1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 10

А. (НГУ)cJ̄ ν · v̄ ν =NX−2mν (ω̄ × v̄ ν ) · v̄ ν = 0ν=1ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.5 / 23Диссипативные силы (функция Релея)Непотенциальные силы Q∗σ называются — диссипативные,если их мощность отрицательна или равна нулю:N∗ 6 0(причём N ∗ 6≡ 0).Из той же теоремы об изменении полной механической энергиидля склерономной системы, у которой потенциал Π не зависитявно от времени, следует, что при наличии диссипативных сил:dE60dtт.е. полная механическая энергия системы убывает во времядвижения. Иногда говорят, что происходит рассеивание илидиссипация энергии. Отсюда и возник термин«диссипативные силы».Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.6 / 23Пусть задана положительная квадратичная форма от q̇σ :n1 XR=bσρ q̇σ q̇ρ > 02 σ,ρ=1такая, что непотенциальные силы Q∗σ задаются соотношениями:nX∂R=−Q∗σ = −bσρ q̇ρ(σ = 1, . . . , n)∂ q̇σρ=1причём матрица коэффициентов kbσρ k является симметрической:bσρ = bρσТогда для склерономной системы мощность таких сил равна:∗N =NXF ∗νν=1· v̄ ν =nXQ∗σ· q̇σ = −σ=1nXbσρ q̇ρ q̇σ = −2R 6 0σ,ρ=1т.е. они являются диссипативными. Функция R называется —диссипативная функция РелеяБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.7 / 23Тогда из теоремы об изменении полной механической энергии длясклерономной системы с потенциалом, не зависящим явно от времени:dE= −2RdtЭта формула указывает на физический смысл функции Релея:удвоенная функция Релея равна скорости убывания полноймеханической энергии.

Если функция Релея является положительноопределённой квадратичной формой от обобщённых скоростей(R > 0), то говорят о полной диссипации энергии. У такойопределённо-диссипативной системы энергия строго убывает.Пример: Рассмотрим склерономную систему, к каждой точке которойприложены силы сопротивления среды, пропорциональные скоростиэтой точки:∗F̄ ν = −kv̄ ν(ν = 1, . . . , N )где k > 0 Тогда мощность сил сопротивления:NNXX∗N∗ =F̄ ν · v̄ ν = −kvν2 = −2R,гдеν=1Батяев Е. А. (НГУ)ν=1N1 X 2R= kvν2ν=1ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.8 / 23Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил.Функция Лагранжа.

Обобщённый потенциал.Натуральные системы (и ненатуральные)Пусть обобщённые силы Qσ (σ = 1, . . . , n) являются потенциальными.Т.е. пусть существует потенциал сил (потенциальная энергия)∂ΠΠ = Π(t, qσ ) и Qσ = −. Тогда уравнения Лагранжа принимают вид:∂qσ∂T∂Πd ∂T−=−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσ(σ = 1, . .

. , n)и могут быть записаны в однородном виде:d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇σ∂qσгдеL=T −Π−(σ = 1, . . . , n)функция Лагранжа(лагранжиан, кинетический потенциал)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.9 / 23Т.к. потенциальная энергия Π(t, qσ ) не зависит от обобщённыхскоростей (только от времени и координат), то∂L∂T=,∂ q̇σ∂ q̇σ∂L∂T∂Π=−∂qσ∂qσ ∂qσФункция Лагранжа так же как и кинетическая энергияпредставляет собой функцию второй степени относительнообобщённых скоростей:L = T − Π = T2 + T1 + T0 − Π = L2 + L1 + L0гдеn1 XL2 = T2 =aσρ q̇σ q̇ρ ,2 σ,ρ=1L 1 = T1 =nXaσ q̇σ ,σ=1L0 = T0 − Π = a0 − Πгде коэффициенты aσρ , aσ , a0 являются функциями от координатq1 , .

. . , qn и времени t (в предыдущей лекции).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.10 / 23Рассмотрим более общий случай сил — обобщённо-потенциальные,которые представляются в виде:Qσ (t, qρ , q̇ρ ) =d ∂V∂V−dt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . . , n)где функция V = V (t, qρ , q̇ρ ) называется — обобщённый потенциал.Тогда уравнения Лагранжа:d ∂T∂Td ∂V∂V−=−dt ∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . . , n)также могут быть переписаны в однородном виде:d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . .

. , n)Но функция Лагранжа теперь:L(t, qσ , q̇σ ) = T (t, qσ , q̇σ ) − V (t, qσ , q̇σ )При этом очевидно, что [L] = [T ] − [V ] - имеют размерность энергии.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.11 / 23Установим структуру V . Из определения обобщённо-потенциальных сил:¶n µXd ∂V ∂V∂2V∂2V∂V∂2VQσ (t, qρ , q̇ρ ) =−=q̈ρ +q̇ρ +−dt ∂ q̇σ ∂qσ∂ q̇σ ∂ q̇ρ∂ q̇σ ∂qρ∂ q̇σ ∂t ∂qσρ=1Поскольку в механике мы рассматриваем только тот случай, когдаобобщённые силы Qσ не зависят явно от обобщённых ускорений, алишь от времени, обобщённых координат и скоростей, значит всечастные производные второго порядка по обобщённым скоростямдолжны быть тождественно равны нулю:∂2V≡0(σ, ρ = 1, . .

. , n)∂ q̇σ ∂ q̇ρобобщённый потенциал линейно зависит от обобщённых скоростей q̇σ :nXV =Aσ (t, qρ ) · q̇σ + V0 = V1 (t, qσ , q̇σ ) + V0 (t, qσ )σ=1где Aσ , V0 – функции обобщённых координат и времени. ОбозначеноnXлинейная форма обобщённого потенциалаV1 =Aσ (t, qρ )·q̇σ −относительно обобщённых скоростей q̇σ .σ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.12 / 23При этом очевидно, что V0 (t, qσ ) – обычный потенциал сил (его можнообозначать ещё как Π = V0 ). Тогда, согласно определению, функцияЛагранжа снова будет квадратичной функцией относительнообобщённых скоростей q̇σ , но вместо предыдущих равенств получим:L = L2 + L1 + L0 = T − V = T2 + T1 + T0 − V1 − V0⇒L2 = T2 ,L1 = T1 − V1 ,L0 = T0 − V0Подставляя полученное выражение для обобщённого потенциала ввыражение силы получим:nXd ∂V∂VdAσ∂ Aρ · q̇ρ + V0  =Qσ =−=−dt ∂ q̇σ∂qσdt∂qσρ=1=nXρ=1n∂Aσ∂Aσ X ∂Aρ∂V0q̇ρ +−q̇ρ −=∂qρ∂t∂qσ∂qσρ=1¶n µ∂Aρ∂V0 X ∂Aσ∂Aσ=−+−q̇ρ +∂qσ∂qρ∂qσ∂tρ=1Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.13 / 23∂Aσ= 0, т.е. линейная часть V1 обобщённого потенциала не∂tзависит явно от времени, то обобщённо-потенциальные силыЕслискладываются из• потенциальных сил: −∂V0∂qσ• гироскопических сил: Q∗σ =(σ = 1, . . . , n) иnPρ=1γσρ q̇ρ , где γσρ = −γρσ =∂Aρ∂Aσ−∂qρ∂qσ(σ, ρ = 1, . . .

, n)Если к тому же система склерономна и часть V0 обобщённогопотенциала V (обычная потенциальная энергия) не зависит явно отвремени, то согласно вышеизложенной теореме об изменениимеханической энергиивеличина T + V0 остаётся постоянной(однако T + V 6= const)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.14 / 23Голономные системы, в которых силы имеют обычный потенциалΠ(t, qσ ) или обобщённый потенциал V (t, qσ , q̇σ ) называются —натуральныеВ таких системах функция Лагранжа L вводится как разностьT − Π или T − V и является многочленом второй степени отобобщённых скоростей, т.е. L2 – положительно определённаяквадратичная форма от обобщённых скоростей.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.15 / 23Разрешимость уравнений Лагранжа второго родаКак уже отмечалось, функция Лагранжа, в случае существованияобобщённого или обычного потенциала является многочленом 2-ойстепени относительно обобщённых скоростей. И её квадратичная частьсовпадает с квадратичной частью кинетической энергии, поэтомуполучающаяся из уравнений Лагранжа система уравнений имеет видрассмотренный ранее:nXaσρ q̈σ = gρ (t, qi , q̇i )(ρ = 1, .

. . , n)σ=1которая, как мы показали ранее, имеет единственное решение (пригладких правых частях), т.е. разрешимо относительно обобщённыхускорений:q̈σ = Gσ (t, qi , q̇i )(σ = 1, . . . , n)поскольку det kaσρ knσ,ρ=1 > 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.16 / 23В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать болееобщие системы, в которых функция Лагранжа является произвольной функциейL(t, qσ , q̇σ ). Будем лишь требовать, чтобыфункции L относительнообобщённых скоростей не был равен нулю:гессиан ∂ 2 L n∂ q̇σ ∂ q̇ρ det 6= 0σ,ρ=1Так для натуральной системы это требование очевидно выполняется:2 ∂2L = det ∂ T = det kaσρ k 6= 0 ∂ q̇σ ∂ q̇ρ ∂ q̇σ ∂ q̇ρ det Требование на гессиан функции Лагранжа от обобщённых скоростей дляпроизвольных – ненатуральных систем, с функцией L, аналогично неравенству длянатуральных, поскольку уравнения Лагранжа могут быть переписаны в виде:nXρ=1∂2Lq̈ρ + (∗ ∗ ∗) = 0∂ q̇σ ∂ q̇ρ(σ = 1, .

. . , n)где через (∗ ∗ ∗) обозначена сумма членов не содержащая обобщённых ускорений q̈ρ .Тогда если гессиан L не равен нулю, система может быть разрешена относительноускорений:q̈ρ = Gρ (t, qi , q̇i )(ρ = 1, . . . , n)Т.е. это условие на гессиан функции Лагранжа необходимо для обеспеченияразрешимости уравнений Лагранжа относительно обобщённых ускорений.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.17 / 23Степень определённости функции ЛагранжаУравнения Лагранжа полностью определяются функцией Лагранжа:Lσ (L) =d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . . , n)Однако одни и те же уравнения могут соответствовать различнымлагранжианам L. В самом деле:• L0 = cL – отличие на постоянный множитель c = const.Тогда в силу однородности Лагранжевых уравнений:Lσ (L0 ) = cLσ (L) = 0 — они будут одинаковы для L и для L0 .• L0 = L + f (t) – отличие на произвольную функцию времени. ТогдаLσ (f (t)) =Батяев Е. А. (НГУ)d ∂f (t) ∂f (t)−≡0dt ∂ q̇σ∂qσЛЕКЦИЯ 6⇒Lσ (L0 ) = Lσ (L)Новосибирск, 2018 г.18 / 23df (t, q) – отличие на полную производную по времениdtнекоторой функции f (t, q) - времени и координат, тогда, обозначаяn∂f X ∂f∂Φ∂fdf=+q̇σ⇒=,Φ=dt∂t∂qσ∂ q̇σ∂qσ• L0 = L +σ=1n⇒X ∂2fd ∂Φ∂2f=+q̇ρ ,dt ∂ q̇σ∂qσ ∂t∂qσ ∂qρρ=1nX ∂2f∂Φ∂2f=+q̇ρ∂qσ∂qσ ∂t∂qσ ∂qρρ=1d ∂Φ ∂Φ−≡ 0 ⇒ Lσ (L0 ) = Lσ (L)+Lσ (Φ) = Lσ (L)dt ∂ q̇σ ∂qσТ.е.