1612042534-1f807c74b48d50003337997455390972 (Лекции (2018)), страница 4

Поэтому в последнем равенстве(для идеальных связей) можно выразить g + k = 3N − n зависимыхвариаций координат δxν , δyν , δzν через n независимых. Однако, чтобыданное уравнение идеальной связи выполнялось необходимо и достаточно,чтобы коэффициенты при этих независимых вариациях обращались в ноль.Так мы получим недостающие n соотношений, благодаря которым основнаязадача динамики несвободной системы замкнётся и станет определённой.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.13 / 18Примеры идеальных связей1. Движение точки P подчиненогеометрической связи: f (t, r̄) = 0,представляющей собой некоторую подвижнуюP Ñfповерхность. Ранее было выяснено,ïîäâèæíàÿчто в этом случае виртуальное перемещениеïîâåðõíîñòüесть любое элементарное перемещениекасающееся поверхности в данной точке.uDtИз определения идеальности связи R̄ · δr̄ = 0,dr =Dr íåïîäâèæíàÿïîâåðõíîñòüвытекает, что её реакция будет ортогональнавиртуальному перемещению, т.е.

она должна быть нормальна к поверхности:R̄ = λ∇f . В общем случае реакция поверхности имеет нормальную итангенциальную составляющие. И чтобы реакция поверхности была нормальна кней, необходимо требование гладкой поверхности. Таким образом идеальность, вчастности, обобщает понятие гладкости. Обратим внимание, что возможныеперемещения совпадают с виртуальными только для неподвижной поверхности:δr̄ = ∆r̄. Т.е. виртуальное перемещение в случае подвижной связи представляетсобой бесконечно малое возможное перемещение для «остановленной» или«замороженной» поверхности и лежит в касательной плоскости.

Здесь виднаважность виртуальных перемещений при определении идеальных связей.Итак гладкая поверхность как подвижная (деформирующаяся) так и неподвижнаяпредставляет собой идеальную связь.R=lÑfБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.14 / 182. Невесомый недеформируемый стержень (твердая нить), соединяющий двематериальные точки P1 , P2 .Данная геометрическая связь математически выражается зависимостью(r̄ 2 − r̄ 1 )2 = l2 = constт.е. она стационарная. А для стационарных связей виртуальные перемещениясовпадают с возможными, линейными относительно ∆t: δr̄ = ∆r̄ = v̄∆t.Обозначим R̄1 и R̄2 реакции связи, приложенные к точкам P1 и P2 . Тогдастержень находится (по III закону Ньютона) под действием сил: −R̄1 и −R̄2 .Пусть m, āC , ω̄ и JC – масса, ускорение центра масс, угловая скорость ицентральный оператор инерции стержня.

Тогда из уравнений движения стержня:dmāC = −R̄1 − R̄2 ,(JC ω̄) = ρ̄1 × (−R̄1 ) + ρ̄2 × (−R̄2 )dtгде ρ̄1 и ρ̄2 – радиус-вектора P1 и P2 относительно центра масс C.В силу условий m = 0, JC = 0 приходим к равенствам:P2R̄1 + R̄2 = 0,ρ̄1 × R̄1 + ρ̄2 × R̄2 = 0CP1R2Отсюда видно, что:r1 r2R̄1 = −R̄2 , → (ρ̄2 − ρ̄1 ) × R̄2 = 0rследовательно R̄2 коллинеарна вектору (ρ̄2 − ρ̄1 ), значитR1r12OR̄1 = −R̄2 = λ(ρ̄2 − ρ̄1 )где λ – скалярный множитель, т.е. реакции равны по модулю и направленыпротивоположно друг другу, коллинеарно отрезку, соединяющему точки (на рисунке).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.15 / 18Поскольку такие две точки по сути представляют собой неизменяемую систему(у которой расстояния между любыми точками не меняются) т.е.

своеобразнуюмодель твёрдого тела, то возможные (и виртуальные) перемещения точек тела,используя формулу распределения скоростей точек тела, принимают вид:δr̄ ν = ∆r̄ ν = v̄ ν ∆t = (v̄ C + ω̄ × ρ̄ν )∆t = v̄ C ∆t + (ω̄ × ρ̄ν )∆t = ∆r̄ C + (ω̄ × ρ̄ν )∆tЗдесь в качестве полюса рассмотрен центр масс тела C.Тогда определим работу реакций R̄1 и R̄2 на виртуальных перемещениях δr̄ 1 и δr̄ 2 :R̄1 δr̄ 1 + R̄2 δr̄ 2 = R̄1 ∆r̄ 1 − R̄1 ∆r̄ 2 = R̄1 (∆r̄ 1 − ∆r̄ 2 ) = R̄1 (ω̄ × (ρ̄1 − ρ̄2 ))∆t == ω̄((ρ̄1 − ρ̄2 )× R̄1 )∆t = ω̄(R̄1 ×(ρ̄2 − ρ̄1 ))∆t = ω̄(λ(ρ̄2 − ρ̄1 )×(ρ̄2 − ρ̄1 ))∆t = 0Т.о. всякая неизменяемая механическая система обладает идеальнымивнутренними геометрическими связями.Важный частный случай такой системы – абсолютно твёрдое тело. Т.е.

твёрдоетело это система с идеальными внутренними связями. При отсутствии другихсвязей, кроме осуществляющих жёсткое соединение точек тела между собой,твёрдое тело называется — свободное.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.16 / 18R1AR23. Два тела шарнирно соединены в точке A.Пренебрегая массой и размерамишарнира, аналогично предыдущему примеру получим:R̄1 + R̄2 = 0Виртуальные перемещения точек тел, в месте расположения шарнира – одинаковы:δr̄ 1 = δr̄ 2 = δr̄ следовательно работа реакций шарнира:R̄1 δr̄ 1 + R̄2 δr̄ 2 = (R̄1 + R̄2 )δr̄ = 0Аналогично доказывается идеальность следующих связей:4.

Два твёрдых тела, соприкасающиеся идеально гладкими поверхностями всёвремя движения (трение отсутствует).5. Два твёрдых тела соприкасаются идеально (абсолютно) шероховатымиповерхностями (качение, т.е. движение без проскальзывания, зубчатое зацепление)6.

Рассмотрим идеальную кинематическую связь, выражающую условие погони иззадачи преследования прошлой лекции:l̄ · v̄ = 0,где−−→l̄ = (x2 , ξ − x1 ) ⊥ M N , v̄ = (ẋ1 , ẋ2 )Связь стационарная, поэтому δr̄ = ∆r̄ = v̄∆t. Тогда из уравнения связи l̄ · v̄ = 0имеем l̄ · δr̄ = 0. Сравнивая его с условием идеальности связи R̄ · δr̄ = 0заключаем, что реакция идеальной кинематической связи должна иметь видR̄ = µl̄, где µ – скаляр, т.е. должна быть коллинеарна l̄.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.17 / 18Вообще любой сложный механизм можно рассматривать как систему твёрдых тел,которые попарно либо соединены между собой жёстко или шарнирно, либосоприкасаются своими поверхностями. Если считать все жёсткие соединенияабсолютно жёсткими, все шарниры – идеальными, все соприкасающиесяповерхности – идеально гладкими, или абсолютно шероховатыми, то любойсложный механизм можно трактовать как систему материальных точек,подчиненную идеальным связям.Однако, во многих случаях подобная идеализация не является допустимой.

Этобудет, например, когда геометрические связи обладают трением или упругостью, акинематические связи - «негладкостью» (кинематическая связь называется«гладкой» если ортогональная к l̄ реакция отсутствует). Пренебрежение этими«свойствами» связей может иногда существенно исказить физическую картинуявления. Однако и в этих случаях связи можно трактовать идеальными, т.е.учитывать только нормальные составляющие реакций «негладких» поверхностей,если относить все отклонения от «идеальности» (силы трения, упругости ипрочее) к разряду неизвестных активных сил. При этом, разумеется, к системеуравнений движения для её замыкания, следует добавить соответствующее числоновых соотношений, выражающих экспериментальные законы: трения (законКулона), упругости (закон Гука) и прочее. При такой трактовке понятия идеальныхсвязей, применимость этого понятия становится практически универсальной.В дальнейшемвсегда предполагается, чтовсе связи, наложенные на систему, являются идеальными.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2018 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 3УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДАПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА(ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ)ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙРАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.1 / 22Уравнения Лагранжа первого родаРассмотрим движение несвободной системы материальных точек,подчиненной идеальным геометрическим и кинематическим связям.Движение точек системы описывается уравнениямиmν āν = F̄ ν + R̄ν(ν = 1, .

. . , N )(1)где mν – масса, āν – ускорение, F̄ ν – равнодействующая активных сили R̄ν – равнодействующая реакций, действующих на ν-ую точкумеханической системы из N точек.Поскольку связи идеальны, то в любом возможном положениисистемы, при любых виртуальных перемещениях δr̄ ν системы:NXR̄ν · δr̄ ν = 0(2)ν=1Найдём конкретные выражения для реакций R̄ν , с помощью, такназываемых — неопределённых множителей Лагранжа.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.2 / 22Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещенияточек системы:NX∂fαδr̄ ν = 0(α = 1, . . . , g)(3)∂r̄ νν=1NXl̄βν δr̄ ν= 0(4)(β = 1, . . . , k)ν=1Умножая равенства (3) и (4) на произвольные скалярные множители(−λα ) и (−µβ ), соответственно, и складывая почленно полученныеравенства с равенством для связей (2):#"N#"NgkNXXX ∂fαXXR̄ν · δr̄ ν = 0l̄βν δr̄ ν · (−µβ ) +δr̄ ν · (−λα ) +∂r̄ να=1ν=1β=1Получим:NXR̄ν −ν=1Батяев Е. А. (НГУ)gXα=1λαν=1∂fα−∂r̄ νν=1kXµβ l̄βν  · δr̄ ν = 0(5)β=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2018 г.3 / 22Ему можно придать развёрнутую форму через компоненты векторов:gN X3kXXX∂fασ Rνσ −µβ lβνλα σ −· δxσν = 0(6)∂xνν=1 σ=1α=1¡¢ ∂fα=где R̄ν = Rν1 , Rν2 , Rν3 ,∂r̄ νβ=1µ∂fα ∂fα ∂fα,,∂x1ν ∂x2ν ∂x3ν¶¡1 2 3 ¢, l̄βν = lβν, lβν , lβνВ этом выражении присутствуют 3N вариаций координат δxσν , изкоторых только n = 3N − (g + k) штук независимые, а остальные(g + k) – зависимые.Подберём множители λα и µβ , общее число которых равно (g + k),таким образом, чтобы в (6) обратились в ноль коэффициенты призависимых вариациях.