1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 9

, qn ) тогда∂r̄ ν=0∂t⇒ aσ = a0 = 0⇒T1 = T0 = 0⇒n1 XT = T2 =aσρ q̇σ q̇ρ2 σ,ρ=1т.е. кинетическая энергия склерономной системы является однороднойфункцией второй степени (квадратичной формой) от обобщённых скоростей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.11 / 21Заметим, что у произвольной (склерономной или реаномной) голономнойсистемы форма T2 является всегда невырожденной, т.е.

определитель,составленный из её коэффициентов, отличен от нуля:det k aσρ knσ,ρ=1 6= 0В самом деле, так как квадратичная форма T2 может быть записана в виде:Ã n!2NX ∂r̄ ν1XmνT2 =q̇σ2 ν=1∂qσσ=1сразу следует, что T2 > 0, т.е. неотрицательна. Докажем теперь, что онаможет обратиться в ноль только тогда, когда все q̇σ = 0, т.е. в покое.Допустим, что это не так, т.е. что T2 может равняться нулю при некоторыхзначениях обобщённых скоростей q̇σ∗ среди которых есть отличные от нуля.Тогда, очевидно, каждое выражение в скобках в этой формуле должнообратиться в ноль, т.е.nX∂r̄ νσ=1∂qσq̇σ∗ = 0(ν = 1, . .

. , N )Или в скалярной форме N векторных равенств запишутся в виде 3N равенств:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.12 / 21nX∂xνσ=1∂qσq̇σ∗= 0,nX∂yνσ=1∂qσq̇σ∗= 0,σ=1Эти равенства показывают, что в якобиевойразмерами 3N × n (где n = 3N − g 6 3N )∂x1 /∂q1 . . . ∂y1 /∂q1 . . .A =  ∂z1 /∂q1 . . .......∂zN /∂q1nX∂zν...∂qσq̇σ∗ = 0функциональной матрице∂x1 /∂qn∂y1 /∂qn∂z1 /∂qn...∂zN /∂qnстолбцы линейно зависимы, т.е. ранг этой матрицы меньше n:rang A = m < n. В противном случае однородная система линейныхалгебраических уравнений имела бы единственное решение q̇σ∗ ≡ 0.Но тогда среди 3N функций x1 , y1 , z1 ,. . . ,xN , yN , zN от n аргументовq1 , .

. . , qn (время t рассматривается как параметр) имеется m независимых,через которое могут быть выражены все остальные декартовы координатыточек системы. Мы пришли к противоречию, так как минимальное числонезависимых координат системы равно n (в предыдущей лекции), а здесь m.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.13 / 21Таким образомквадратичная форма T2 является положительно-определённой: T2 > 0,что будет ещё неоднократно использоваться в дальнейшем, причёмравенство нулю (T2 = 0) может быть только, если все q̇σ = 0.Можно ещё сказать, что T2 – это кинетическая энергия при«замороженных» («остановленных») связях, когда время фиксировано.Тогда из критерия Сильвестра следуют детерминантные неравенства:n1 Xaσρ q̇σ q̇ρположительность всех ведущих миноров формы T2 =2σ,ρ=1det k aσρ klσ,ρ=1 > 0т.е. a11 > 0,¯¯ a11 a12¯¯ a21 a22Батяев Е.

А. (НГУ)¯¯¯ > 0,¯∀ l ∈ 1, . . . , n¯¯ a11 a12¯¯ a21 a22¯. . . , ¯ ....¯ ..¯¯ an1 an2ЛЕКЦИЯ 5. . . a1n. . . a2n....... . . annНовосибирск, 2018 г.¯¯¯¯¯¯>0¯¯¯14 / 21Разрешимость уравнений Лагранжа второго родаИспользуя структуру выражения кинетической энергии:nnP1 PT =aσρ q̇σ q̇ρ +aσ q̇σ + a0 , после подстановки в уравнения2 σ,ρ=1σ=1Лагранжа получим:nXaσρ q̈σ + (∗ ∗ ∗) = Qρ (t, qi , q̇i )(ρ = 1, . . . , n)σ=1где через (∗ ∗ ∗) обозначена сумма членов не содержащих обобщённыхускорений q̈σ .

Правые части, т.е. обобщённые силы также не содержатобобщённых ускорений, т.е. являются функциями t, qi , q̇i . Перенося (∗ ∗ ∗)вправо получимnXaσρ q̈σ = gρ (t, qi , q̇i )(ρ = 1, . . . , n)σ=1aσρ knσρ=1 >0, то эти уравнения можно разрешить относительно q̈σ ,т.к. det kт.е. выразить их в видеq̈σ (t) =Батяев Е. А. (НГУ)dq̇σ (t)= Gσ (t, qi , q̇i )dtЛЕКЦИЯ 5(σ = 1, . . . , n)Новосибирск, 2018 г.15 / 21dq̇σ (t)= Gσ (t, qi , q̇i )(σ = 1, . . . , n)dtДобавим к ним ещё формальные уравненияdqσ (t)= q̇σ (t)(σ = 1, .

. . , n)dtдля получения нормальной системы обыкновенных дифференциальныхуравнений (т.е. дифференциальных уравнений первой степени на qσ , q̇σ ).Тогда при ограничениях относительно Gσ (t, qi , q̇i ) (существование всехнепрерывных частных производных первого порядка у функций Gσ ),по теореме о разрешимости нормальной системы уравнений она имеетединственное решение при произвольных заданных начальных данных:qσ = qσ0 ,q̇σ = q̇σ0при t = t0(σ = 1, .

. . , n)Т.е. если активные силы Qσ имеют непрерывные производные первогопорядка, а зависимости между декартовыми и обобщённымикоординатами – непрерывные производные вплоть до третьегопорядка, то указанная задача Коши имеет единственное решение.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.16 / 21Теорема об изменении полной механической энергии(голономной системы)Ранее мы рассмотривали частный случай сил, действующих на систему –потенциальных. Напомним, если обобщённые силы не зависят отобобщённых скоростей: Qσ = Qσ (t, q1 , . . . , qn ) и существует (скалярная)∂Πфункция Π(t, q1 , . . .

, qn ) такая, что Qσ = −, то силы Qσ – потенциальны,∂qσи Π – потенциал или потенциальная энергия. Работа потенциальных сил навиртуальном перемещении определялась как:δA =nXσ=1Qσ δqσ =nX−σ=1∂Πδqσ = −δΠ∂qσгде δΠ – виртуальный дифференциал. Рассмотрим теперь более общийслучай, когда кроме потенциальных сил, определяемых потенциалом Π(t, qi ),на систему действуют ещё и непотенциальные силы: Q∗σ = Q∗σ (t, qi , q̇i )(σ = 1, . .

. , n), тогда∂ΠQσ = −+ Q∗σ∂qσ∂T∂Πd ∂T−=−+ Q∗σи уравнения Лагранжа принимают форму:dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.17 / 21Рассмотрим величину — полная механическая энергия системы:E =T +Πи найдём её изменение с течением времени.Для начала найдём µ¶nXd∂T∂T∂TT (t, qi , q̇i ) =q̇σ +q̈σ +=dt∂qσ∂ q̇σ∂tσ=1à n!¶n µXd X ∂T∂T∂Td ∂T=q̇σ −−q̇σ +dt∂ q̇σdt ∂ q̇σ∂qσ∂tσ=1σ=1Далее воспользуемся теоремой Эйлера об однородных функциях,согласно которой для однородной функции n переменныхf (x1 , . . . , xn ) k-ой степени (k 6 n) вида:nXf (x1 , .

. . , xn ) =aσ1 ,...,σk · (xσ1 · xσ2 · . . . · xσk )σ1 ,...,σk =1где aσ1 ,...,σk – коэффициенты,справедливо равенство:nX∂f· xσ = kf∂xσσ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.18 / 21Применяя эту формулу к линейной T1 и квадратичной T2 формам пообобщённым скоростям в кинетической энергии системы определяем:nX∂T1σ=1⇒∂ q̇σnX∂T2· q̇σ = T1 ,σ=1∂ q̇σ· q̇σ = 2T2nnXX∂T∂(T2 + T1 + T0 )q̇σ =q̇σ = 2T2 + T1∂ q̇σ∂ q̇σσ=1σ=1Используя ещё уравнения Лагранжа имеем:¶n µXdTd∂Π∂T∗= (2T2 + T1 ) −−+ Qσ q̇σ +=dtdt∂qσ∂tσ=1=nnσ=1σ=1nXX ∂Πdd∂Tq̇σ −Q∗σ q̇σ +(2T2 + 2T1 + 2T0 ) − (T1 + 2T0 ) +=dtdt∂qσ∂tdTddΠ ∂Π X ∗∂T=2− (T1 + 2T0 ) +−−Qσ q̇σ +dtdtdt∂t∂tσ=1Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.19 / 21n⇒dTdTdΠd∂Π X ∗∂T−2−= − (T1 + 2T0 ) −−Qσ q̇σ +dtdtdtdt∂t∂tσ=1Отсюда окончательно имеемТеорема (формула) об измененииполной механической энергиипри движении произвольной голономной системы:dEd∂T∂Π= N ∗ + (T1 + 2T0 ) −+dtdt∂t∂tгде N ∗ =nPσ=1Q∗σ q̇σ называется — мощность непотенциальных силБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.20 / 21Важные частные случаи теоремы об изменении полноймеханической энергии голономной системы1.

Система – склерономна⇒T1 = T0 = 0и∂T=0∂t⇒∂ΠdE= N∗ +dt∂t2. Система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени⇒dE= N∗dt3. Система (голономная) — консервативная:склерономна∂Π=0∂tвсе силы потенциальны⇒⇒N ∗ = Q∗σ = 0⇒dE=0dtпотенциал не зависит явно от tт.е. полная механическая энергия консервативной системы не изменяется придвижении системы. Отсюда вытекает интеграл энергии или закон сохраненияэнергии (полной механической энергии E = T + Π для консервативной системы)E = T + Π = const = hДанное равенство не содержит ускорений q̈σ и включает произвольную постояннуюh, следовательно, определяет первый интеграл уравнений движения.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2018 г.21 / 21ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 6ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖАОБОБЩЁННЫЙ ПОТЕНЦИАЛНАТУРАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.1 / 23Гироскопические силыНепотенциальные обобщённые силы Q∗σ называются —гироскопические, если их мощность равна нулю:N∗ =nXQ∗σ q̇σ = 0σ=1Из теоремы об изменении полной механической энергии E = T + Πследует, что для склерономной системы (у которой связи∂T= 0),стационарны, значит T1 = T0 = 0 т.е. T = T2 и∂tгде потенциал сил не зависит явно от времени (∂Π/∂t = 0) имеемdE= N∗ = 0dt⇒E = constЗначит интеграл энергии существует и при гироскопических силах.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.2 / 23Рассмотрим важный частный случай непотенциальных сил Q∗σ ,которые, вообще говоря, зависят от скоростей q̇σ , в виде линейных иоднородных функций от q̇σ :nXQ∗σ =γσρ q̇ρρ=1Матрицу, составленную из коэффициентов γσρ будем считатькососимметрической:γσρ = −γρσ(σ, ρ = 1, . . . , n)Такие силы Q∗σ – являются гироскопическими.Действительно, в этом случае (замечая, что диагональные элементы:γσσ = −γσσ = 0) имеем1,...,nnnnXXXX∗∗2N =Qσ q̇σ =γσρ q̇ρ q̇σ =γσσ q̇σ +(γσρ + γρσ )q̇σ q̇ρ = 0σ=1σ,ρ=1σ=1σ<ρБолее того, последнее равенство показывает, что это условиекососимметричности матрицы коэффициентов γσρ является ещё инеобходимым (в силу независимости обобщённых координат и,соответственно, скоростей друг от друга), чтобы обобщённые силы,приложенные к склерономной системе были гироскопическими.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.3 / 23Прежде чем рассмотреть пример обратим внимание на следующее.Справедливо равенство:! n ÃNà n!NNNXXX ∂r̄ νX XX∂r̄ ν∂r̄ ν∂r̄ νF̄ νF̄ ν ·v̄ ν =F̄ ν=q̇σ +q̇σ +F̄ ν∂qσ∂t∂qσ∂tν=1ν=1Так какNXν=1F̄ νσ=1σ=1ν=1ν=1∂r̄ ν∂r̄ ν= Qσ и для склерономной системы= 0, имеем∂qσ∂tNnXXF̄ ν · v̄ ν =Qσ q̇σ = N(∗)ν=1σ=1Поэтому в случае склерономной системы равенство N ∗ = 0 выражаетNXусловие гироскопичностиF ∗ν · v̄ ν = 0 обычных непотенциальныхν=1сил F ∗ν , приложенных к точкам механической системы.В случае реономной системы равенство (∗) может не выполняться, т.к.µ¶ XNnX∂r̄ νF̄ ν · v̄ ν −=Qσ q̇σ∂tν=1Батяев Е.

А. (НГУ)σ=1ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2018 г.4 / 23Пример: Кориолисовы силы инерции для склерономнойсистемы являются гироскопическими силами.cДействительно: J̄ ν = −2mν (ω̄ × v̄ ν ), где mν – масса ν-ой точки,v̄ ν – скорость ν-ой точки в неинерциальной системе координат,ω̄ – угловая скорость вращения этой неинерциальной системыотносительно некоторой инерциальной. Система двигается внеинерциальной системе отсчёта. Отсюда и возникают силыинерции Кориолиса.Для получения их мощности в неинерциальной системе отсчётаcнадо силу J̄ ν умножить на относительную скорость v̄ ν :NXν=1Батяев Е.