1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 36

работа реакций связей, приложенных к точкамсистемы, на любых виртуальных перемещениях точек равна нулю:NXR̄ν · δr̄ ν = 0. Тогда реакции идеальных связей можно представить в виде:gkν=1X∂fα XR̄ν =λα+µβ l̄βν(ν = 1, . . . , N )(13)∂r̄ να=1β=1где λα и µβ – неопределенные множители (в общем случае какие-тофункции от r̄ 1 , . . . , r̄ N и t) и справедливы дифференциальные уравненияЛагранжа первого рода при идеальных связях:gkXdv̄ ν∂fα Xmν= F̄ ν +λαµβ l̄βν(ν = 1, . .

. , N )(14)+dt∂r̄ να=1β=1которые вместе с уравнениями связей (1)-(2) образуют замкнутую систему3N + g + k уравнений на 3N + g + k неизвестных функций xν , yν , zν , λα , µβ .3N + g + k = n + 2g + 2k = m + 2g + kБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.7 / 17Запишем уравнения Лагранжа первого рода в обобщённых координатах. Для∂r̄ νэтого умножим уравнения Лагранжа на(σ = 1, .

. . , m) и просуммируем∂qσпо ν = 1, . . . , N :NXNmνν=1NgNkXdv̄ ν ∂r̄ ν∂r̄ ν X X ∂fα ∂r̄ ν X X∂r̄ ν=F̄ ν+λα+µβ l̄βνdt ∂qσ∂q∂r̄∂q∂qσσνσν=1ν=1 α=1ν=1β=1Преобразуем выражение слева, с учетом свойств (9): 2vνvν2µ¶µ¶d∂r̄ νd ∂r̄ νd∂ v̄ ν∂ v̄ νd ∂ 2  ∂ 2dv̄ ν ∂r̄ ν=v̄ ν−v̄ ν=v̄ ν−v̄ ν= −dt ∂qσ dt∂qσdt ∂qσ dt∂ q̇σ∂qσ dt ∂ q̇σ∂qσ⇒µ¶¸µ¶N ·Xdv̄ ν ∂r̄ ν∂ mν vν2 /2d ∂T∂Td ∂ mν vν2 /2mν=−=−dt ∂qσdt∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ∂qσν=1ν=1NXNXmν v 2ν— кинетическая энергия системы, выраженная через2ν=1обобщенные координаты и скорости.где T =Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.8 / 17Для слагаемых в правой части имеем следующие выражения:NX∂r̄ ν= Qσ − обобщенная сила, соответствующая координате qσ ,F̄ ν∂qσν=1!ÃNgggN XXX ∂fα ∂r̄ νX∂fα ∂r̄ ν X∂fαλα=λα=λα= 0 – в силу (8),∂r̄∂q∂r̄∂q∂qσνσνσν=1 α=1α=1α=1ν=1ÃN!N XkkkXXXX∂r̄ ν∂r̄ νµβ l̄βν=µβ=µβ hβσ – обозначения (11).l̄βν∂qσ∂qσν=1ν=1β=1β=1β=1Окончательно получим уравнения:kXd ∂T∂T−= Qσ +µβ hβσdt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, .

. . , m)(15)β=1называемые уравнения Рауса для неголономных систем.kXСлагаемыеµβ hβσ в уравнениях (15) представляют собой обобщенныеβ=1реакции неголономных связей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.9 / 17kXd ∂T∂T−= Qσ +µβ hβσdt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . . , m)(15)β=1Уравнения (15) необходимо рассматривать вместе с уравнениямикинематических связейmXhβσ q̇σ + hβ = 0(β = 1, . . . , k)(10)σ=1В итоге получим систему m + k уравнений с m + k неизвестнымиq1 , . . . , qm , µ1 , . . . , µk .m + k = n + 2kИтак количество уравнений и неизвестных величин при использованииобобщенных координат получается меньше чем в исходных уравненияхЛагранжа первого рода на 2g штук.Если кинематических связей нет (k = 0), то уравнения Рауса, очевидностановятся уравнениями Лагранжа второго рода для голономных систем.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.10 / 17Перепишем уравнения кинематических связей (10) и уравнения Рауса(15) в более обозримом матричном виде:H q̄˙ + h̄ = 0(10)ddtµ∂T∂ q̄˙¶Tµ−∂T∂q̄¶T= Q̄ + H T µ̄(15)где H = khβσ k – прямоугольная матрица размерами k × m(β = 1, . . . , k, σ = 1, . .

. , m), где k – число строк, m – число столбцов.µ¶¶µ∂T∂T∂T∂T∂T∂T=,...,,,...,– строки, длины m;=∂q̄∂q1∂qm∂ q̇1∂ q̇m∂ q̄˙ Q1q̇1q1  q̄ =  ... , q̄˙ =  ... , Q̄ =  ... ,Qmq̇mqm µ1h1 ..  .. h̄ =  . , µ̄ =  . µkhk– столбцы высоты m– столбцы высоты k.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.11 / 17Пример. Однородный диск массой m с радиусом R катится безскольжения так, что его плоскость остается перпендикулярнойгоризонтальной плоскости качения.Составить уравнения движения диска;определить движение, отвечающее начальным условиям:x(0) = 0, y(0) = 0, ψ(0) = 0, ψ̇(0) = Ω0 , ϕ(0) = 0, ϕ̇(0) = ω0 ;найти реакцию неголономной связи.Положение дискаzx,zyyопределяетсяjhyчетырехмерным векторомzyобобщенных координатjx,yxCxCxP y q̄ = Ox ψ ϕгде x, y – координаты центра диска C,ϕ – угол собственного вращения, ψ – угол прецессии дискаНа эти координаты наложена неголономная связь: v̄ P = 0.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.12 / 17Для получения уравнений применим формулу распределенияскоростей точек тела имеем:v̄ P = v̄ C + ω̄ × CP = 0где v̄ C = (ẋ, ẏ, 0) – скорость центра диска,ω̄ = (ωx , ωy , ωz ) = (−ϕ̇ sin ψ, ϕ̇ cos ψ, ψ̇) – вектор угловой скорости,CP = (0, 0, −R) – радиус-вектор точки P относительно C.Отсюда имеем два уравнения:ẋ − ϕ̇ cos ψ R = 0ẏ − ϕ̇ sin ψ R = 0(∗)Очевидно, что это неинтегрируемые дифференциальные выражения,т.е. являются кинематическими связями. Матрица H для уравненийсвязей (H q̄˙ + h̄ = 0) имеет вид:µ¶1 0 0 −R cos ψH=0 1 0 −R sin ψСвободный вектор h̄ = 0 т.е.

кинематическая связь – стационарная.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.13 / 17Вычислим кинетическую энергию диска как функцию обобщенныхкоординат и скоростей по формуле Кенига:1m(ẋ2 + ẏ 2 ) + Tr2где Tr – кинетическая энергия движения диска относительно центра масс C.Так как диск совершает пространственное движение, Tr определим как длятела, вращающегося около неподвижной точки, используя сопутствующуюсистему осей Cξηζ, которые являются главными осями инерции: Jξ 00ωξ−ψ̇ sin ϕ1e) ωe,e =  ωη  = ϕ̇Tr = (JC ωJC =  0 Jη 0  , ω200 Jζωζψ̇ cos ϕT =e – вектор угловойгде JC – оператор инерции диска относительно C, ωскорости в сопутствующих осях.Для диска Jξ = Jζ = mR2 /4, Jη = mR2 /2, тогда получимTr =¢ mR2 21¡Jξ ωξ2 + Jη ωη2 + Jζ ωζ2 =(ψ̇ + 2ϕ̇2 ),28следовательноT =Батяев Е.

А. (НГУ)1mR2 2m(ẋ2 + ẏ 2 ) +(ψ̇ + 2ϕ̇2 ).28ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.14 / 17Активные силы здесь представлены единственной силой – весом тела P̄ ,приложенном к центру масс C, который, очевидно двигается вгоризонтальной плоскости, что следует из условия задачи. Поэтому работавеса равна нулю, а значит ноль и все обобщенные силы:δA = P̄ · δr̄ C = Qx δx + Qy δy + Qψ δψ + Qϕ δϕ = 0Таким образом вектор обобщенных сил Q̄ = 0 и уравнения Рауса примут ви䵶T µ¶Td ∂T∂T−= H T µ̄dt ∂ q̄˙∂q̄Выполняя все операции:µ1¶µ¶µ∂TmR2 mR2µ1µ2ψ̇,= mẋ, mẏ,ϕ̇ , H T ·=µ2042∂ q̄˙−µ1 R cos ψ − µ2 R sin ψполучим уравнения движения диска:mR2mẍ = µ1mÿ = µ2 ,ψ̈ = 04(∗∗)mR2ϕ̈ = −R(µ1 cos ψ + µ2 sin ψ)2Уравнения (∗)-(∗∗) представляют замкнутую систему, определяющуюдвижение диска и реакцию неголономной связи.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.15 / 17Найдем движение, отвечающее заданным начальным условиям.Из третьего уравнения (∗∗) находим:ψ̇ = Ω0 ,ψ = Ω0 tПодставляя выражения для µ1 и µ2 из первого и второго уравнений вчетвертое получимmRϕ̈ = −(mẍ cos ψ + mÿ sin ψ)2Дифференцируя по времени зависимости (∗):ẍ = (ϕ̈ cos ψ − ϕ̇ψ̇ sin ψ)R,ÿ = (ϕ̈ sin ψ + ϕ̇ψ̇ cos ψ)R,и подставляя их в последнее выражение, получим3ϕ̈ = 0⇒ϕ̇ = ω0 ,ϕ = ω0 t.2Подставляя ϕ̇ и ψ в уравнения связей (∗) имеем:ẋ = ω0 R cos Ω0 t,ẏ = ω0 R sin Ω0 tотсюда параметрические уравнения движения центра диска имеют вид:x=Батяев Е. А. (НГУ)ω0 Rsin Ω0 t,Ω0y=ω0 R(1 − cos Ω0 t).Ω0ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.16 / 17yω0 Rω0 Rsin Ω0 t,y=(1 − cos Ω0 t).Ω0Ω0w0RТраекториями, отвечающими этим уравнениям, являетсяW0ω0 Rсемейство окружностей радиуса RT =, центрΩ0которых смещен по оси y на величину этого радиуса.xOТакие же окружности описывает и точка P касания дискас плоскостью качения – неподвижные центроиды, так как по условию задачиплоскость диска остается перпендикулярной плоскости качения.Центр C диска движется по траекториис постоянной скоростьюpvC = ẋ2 + ẏ 2 = ω0 R.Для определения проекций идеальной реакции R̄ = (Rx , Ry ) неголономнойсвязи из уравнений движения (∗∗) получаем выраженияx=Rx = µ1 ,Ry = µ2Дифференцируя по времени зависимости ẋ, ẏ и подставляя сюда, получимRx = −mΩ0 ω0 R sin Ω0 t,Ry = mΩ0 ω0 R cos Ω0 tqR = Rx2 + Ry2 = mΩ0 ω0 RТаким образом, реакция неголономной связи постоянна по величине инаправлена к центру соответствующей неподвижной центроиды радиуса RT .Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 22Новосибирск, 2018 г.17 / 17.