xy (z = const);сфере |r̄| = const – удерживающие связи; 2. связь нитью: l2 − (r̄ 1 − r̄ 2 )2 > 0,в первом октанте (x > 0, y > 0, z > 0) – неудерживающие связи;Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.5 / 18Однако, движение системы с неудерживающей связью можно разбить научастки, где:• связь напряжена, т.е.

связь становится удерживающей, и• связь не напряжена и движение происходит как будто связи совсем нет.Т.е. связь либо заменяется на удерживающую, либо вовсе отбрасывается.Поэтому дальше будут рассматриваться – только удерживающие связи.Если уравнения связи можно записать в виде не содержащем проекциискоростей v̄ ν точек системы:f (t, r̄ ν ) = 0(2)то связь называется — геометрическая (конечная).

Если же в уравнениесвязи входят проекции скоростей точек, т.е. в общем случае: f (t, r̄ ν , v̄ ν ) = 0,то связь называется — кинематическая (дифференциальная).В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением дифференциальных связейчастного вида в силу их важности и наглядности – линейных по скоростям:f (t, r̄ ν , r̄˙ ν ) =NXl̄ν · r̄˙ ν + D = 0(3)ν=1Здесь вектора l̄ν и скаляр D являются заданными функциями от t и r̄ ν .Предполагается, что векторы не могут все одновременно обращаться в ноль.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.6 / 18При наличии геометрической связи система не может в каждый моментвремени t занимать любое положение в пространстве. Конечная связьнакладывает ограничения на – возможные положения системы в момент t.При наличии же только дифференциальной связи система в любой моментвремени t может иметь произвольное положение в пространстве. Однако вэтом положении, в некоторый момент времени t, скорости точек системыуже не могут быть произвольными.

Дифференциальная связь накладываетограничения на эти – возможные скорости точек системы.Однако каждая геометрическая связь вида (2) влечет как следствие и связьна скорости точек (т.е. дифференциальную связь), которое получаетсяпочленным дифференцированием уравнений связи:NXd∂f∂ff (t, r̄ ν (t)) =r̄˙ ν +=0(4)dt∂r̄∂tνν=1∂fгде= gradν f – градиент f . Полученная дифференциальная связь∂r̄ νнеэквивалентна исходной геометрической связи f (t, r̄ ν ) = 0, а эквивалентнаf (t, r̄ ν ) = c, где c – произвольная постоянная. Но, поскольку она может бытьпроинтегрирована, дифференциальную связь (4) называют интегрируемая.При этом, конечно, предполагается, что уравнение кинематической (тожедифференциальной) связи, например вида (3), нельзя проинтегрировать,поэтому её еще называют – неинтегрируемая.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.7 / 18Примеры: 1.

Кинематическая связь = неинтегрируемая дифференциальная.Задача преследования:yMТочка M – преследующая (лиса), точка N – преследуемая (заяц).Скорость точки M всегда направлена на точку N .vMПусть точка N , для простоты, движется вдоль оси x, по законуNx = ξ(t). Если радиус-вектора точек M и N : r̄ M = (x(t), y(t)),xx(t)r̄ N = (ξ(t), 0), тогда условие того что скорость точки M :−−→v̄ M = (ẋ, ẏ) направлена по вектору M N = r̄ N − r̄ M = (ξ(t) − x, −y) означает, чтоv̄ M = (ẋ, ẏ) = k(ξ(t) − x, −y) где k - множитель. Отсюда получим:ẋẏ==k(ξ − x)−kyисключая k−−−−−−−→ẋy = −ẏ(ξ − x)т.е.ẋy + ẏ(ξ − x) = 0−−→или, что то же самое, l̄ · v̄ = 0, где l̄ = (y, ξ − x) - вектор ортогональный v̄ и M N .За исключением тривиального случая ξ(t) = const, полученное уравнение связи –не интегрируемо.2.

Геометрическая связь = интегрируемая дифференциальнаяКачение колеса без скольжения:jyP – мгновенный центр скоростей, v̄ P = 0.CКинематическое условие движения без проскальзывания:x vC = −ω · PC, или в координатном виде: ẋC = −ϕ̇ · RP(R – радиус колеса)После интегрирования получим: xC = −ϕ · R + const - геометрическая связь.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.8 / 18Геометрическая связь называется — стационарная, если∂fвремя t не входит явно в уравнение связи, т.е.= 0 (связь∂tнеподвижна).В этом случае левая часть уравнения (4) дифференциальнойсвязи – линейна и однородна относительно скоростей.По аналогии с этим кинематическая связь называется —стационарная, если D = 0 и векторы l̄ν в (3) не зависятявно от времени t.Заметим, что в декартовых координатах уравнения связейзаписываются в виде:(1) ⇐⇒ f (t, xν , yν , zν , ẋν , ẏν , żν ) = 0(2) ⇐⇒ f (t, xν , yν , zν ) = 0P(3) ⇐⇒(Aν ẋν + Bν ẏν + Cν żν ) + D = 0ν µ¶P ∂f∂f∂f∂f(4) ⇐⇒ẋν +ẏν +żν +=0∂xν∂yν∂zν∂tνБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.9 / 18Типы системСистема материальных точек называется — голономная,если на точки этой системы не наложены дифференциальныенеинтегрируемые связи, т.е. кинематические (на скорости).Таким образом, голономной является всякая свободная системаматериальных точек, а также несвободная механическая системас конечными или дифференциальными, но интегрируемымисвязями. То есть у голономной системы все связи могут бытьзаписаны в обычном конечном виде (т.е. геометрические).(греч. öλoζ – весь, целый, общий; nomos – обычай, порядок, закон)Если среди связей, наложенных на механическую систему, естькинематические (дифференциальные неинтегрируемые) связи, тотакая система называется — неголономная.Механическая система называется — склерономная, еслиона свободна, либо на неё наложены только стационарные связи.Механическая система называется — реономная, если срединаложенных на неё связей есть хотя бы одна нестационарная.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 1Новосибирск, 2018 г.10 / 18Ограничения, накладываемые связями на положения,скорости, ускорения и перемещения точек системыПусть на систему точек наложены g геометрических связейfα (t, r̄ ν ) = 0 (α = 1, . . . , g)и k кинематических связейNXl̄βν v̄ ν + Dβ = 0 (β = 1, . .